Apresenta

1
MATRIZES Prof. Marlon
2
Matrizes Conceitos Básicos
Veja a tabela abaixo com as notas de um aluno
qualquer, em cinco disciplinas durante o ano de
2010.
3
Matrizes Conceitos Básicos
Nada mal, embora ele precise melhorar em
português e matemática. Porém, nosso negócio aqui
é matemática, então repare que cada número tem o
seu lugar nesta tabela Se destacarmos apenas a
parte numérica, a tabela ficará assim
6,0 3,5 5,0 7,0 5,5
4,0 4,5 5,0 8,0 5,0
4,5 5,5 5,0 5,0 5,0
3,0 6,5 6,0 5,5 7,5
A tabela acima é uma MATRIZ.
4
Matrizes Conceitos Básicos
Colocando em notação matemática teremos
Esta matriz é do tipo 4x5, pois tem 4 linhas e 5
colunas.
5
Matrizes Conceitos Básicos

• As linhas horizontais da matriz são chamadas de
  linhas e as linhas verticais são chamadas de
  colunas.
• Uma matriz com m linhas e n colunas é chamada de
  uma matriz m por n (escreve-se mn) e m e n são
  chamadas de suas dimensões, tipo ou ordem.
• Um elemento de uma matriz A que está na i-ésima
  linha e na j-ésima coluna é chamado de elemento
  i,j ou (i,j)-ésimo elemento de A.
• Ele é escrito como aij.

6
Matrizes Conceitos Básicos
Sendo dado o sistema
...
a12x 2
a13x 3
a1nx n
b1
a11x 1
...
a21x 1
a22x 2
a23x 3
a2nx n
b2
...
a31x 1
a32x 2
a33x 3
a3nx n
b3
...
...
am1x 1
am2x 2
am3x 3
amnx n
bm
Vamos considerar uma tabela com os coeficientes
das incógnitas
a11
a12
a13
a1n
...
a21
a22
a23
...
a2n
A
Amxn aijmxn
Matriz de ordem m por n de elementos aij
7
Matrizes Conceitos Básicos
Elementos de uma matriz
a13
2
3x5
a34
7
8
Matrizes Conceitos Básicos
Amxn aijmxn
As matrizes podem ser classificadas segundo
A forma
A natureza dos elementos
9
Matrizes Conceitos Básicos
Segundo a forma em
1. Retangular
Se o número de linhas é diferente do número de
colunas
2. Quadrada
Se o número de linhas é igual do número de colunas
Uma matriz quadrada do tipo m por m diz-se de
ordem m
3. Linha
Se o número de linhas é igual a um
4. Coluna
Se o número de colunas é igual a um
10
Matrizes Conceitos Básicos
Segundo a natureza dos elementos em
5. Real
se todos os seus elementos são reais
6. Complexa
se pelo menos um dos seus elementos é complexo
7. Nula
se todos os seus elementos são nulos
11
Matrizes Conceitos Básicos
Segundo a natureza dos elementos em
8. Triangular Superior
uma matriz quadrada em que os elementos abaixo da
diagonal principal são nulos
9. Triangular Inferior
uma matriz quadrada em que os elementos acima da
diagonal principal são nulos
12
Matrizes Conceitos Básicos
Segundo a natureza dos elementos em
10. Diagonal
uma matriz quadrada em que os elementos não
principais são nulos
11. Escalar
uma matriz diagonal em que os elementos
principais são iguais
13
Matrizes Conceitos Básicos
Segundo a natureza dos elementos em
12. Identidade
Matriz com n linhas e n colunas, diagonal
principal com todos os elementos iguais a 1, e
os demais elementos iguais a zero.
13. Simétrica
se os elementos aij são iguais aos aji
14
Matrizes Conceitos Básicos
Segundo a natureza dos elementos em
14. Densa
se a maioria dos seus elementos são não nulos
15. Dispersa
se a maioria dos seus elementos são nulos
15
Matrizes Operações com Matrizes
Soma de Matrizes
Sejam A e B duas matrizes
do mesmo tipo
denomina-se soma de
A com B a uma matriz C do mesmo tipo que se
obtêm somando os elementos da matriz A com os
elementos da matriz B da mesma posição.
16
Matrizes Operações com Matrizes
goza das seguintes propriedades
A soma de matrizes
do mesmo tipo
Comutativa
Associativa
Tem elemento neutro
Todos os elementos têm inversa
17
Matrizes Operações com Matrizes
goza das seguintes propriedades
A soma de matrizes
do mesmo tipo
Comutativa
Assim o conjunto M mxn forma um Grupo Aditivo
Comutativo
Associativa
Tem elemento neutro
Todos os elementos têm inversa
18
Matrizes Operações com Matrizes
Produto por um escalar (número real)
Sejam A uma matriz e l um escalar
O produto de l por A é uma matriz C
do mesmo tipo de A
que se obtêm de A multiplicando todos os seus
elementos por l
19
Matrizes Operações com Matrizes
do mesmo tipo
Dadas as matrizes A e B
e os escalares l e m as seguintes propriedades
são válidas
20
Matrizes Operações com Matrizes
Consideremos o sistema

