L

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Laddizione e la sottrazione nell'Insieme N dei
numeri naturali

• Proprietà
• Struttura in N

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Impareremo a

• Conoscere e comprendere il concetto di operazione
  aritmetica
• Conoscere e comprendere le operazioni di
  addizione e sottrazione
• Conoscere e comprendere come esse sono
  strutturate nell'insieme N le loro proprietà, il
  "comportamento", gli elementi neutri
• Lo 0 nelle due operazioni

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Cos'è un'operazione aritmetica?

• Eseguiamo una piccola operazione
• 235
• Abbiamo operato su due numeri, 2 e 3, con un
  certo procedimento che ci ha permesso di arrivare
  a un terzo numero, il 5.
• Il procedimento in questo caso è indicato dal
  simbolo

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• Diciamo che
• L'operazione aritmetica è un procedimento che ci
  permette di associare a due numeri dati in un
  certo ordine, un terzo numero che rispetti certe
  condizioni.
• I due numeri dati si dicono termini
  dell'operazione, il numero a cui si perviene si
  dice risultato dell'operazione.

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Addizione in N

• Operazione e termini
• Procedimento
• Definizione addizione
• Operazione interna
• Commutativa
• Associativa
• Dissociativa
• Elemento neutro

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Operazione e suoi termini

• Eseguiamo delle piccole addizioni considerando
  elementi appartenenti ad N, cioè numeri naturali
• 10515 8816 527
• addendi somma

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Procedimento

• Quale procedimento ci permette di ottenere le
  somme, cioè i risultati delle addizioni?
• Si tratta di porsi, nel primo esempio, la
  domanda dal numero 10 come arriviamo al numero
  15?
• Ma, dal 10 si arriva al 15 contando!
• E precisamente dal numero 10 contiamo tante unità
  quante sono indicate dal secondo addendo, il
  numero 5.

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Definizione di addizione

• Laddizione è dunque loperazione aritmetica che
  ci permette di associare due numeri detti addendi
  ad un terzo numero detto somma, al quale si
  arriva (o si perviene), contando successivamente
  al primo addendo tante unità quante sono le unità
  del secondo.

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Operazione interna

• Eseguendo un'addizione con numeri naturali
  qualsiasi, notiamo che i risultati sono ancora
  dei numeri naturali, cioè elementi di N. In
  generale
• " a, b ÎN abc c ÎN
• Questo ci fa dire che l'addizione è unoperazione
  INTERNA ad N. Linsieme N è chiuso rispetto
  alladdizione. In un diagramma di Eulero-Venn

N
8 8 16 5 2 7
7 4 11
4 1 5
10 5 15
15 5 20
4 4 8
10
Le proprietà l'addizione è commutativa

• 5611
• 6511
• In generale, il linguaggio degli insiemi ci aiuta
  nella sintesi,
• " a, b ÎN ab ba

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l'addizione è associativa

• 45312associo il 4 con il 5(45) 3 9
  3 12
• È la proprietà associativa
• " a,b,c Î N abc (ab)c
• a(bc)

12
Gode della proprietà dissociativa

• 3 25 28
• 3 20 5 28
• ho dissociato l'addendo 25
• Questa è la proprietà dissociativa
• " a,b,c,d Î N ab a(cd)
• con (cd)b

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Ha l'elemento neutro

• 650 11 65 11
• 8950 22 895 22
• 1154023 25 115423 25
• Noto che quando lo zero appare come addendo, non
  modifica il risultato delladdizione
• Lo zero è perciò chiamato elemento neutro
  delladdizione

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La sottrazione

• Procediamo come per laddizione
• 10 8 2
• minuendo sottraendo differenza (o resto)

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Procedimento

• Quale procedimento ci permette di ottenere le la
  differenza, cioè il risultato della sottrazione?
• Dal numero 10 come arriviamo al numero 2?
• Considera cè un legame tra addizione e
  sottrazione?
• 10-82 2810 e anche
• 10-28 8210
• La sottrazione è loperazione inversa
  delladdizione e, come tale

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Definizione della sottrazione

• Il numero 2 dunque è quel numero che sommato al
  numero 8 ci fa ottenere il 10!
• Perciò
• La sottrazione è loperazione aritmetica che ci
  permette di associare due numeri detti
  rispettivamente minuendo e sottraendo, ad un
  terzo numero, se esiste (in N), detto differenza
  o resto, che addizionato al sottraendo dia come
  risultato il minuendo.

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Operazione interna?

• Rappresentiamo loperazione di sottrazione con un
  diagramma di Eulero-Venn
• Ci accorgiamo che non sempre è possibile eseguire
  loperazione restando in N.
• La sottrazione non è unoperazione INTERNA ad N
  il risultato non sempre appartiene a N. Linsieme
  N non è chiuso rispetto alla sottrazione

N
8 8 0 5 2 3
?
10 15
7 4 3
?
3 7
15 5 10
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Le proprietà la sottrazione non è commutativa

• 9-63
• 6-9?3
• In generale
• " a, b ÎN a-b ? b-a

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Gode della proprietà invariantiva

• Consideriamo la sottrazione
• 12 7 5
• Operiamo nel seguente modo
• (122) (72) 14 9 5
• E ancora
• (12-4) (7-4) 8 3 5
• Il risultato di una sottrazione non cambia se al
  minuendo e al sottraendo si somma o si sottrae
  uno stesso numero è la proprietà invariantiva

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Brevi considerazioni

• Non possiamo dire che la sottrazione ha
  lelemento neutro poiché anche se
• 5-05
• Essendo falso 0-55
• lo zero non può considerarsi elemento neutro.
• La sottrazione, come anche le altre operazioni
  inverse, poiché operazione non interna
  allinsieme N, ci pone di fronte allesigenza
  dellampliamento di N, ci porta a conoscere nuovi
  insiemi numerici!

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E ancora

• In generale sulle operazioni
• Le proprietà delle operazioni sono importanti, ai
  fini del nostro studio, per il calcolo.
  Opportunamente utilizzate ci permettono i calcoli
  rapidi.
• Per le operazioni esaminate abbiamo considerato
  in questa presentazione le caratteristiche più
  generali.
• Di particolare interesse è
• losservazione delle tabelle relative alle due
  operazioni in cui possiamo riconoscere le
  proprietà o notare che laspetto stesso delle
  tabelle è determinato dalle proprietà delle
  operazioni.
• Per lo studio delle altre due operazioni
  fondamentali, moltiplicazione e divisione, si può
  procedere attraverso le stesse considerazioni ...