Corso di LABORATORIO DI DIDATTICA DELLA MATEMATICA Prof. C. DAPUETO- Prof.ssa G. PESCE Dalle distribuzioni di frequenza alle leggi di distribuzione Specializzandi: Bergamino - Chiavazza -Costa - Deambrogio - Goggi

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Corso di LABORATORIO DI DIDATTICA DELLA
MATEMATICAProf. C. DAPUETO- Prof.ssa G.
PESCEDalle distribuzioni di frequenza alle
leggi di distribuzioneSpecializzandi Bergamino
- Chiavazza -Costa - Deambrogio - Goggi
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INDICE

• Introduzione
• Statistica
• Statistica-Esercizi
• Dal discreto al continuo
• Probabilità
• Conclusioni

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Introduzione

• Collocazione progetto didattico
• Istituto tecnico commerciale indirizzo Mercurio
  con riferimento a
• classe IV (per quanto concerne il discreto)
• classe V (per quanto concerne il continuo).
• Triennio di un istituto tecnico ITIS oppure
  triennio di un liceo scientifico

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Introduzione

• Motivazioni della scelta
• La statistica e la probabilità sono argomenti
  particolarmente importanti per lo sviluppo della
  capacità critica dei discenti
• Linsegnamento della matematica deve contribuire
  alla formazione di un cittadino conscio
  (matematica per il cittadino), in grado di saper
  interpretare ed analizzare la realtà che lo
  circonda in modo consapevole
• I recenti temi dei test di ammissione alle
  facoltà scientifiche nonché i test PISA dedicano
  particolare importanza alla statistica e alla
  probabilità
• La statistica inoltre e un fondamentale
  strumento per superare alcuni limiti relativi a
  cio che un alunno pensa di se rispetto ai suoi
  compagni (es. altezza, peso, ecc.)

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Introduzione

• Si introduce il concetto di distribuzione
  di frequenza partendo da esempi concreti, anche
  basati su notizie, fatti di cronaca, dibattiti
  televisivi, ecc., im modo da
• stimolare maggiormente linteresse e il
  coinvolgimento degli studenti
• sottolineare i collegamenti interdisciplinari
  con
• economia aziendale,
• economia politica,
• scienza delle finanze,
• fisica,
• biologia,
• materie più umanistiche (es. semplice lettura di
  un quotidiano, notizie economiche, indagini
  ISTAT, ecc.)

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Introduzione

• Lapproccio didattico
• Predisporre delle schede ad hoc, anche con
  esercizi motivanti gli interessi degli allievi
• Il livello di approfondimento e di
  formalizzazione sarà maggiore con riguardo al
  liceo scientifico rispetto allapproccio seguito
  negli istituti tecnici
• Tratteremo
• Lo sviluppo della statistica descrittiva, nel
  discreto e nel continuo
• Gli eventi aleatori, e quindi la probabilità,
  sempre con riferimento prima al discreto e poi al
  continuo

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STATISTICA

• Far considerare agli studenti un certo insieme di
  oggetti, possibilmente a loro vicino e noto, ad
  es.
• laltezza degli alunni della classe
• i tempi di percorrenza da casa a scuola
• la scelta dei mezzi di trasferimento casa-scuola
• i voti dellultimo compito in classe
• i cd che un negozio di musica ha venduto nelle
  due settimane successive al festival di Sanremo
• il PIL dellItalia e degli altri Paesi europei

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Statistica

• Per introdurre empiricamente i concetti di
• carattere
• modalità
• popolazione
• frequenza assoluta e relativa (percentuale)
• distribuzione

• si considerano gli esempi visti e si invitano
  gli studenti ad analizzare il tipo di carattere
  considerato (qualitativo o quantitativo)
• si passa quindi ad una discussione critica
  per stimolare i discenti, accertandosi che
  abbiano una prima idea dei fenomeni
• si invitano ad esaminare come si distribuiscono
  questi dati, facendo ad esempio osservare quali
  siano le altezze più frequenti, ecc.

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Statistica

• Si intende quindi
• far sviluppare agli studenti esercizi relativi
  proprio alla costruzione di tabelle (o
  distribuzioni di frequenza), per familiarizzarli
  con la manipolazione di dati grezzi
• portare gli studenti alla comprensione e
  allopportunità del raggruppamento di dati in
  classi separate
• Parallelamente si propongono le medesime
  attività anche in laboratorio informatico
  mediante lausilio di Excel, di XLStat e di STAT
  scaricabile dal sito di MACOSA

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Statistica
NOTE

• La rappresentazione dei dati con carta e matita
  risulta spesso più difficile per gli studenti
  infatti devono prestare attenzione ad errori di
  calcolo che potrebbero portare a rappresentazioni
  totalmente errate, distogliendo così i discenti
  dalla finalità principale del lavoro.
• In particolare, luso di Excel facilita proprio
  la parte grafica e di calcolo, (lo studente è
  direttamente coinvolto nel processo di
  apprendimento).
• XLStat, invece, pur essendo uno strumento più
  potente, presenta un costo sicuramente più
  elevato e, inoltre, da un punto di vista
  didattico, si ritiene che debba essere utilizzato
  solo a posteriori, dopo lapprendimento dei
  concetti, come verifica del lavoro svolto dagli
  alunni, in quanto esso calcola automaticamente i
  vari indici statistici.
• Agendo in tal modo si utilizza una metodologia
  didattica di tipo percettivo-motorio, molto più
  efficace rispetto ad una metodologia di tipo
  simbolico-ricostruttivo in quanto consente di
  semplificare il processo di apprendimento dei
  discenti, risultando in tal modo meno faticoso e
  più incentivante.

