Informatica industriala

1
Informatica industriala

• Cursul 9 Prelucrarea digitala a semnalelor

2
Procesarea semnalelor

• Obiective
• extragerea din semnal a unor componente
  considerate relevante pentru problema studiata
  (ex. filtrare),
• transformarea semnalului pe baza unei anumite
  reguli (amplificare/atenuare, întârziere, etc.).
• Domenii
• Analiza semnalelor - domeniul care se ocupa de
  descompunerea semnalelor complexe în semnale
  elementare
• Un semnal complex se descrie ca o suma
  (ponderata) de semnale simple (pondereaamplitudi
  nea semnalului simplu)
• Sinteza semnalelor - generarea unor semnale
  complexe, cu anumite proprietati date, care se
  obtin prin combinarea unor semnale elementare.
• Ex modulatoare, multiplexare, generatoare de
  semnal, etc.

3
Semnale

• Def. semnal - o marime fizica purtatoare a unei
  informatii
• Clasificare
• Din punct de vedere al predictibilitatii,
  semnalele pot fi
• deterministe, daca evolutia lor este previzibila
  si se pot descrie prin functii de timp (ex. x(t)
  A sin(?tf))
• aleatoare, daca au o evolutie imprevizibila sau
  mult prea complexa pentru a putea fi exprimata
  printr-o expresie matematica (ex. zgomot)
• Din punct de vedere al evolutiei în timp
  semnalele pot fi
• continue, daca sunt descrise prin functii
  continue de timp
• discrete, daca au valori definite doar la anumite
  momente de timp
• Din punct de vedere al amplitudinii semnalele pot
  fi
• continue, daca domeniul de variatie al
  amplitudinii este un interval continuu
• cuantizate, daca amplitudinea poate lua un numar
  finit de valori

4
Semnale

• Semnale analogice - semnalele continue în timp si
  ca domeniu de valori
• Se studiaza in teoria clasica a semnalelor
  (integrale/derivate continue, transformata
  Fourier, Laplace, etc.)
• Semnale digitale semnale discrete din punct de
  vedere al evolutiei în timp si cuantizate ca
  domeniu de valori sunt denumite
• Se studiaza prin teoria semnalelor digitale sau
  discrete (sume integrale, transformata in Z, etc.)

5
Sisteme liniare

• Sisteme descrise prin ecuatii integro-diferentiale
  liniare
• Sisteme la care este valabil principiul
  suprapunerii efectelor
• Efectul unui semnal complex asupra unui sistem
  este egal cu suma efectelor produse de semnalele
  simple ce compun semnalul complex
• Efectul produs de un sistem liniar asupra unui
  semnal complex de intrare este egal cu suma
  efectelor produse asupra componentelor semnalului
• Sisteme reale
• Neliniare in ansamblu
• Linearizabile pe portiuni
• Cauze de neliniaritate
• Efect de saturatie (la valori prea mari)
• Legea de variatie a sistemului este neliniara
  prin natura fenomenelor incorporate
• Transformari de stare (ex fierbere, rupere, etc.)

6
Exemple de semnale (in domeniul continuu)

• Semnal sinusoidal
• x(t) A sin(?tf) A sin (2pft f) A sin
  (2p/T t f)
• unde A amplitudinea semnalului
• ? pulsatia
• f faza initiala a semnalului
• f frecventa semnalului
• T perioada
• t timpul

7
Exemple de semnale

• Semnal de tip treapta unitara 0 pentru t lt 0
• s(t)
• 1 pentru t gt 0
• Semnal rampa 0, pentru t lt0
• x(t)
• at, pentru t 0

8
Exemple de semnale

• Semnal de tip impuls aperiodic
• 0 pentru t lt 0
• p(t) 1 pentru 0 lt t lt ?t
• 0 pentru t gt ?t

N x(t) S ak p(t-kT)
k0 ?t T
9
Exemple de semnale

• Impulsuri periodice 1, pentru t ? (kT, kT
  ?t), k 0, 8
• x(t)
• 0, în rest
• Semnal de tip Dirac 0 pentru t
  lt 0
• d(t) lim 1/ ?t pentru 0 t ?t
• ?t?0
• 0 pentru t gt ?t
• Un semnal discret se exprima ca o suma ponderata
  de impulsuri Dirac.
• N
• x(t) S ak d(t-kT)
• k0

10
Semnale in domeniul discret

• Semnal discretizat in timp secventa de valori
  ale semnalului la momente kT (T- perioada de
  esantionare a semnalului)
• Exemple
• a. Semnal sinusoidal discret
• x(kT) A sin(?kTf)
• b. Semnal treapta unitara în domeniul discret
• 0, pentru k lt 0
• s(kT)
• 1, pentru k 0
• c. Impuls Dirac discret
• 1, pentru k 0
• d(kT)
• 0, pentru k ? 0

11
Analiza semnalelor

• Aproximarea semnalelor
• Un anumit semnal x(t) se poate descompune într-un
  numar finit sau infinit de functii elementare
• N
• x(t) S an fn(t)
• n0
• unde an ponderea functiei fn (valoare
  constanta)
• fn(t) set predefinit de functii elementare
• N numarul maxim de functii elementare
  necesare pentru exprimarea functiei x(t)

12
Set ortogonal de semnale elementare (simple)

• Relatia de ortogonalitate intre functii (semnale)
  elementare
• t0T C2 daca m n
• ? fm(t)fn(t) dt
• t0 0 daca n ? m
• unde fm si fn - doua functii elementare
• C norma (marimea) functiei elementare
• T intervalul de ortogonalitate
• t0 momentul considerat pentru calcul
• Un set de functii elementare este ortogonal daca
  se respecta proprietatea de ortogonalitate pentru
  oricare doua perechi de functii