Matriz de ordem m por n de elementos aij
21
Multiplicação de Matrizes CASO 1
Matrizes Operações com Matrizes

• Multiplicar uma matriz linha por uma matriz
  coluna
• Só se podem multiplicar matrizes se o número de
  colunas de A for igual ao número de linhas de B.
• C A.B
• A B
• A.B 1.0 0.4 (-1).(-1) 2.5 11

22
Multiplicação de Matrizes CASO 2
Matrizes Operações com Matrizes

• Multiplicar uma matriz com n linhas por uma
  matriz coluna
• Faz-se o produto de cada linha da primeira matriz
  pela coluna.
• Só se podem multiplicar matrizes se o número de
  colunas da matriz for igual ao número de
  elementos da matriz coluna.
• C A.B

23
Multiplicação de Matrizes - CASO 3
Matrizes Operações com Matrizes
1
2
3
1
2
3

2
5
3
2
5
3
2
x
3
2
x
3
1
0
2
3
x
3
iguais
O elemento cij da matriz C é o produto da linha i
da matriz A pela coluna j da matriz B
24
Multiplicação de Matrizes - CASO 3
Matrizes Operações com Matrizes
1
2
3
1
2
3
8

2
5
3
2
5
3
2
x
3
2
x
3
1
0
2
3
x
3
O elemento cij da matriz C é o produto da linha i
da matriz A pela coluna j da matriz B
25
Multiplicação de Matrizes - CASO 3
Matrizes Operações com Matrizes
1
2
3
1
2
3
8
12

2
5
3
2
5
3
2
x
3
2
x
3
1
0
2
3
x
3
O elemento cij da matriz C é o produto da linha i
da matriz A pela coluna j da matriz B
26
Multiplicação de Matrizes - CASO 3
Matrizes Operações com Matrizes
1
2
3
1
2
3
8
12
15

2
5
3
2
5
3
2
x
3
2
x
3
1
0
2
3
x
3
O elemento cij da matriz C é o produto da linha i
da matriz A pela coluna j da matriz B
27
Multiplicação de Matrizes - CASO 3
Matrizes Operações com Matrizes
1
2
3
1
2
3
8
12
15

2
5
3
2
5
3
2
x
3
2
x
3
1
0
2
3
x
3
O elemento cij da matriz C é o produto da linha i
da matriz A pela coluna j da matriz B
28
Multiplicação de Matrizes - CASO 3
Matrizes Operações com Matrizes
1
2
3
1
2
3
8
12
15

2
5
3
2
5
3
15
2
x
3
2
x
3
1
0
2
3
x
3
O elemento cij da matriz C é o produto da linha i
da matriz A pela coluna j da matriz B
29
Multiplicação de Matrizes - CASO 3
Matrizes Operações com Matrizes
1
2
3
1
2
3
8
12
15

2
5
3
2
5
3
15
29
2
x
3
2
x
3
1
0
2
3
x
3
O elemento cij da matriz C é o produto da linha i
da matriz A pela coluna j da matriz B
30
Multiplicação de Matrizes - CASO 3
Matrizes Operações com Matrizes
1
2
3
1
2
3
8
12
15

2
5
3
2
5
3
15
27
29
2
x
3
2
x
3
1
0
2
3
x
3
O elemento cij da matriz C é o produto da linha i
da matriz A pela coluna j da matriz B
31
Matrizes Operações com Matrizes
Produto de Matrizes
Seja A uma matriz de tipo mxn e B uma matriz do
tipo
nxp.
O produto de A por B é uma matriz C do tipo
mxp
cujos elementos são dados por
e escreve-se C AB.
O produto de matrizes não é comutativo
32
Matrizes Operações com Matrizes
Dadas as matrizes A, B e C, e a um escalar.
Então, se todos os produtos a seguir indicados
forem definidos, as seguintes propriedades são
válidas
33
Matrizes Operações com Matrizes
Produto de Matrizes
Seja A uma matriz de tipo mxn e B uma matriz do
tipo
nxp.
O produto de A por B é uma matriz C do tipo
mxp
Iguais
Lembre-se linhas da 1ª x colunas da 2ª
34
Matrizes Operações com Matrizes
Transposição de Matrizes
Seja A uma matriz de tipo mxn.
Denomina-se transposta de A a uma matriz B do
tipo nxm tal que
e escreve-se B AT
35
Matrizes Operações com Matrizes
Dadas as matrizes A e B e a um escalar.
Então, se todos as operações a seguir indicados
forem definidas, as seguintes propriedades são
válidas
36
Matrizes Matriz Oposta

• A matriz B diz-se OPOSTA da matriz A se os
  elementos de B forem os opostos dos elementos
  correspondentes de A.
• Conclusão B - A

37
Matrizes Matriz Inversa

• Se A é uma matriz quadrada e existe B tal que
• AB BA I
• então diz-se que A é invertível e escreve-se B
  A-1

38
Matrizes Matriz Inversa

• Como encontrar a matriz inversa de uma matriz A
  dada?
• Vamos lembrar que sendo B A-1, então teremos
  A . B I ou ainda, A . A-1 I

39
Matrizes Matriz Inversa

• Resolvendo os sistemas obtidos

• Assim a matriz inversa será