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Statistica

• Si propone quindi di far svolgere agli
  studenti in maniera diretta indagini su fenomeni
  specifici. Esempi
• indagine sul numero di studenti stranieri
  iscritti nella scuola negli ultimi anni
• indagine sul costo di un determinato bene nel
  tempo
• per un liceo scientifico, la temperatura nei vari
  giorni
• Poi si può agevolmente introdurre il
  concetto di istogramma come strumento per
  raffigurare la distribuzione di frequenze
• Si procede con lintroduzione degli indici
  di posizione (moda, mediana, media aritmetica) e
  dei principali indici di dispersione (varianza,
  scarto quadratico medio, coefficiente di
  variazione), con lo scopo di ottenere misure di
  sintesi e di confronto tra variabili statistiche.
  
• (Esempi sempre collegati con casi reali
  vicini agli studenti)

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Esercizi

• ESERCIZIO 1

La tabella seguente riporta la distribuzione dei
voti conseguiti in matematica da 26 studenti di
una classe.
A B C D E F G H I J K L M N O
7 4 8 9 8 7 7 6 5 4 4 3 7 6 8
P Q R S T U W X Y Z          
5 5 7 6 7 8 8 9 6 4          
Si individui la tipologia di carattere osservata,
si raggruppino i dati in unopportuna tabella e
si proceda quindi al calcolo degli opportuni
indici di posizione.
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Esercizi
ESERCIZIO 2 Le azioni FIAT, in 5 sedute
successive della Borsa di Milano, hanno avuto le
seguenti quotazioni (in euro) 2,98 2,97 2,98
2,99 2,98 Se una persona ha acquistato, a
ogni seduta, 100 azioni, qual è stato il costo
medio per azione? E se ne ha acquistate 200 ad
ogni seduta?
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Dal discreto al continuo

• Attraverso opportuni esempi (velocita di
  unauto, altezza di una persona...) si vogliono
  portare gli studenti al passaggio dal discreto al
  continuo, mostrando come molti fenomeni reali
  possono assumere un qualsiasi valore in un certo
  intervallo.
• Esempio Rilevazione dellaltezza
• Rilevazione dellaltezza degli studenti (piccolo
  campione)
• istogramma sperimentale
• Ampliamento della dimensione del campione
• distribuzione teorica continua

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Dal discreto al continuo

• Consideriamo un grande numero di individui, ad
  esempio 100.000, si ottengono 100.000 valori di
  altezza, compresi tra un minimo ed un massimo. Si
  evidenzia che maggiore e la numerosita del
  campione, maggiore e la precisione nella
  determinazione della media e varianza (mm al
  posto di cm)
• Si possono rappresentare graficamente tutti i
  suddetti valori
• raggruppandoli in classi
• costruendo un istogramma (sulle ascisse sono
  riportati i valori delle altezze e sullordinata
  la densità di frequenza, che si intende proprio
  introdurre in questa sede, come rapporto tra la
  frequenza relativa e lampiezza della classe)
• Listogramma sarà costituito da tanti rettangoli
  quante sono le classi in cui sono stati suddivisi
  i valori.
• Aumentando il numero di classi diminuisce la
  loro ampiezza e, quindi, la base dei singoli
  rettangoli, ma larea totale dellistogramma
  rimane sempre costante, pari ad uno

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Dal discreto al continuo

• Area dellistogramma somma delle aree di tutti
  i rettangoli
• Area rettangolo base altezza (ampiezza
  classe densità di frequenza) frequenza
  relativa
• comprensione di un concetto di per sé
  complesso passo passo, partendo proprio dalla
  rappresentazione grafica
• Al crescere del numero dei rettangoli
  listogramma tende ad una funzione continua, la
  cui area vale ancora uno, detta funzione di
  densità

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Dal discreto al continuo

• Si evidenziano
• le distribuzioni teoriche che riproducono
  andamenti tipici delle distribuzioni di frequenza
  (esempio distribuzione normale o gaussiana)
• Il confronto fra istogramma sperimentale ottenuto
  prima e la distribuzione gaussiana teorica ?
  buona approssimazione del fenomeno considerato
• il collegamento con lanalisi, con riferimento al
  concetto di integrale (area sottesa ad una curva)
  
• Per gli studenti di un liceo scientifico, -gt si
  approfondirà in analisi il concetto di integrale
  indefinito e definito
• per gli studenti di un istituto tecnico
  commerciale -gt concetto sviluppato solo a livello
  intuitivo, senza eccessivi formalismi
• Note la media e la varianza del campione
  e possibile calcolare in modo preciso la
  percentuale di popolazione avente altezza
  compresa in un certo intervallo, evitando cosi
  di sommare le aree dei singoli rettangoli
  dellistogramma

