Le probl

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Le problème de Stokes Approche naïve de la
résolution. Résolution sur cas test Résolution
en cavité entraînée Résolution de Navier-Stokes
instationnaire en cavité entraînée.
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Stokes, un problème couplé vitesse-pression
Le problème de Stokes sécrit
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Nous allons traiter le cas 2D, avec les vecteurs
solutions écrits sous forme vectorielle, en
collocation.
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Résolution naïve du problème de Stokes.
Les équations sont écrites à la suite les unes
des autres en se basant sur le vecteur solution
comprenant les valeurs des composantes de la
vitesse ainsi que les valeurs de la pression. En
2D, avec U et W les composantes en x et en z de
la vitesse et P la pression
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La résolution est réalisée dans le
programme E8_1_Stokes_naif_cas_test.m.
Les conditions aux limites sur la vitesse sont
choisies de type Dirichlet pour faire simple.
Cas test
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• Le programme
• forme lopérateur de Stokes stationnaire
  (Laplacien au lieu du Helmholtz)
• Calcule la solution exacte
• forme le second membre à partir du terme source
  et de la solution exacte pour les conditions aux
  limites de Dirichlet
• inverse lopérateur de Stokes
• Calcule la solution numérique
• la met sous forme matricielle pour les affichages
  de différents champs

Tester le programme et observer les résultats
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Ca ne fonctionne pas. Pour le calcul de
linverse de lopérateur de Stokes, mettre en
commentaire la ligne Stokesinvinv(Stokes) Enle
ver les commentaires des lignes suivantes
concernant le nouveau calcul de linverse de
lopérateur de Stokes. Interpréter ce que fait
le programme sur ces quelques lignes. Relancer
le programme modifié. Observer les différents
champs tracés sur les figures et cherchez une
interprétation aux disfonctionnements précédents.
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Résumé des observations
Les champs U et W sont bien calculés. Observer la
décroissance exponentielle du spectre de U et
W. Le champ de pression nest pas celui
attendu Le gradient de pression est bien
calculé. Le calcul fait intervenir des modes
parasites qui sont filtrés lors de linversion
faisant intervenir une décomposition préalable
en valeurs singulières.
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Les champs U,W,P font intervenir (L1)(N1)
valeurs nodales. Les valeurs de U et W font
intervenir des problèmes de Laplace pour
lesquels le gradient de pression intervient en
terme source et les conditions aux limites sont
bien posées. Pour déterminer la pression, on
dispose de (L1)(N1) équations de divergence
nulle en tout point . Elles sont indépendantes
les unes des autres, mais le sont-elles des
équations pour U et W ? Il peut être montré que
le problème de Stokes 2D fait intervenir 8
conditions de compatibilité entre léquation de
continuité et les conditions aux limites, plus ou
moins complexes (détail dans le livre de G.
Labrosse). Par exemple, si les conditions aux
limites assurent la conservation de la masse au
bord, cela est équivalent à assurer la divergence
nulle de la vitesse sur le domaine cest donc
redondant avec lensemble des équations de
divergence nulle en tout point. Il y a
apparition de 8 modes de pression parasite que
nous allons détailler.
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Ces modes polluent la solution en pression.
Pourquoi naffectent-ils pas le calcul de U et
W ?
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Les 4 premiers modes ne produisent un gradient de
pression non nul que sur les frontières du
domaine le gradient ny est pas utilisé. Le
5ème mode est à gradient nul donc ninflue
pas. Les 6ème au 8ème modes ont la propriété
davoir un gradient nul aux points de
collocation. Les points de Gauss-Lobatto en x
sont en effet les zéros de TL(x) et ceux en z
les zéros de TN(x). Ces modes ninfluent donc
pas non plus sur le calcul du gradient
de pression.
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Problème de Stokes stationnaire écoulement de
cavité entrainée.
Parois fixes
Configuration académique découlement largement
utilisée comme cas test pour les programmes de
résolution des équations de Navier-Stokes.
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Programme E8_2_Stokes_naif_cavent.m Ce
programme est simplement obtenu en annulant le
terme source imposé dans le programme précédent
et en imposant une valeur 1 à la composante de
vitesse horizontale à la frontière du bas. Faire
tourner le programme et observer les solutions
obtenues.
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Navier-Stokes instationnaire en cavité entrainée
Revient à un problème de Stokes à résoudre à
chaque itération temporelle
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Algorithme du programme

• Résolution du problème de Stokes comme condition
  initiale. Un-1 et Wn-1.
• Un et Wn.
• Calcul de lopérateur de Stokes instationnaire
  imposition dun
• coefficient de Helmholtz correspondant à la
  discrétisation temporelle
• et inversion de lopérateur.
• Algorithme de calcul dévolution temporelle de la
  solution.
• Un-1 reçoit Un Wn-1 reçoit Wn
• Un et Wn reçoivent Un1 et Wn1
• Evaluation du second membre au temps n1
• Calcul de la nouvelle solution Un1 et Wn1 grâce
  à lopérateur inversé.
• - Arrêt des itérations et post-traitements.

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Critique de lapproche naïve Lopérateur à
résoudre est énorme. On résout un opérateur
ayant pour solution un vecteur de trois fois la
taille dun problème de Laplace, sans
possibilité dutiliser de méthode
de diagonalisations successives.
Prochaine séance les algorithmes de découplage
vitesse-pression.