13
Aproximarea unui semnal x(t) prin functii
elementare ortogonale

• Un set de functii elementare este ortogonal daca
  se respecta proprietatea de ortogonalitate pentru
  oricare doua perechi de functii

t0T t0T N
? x(t)fm(t) dt ?
(S an fn(t))fm(t) dt t0
t0 n0
N t0T S
an ( ? fn(t)fm(t)dt) am C2 , de unde
rezulta n0 t0
t0T am 1/C2 ?
x(t)fm(t) dt
t0
14
Componenta spectrala a unui semnal complex

• a0, a1, an amplitudinile componentelor
  spectrale ale semnalului

15
Transformata Fourier discreta

• Set ortogonal de semnale trigonometrice
• 1/v2 , cos(n ?t), sin(n ?t), n 0 .. N,
  ?2p/T
• Se verifica relatiile de ortogonalitate

16
Analiza Fourier a unui semnal

• exprimarea semnalului ca o suma ponderata de
  semnale sinusoidale de forma

8
8 x(t) C0 S Cn cos(n ?t)
S Sn sin(n ?t) n1
n1
t0T Cn 2/T ? x(t)cos (n
?t) dt t0
t0T Sn 2/T ?
x(t)sin (n ?t) dt t0
t0T C0 v2/T ? x(t)
dt t0
17
Transformata Fourier discreta a unui semnal
periodic x(t), de perioada T

• forma trigonometrica a transformatei Fourier
  discrete

8
8 F(t) C0 S Cn cos(n ?t)
S Sn sin(n ?t) n1
n1
18
Forma armonica a transformatei Fourier discrete

• Perechile de termeni Sn sin(n ?t) si Cn cos (n
  ?t) se pot exprima printr-o singura functie de
  forma
• An cos (n ?t fn) unde
• An2 Cn2 Sn2 - reprezinta patratul
  amplitudinii armonicii de rang n, iar
• fn - arctg Sn/Cn - reprezinta defazajul
  armonicii de rang n
• unde cos(?t f1) este componenta
  fundamentala de frecventa f
• cos(n?t fn) este armonica de rang n si
  frecventa nf
• fn este faza (unghiul de defazaj) al
  armonicii n
• An amplitudinea armonicii de rang n

8 F(t) A0 S An cos(n ?t
fn) n1
19
Forma complexa a transformatei Fourier discrete

• În expresia de mai sus, cos(n ?t fn) se poate
  considera ca parte reala a numarului complex e
  j(n ?t fn) (de reamintit forma trigonometrica
  a unui numar complex e j? cos? jsin?). Astfel
  termenul n din suma devine
• An cos(n ?t fn) Re An e j(n ?t fn) Re
  Anc e j(n ?t)
• unde Anc An e j(fn) este amplitudinea
  complexa a armonicii n

8 F(t)
A0 Re S Anc e j(n ?t)
n1
8 F(t) 1/2 S Anc
ej(n ?t) -8
20
Exemple de transformate Fourier pentru semnale
simple

• pentru semnal constant
• x(t) A
• - transformata Fourier are numai componenta
  constanta
• C0 A, Cn0, Sn0, pt, n1.. 8
• pentru semnal sinusoidal
• x(t) A sin (?0t)
• transformata Fourier are numai componenta
  fundamentala de pulsatie ?0t
• C0 0, Cn0, S1A, Sn0, pt, n2 .. 8

21
Exemple de transformate Fourier pentru semnale
simple

• semnal dreptunghiular
• A pentru t? 2kT, (2k1)T)
• x(t)
• -A pentru t? (2k1)T, (2k2)T)
  8
• x(t) 2A/? S 1/(2k1) sin((2k1) ?t)
• k0
• - transformata Fourier contine un numar infinit
  de functii sinus amplitudinea sinusurilor scade
  asimptotic la 0, în raport cu pulsatia
• C0 0, Cn0, S2k0, S2k12A/(2k1)?
• - O aproximare buna a semnalului dreptunghiular
  se poate face cu primele 3 componente spectrale

Sn
S2k1 2A/(2k1)?
? 2? 3? 4? 5? ?
22
Transformata Fourier pentru semnale aperiodice
(de tip impuls)

• Impuls semnal aperiodic de durata limitata
• Exemple de semnale de tip impuls
• semnal dreptunghiular singular
• impuls Dirac singular
• o semiperioada a unui semnal sinusoidal
• Perioada semnalului T tinde la infinit
• Pulsatia ? tinde la 0 gt distanta dintre
  componentele spectrale este infinitezimal de mica
• In transformata Fourier coeficientii Anc devin o
  functie continua de variabila j?
• Integrala care calculeaza coeficientiigttransforma
  ta Fourier continua
• Transformata Fourier inversa permite generarea
  (reconstruirea) unui semnal pe baza distributiei
  sale spectrale

8 X(j?) ? x(t) e- j?t
dt -8
8 x(t) 1/2p ?
X(j?) e- j?t d? -8
23
Proprietatile Transformatei Fourier

• Teorema întârzierii
• F(x(t-t0)) e-j?t0 X(j?)
• Teorema derivarii
• F( dx(t)/dt) ) j? X(j?)
• Teorema integrarii
• F(? x(t)dt) ) 1/j? X(j?)
• Teorema convolutiei
• Convolutia a doua functii x(t) si y(t) se
  defineste în felul urmator
• 8
• x(t)?y(t) ? x(t)y(t - t) dt
• -8
• Convolutia se utilizeaza frecvent pentru
  evaluarea efectului produs de un sistem liniar
  asupra unui semnal complex.
• 8
• F (? x(t)y(t - t) dt X(j?) Y(j?)
• -8