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Probabilità

• Con la statistica si analizzano dati certi,
  osservati ex post, mentre con la probabilità si
  introduce il concetto di evento aleatorio, inteso
  come accadimento il cui esito sia incerto.
  A tal fine si fornisce una serie di esempi
• il numero di automobili che transitano su
  unautostrada in un dato giorno
• luscita di un dato numero al gioco del lotto
• il valore che può assumere un titolo azionario
• la temperatura registrata in una giornata
• laltezza di un alunno in una classe
• Si va così a definire il concetto di
  probabilità, nodo concettuale problematico dal
  punto di vista definitorio e didattico

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Probabilità

• ESEMPIO 1
• Luisa, che sa della fine della mia
  storia con Mario, ed ama gli indovinelli, mi
  dice Sai, viene a trovarmi per qualche giorno
  Sergio, un mio lontano cugino, dall'Emilia.
  Potremmo andare a cena assieme, e poi, chissà,
  potrebbe nascere qualcosa! Sergio non è molto
  alto, ma ha un bell aspetto, anche se porta gli
  occhiali. Gli piace leggere. È un po' taciturno,
  ma quando parla sa essere piacevole. Non ti dico
  altro.
• Prova a indovinare che mestiere fa (A) il
  magistrato, (B) il bibliotecario, (C)
  l'agricoltore, (D) l'attore o (E) il dentista?
  In assenza di altre informazioni su Sergio e, in
  generale, sui parenti di Luisa, ipotizzando che
  Luisa sappia che io non ho particolari preferenze
  per un mestiere o l'altro, come dovrei
  rispondere per individuare il mestiere più
  probabile?
• In effetti, si può osservare proprio come fra i
  mestieri indicati, in Emilia, e in tutte le
  regioni italiane, il più frequente è di gran
  lunga sicuramente l'agricoltore. E ai nostri
  giorni anche gli agricoltori portano gli
  occhiali, e leggono. Solo qualche stereotipo, e
  l'assenza di considerazioni statistiche, potrebbe
  indurre a pensare che la risposta OK sia
  "bibliotecario". Diversa, ovviamente, sarebbe la
  situazione se Luisa avesse 5 cugini che fanno i
  mestieri indicati.

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Probabilità

• ESEMPIO 2
• Lancio ripetutamente un dado (non
  truccato).Quale tra i seguenti fatti è più
  probabile? (A) Ottenere di fila 5,2,1,4,3,6  
  (B) Ottenere di fila 5 volte 6 (C) Ottenere di
  fila 1,2,3,4,5,6   (D) Ottenere di fila 6 volte
  1 (E) Ottenere di fila 1,1,2,2,3,3
• Se lancio un fissato numero di volte un dado
  non truccato, tutte le sequenze di uscite hanno
  la stessa probabilità non c'è motivo per cui,
  facendo 3 lanci, 333 sia meno probabile di, ad
  es., 524.Nel nostro caso il fatto più probabile
  è (b) in quanto si tratta di una sequenza tra
  tutte le possibili (e tra loro equiprobabili)
  sequenze di 5 uscite tutte gli altri fatti sono
  meno probabili si tratta di una sequenza tra
  tutte le possibili sequenze di 6 uscite, che sono
  molte di più (sono 6 volte la quantità delle
  sequenze di 5 uscite la probabilità di B è 6
  volte la probabilità di ciascuno degli altri
  eventi).

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Probabilità

• Difficoltà degli studenti nella comprensione
  della probabilità
• È diffusa lidea che una successione
  "regolare" di uscite sia più improbabile di una
  uscita meno regolare. Esercizi di questo genere
  sono assai utili per mettere in luce le
  misconcezioni e aprire con gli alunni momenti di
  discussione su di esse.
• Si mostreranno quindi le differenti
  definizioni di probabilità (classica e
  frequentista), mostrandone altresì i limiti

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Probabilità

• Si introduce il concetto di variabile aleatoria
  (grandezza che può assumere valori differenti in
  modo imprevedibile).Esempi
• il numero di teste che si presentano lanciando n
  monete,
• la velocità di unauto in un determinato istante,
  
• il n dei centri di un bersaglio nel tiro al
  piattello su n colpi,
• il n di carte di cuori estraibili da un mazzo di
  40,con o senza reinserimento
• la statura di una persona
• Si introducono quindi i concetti di
• variabili aleatorie discrete -possono assumere
  solo determinati valori
• variabili aleatorie continue -assumono qualsiasi
  valore entro un certo intervallo
• Per definire in modo esauriente una variabile
  aleatoria è necessario definire sia i valori che
  la grandezza può assumere sia con quale
  probabilità può assumere tali valori, ovvero si
  deve definire la sua distribuzione di probabilità
  (funzione di probabilità)

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Probabilità

• Si introducono esempi di variabili aleatorie
  discrete (evidenziando come discreto non implichi
  finito)
• Si procede ad una loro rappresentazione grafica
  (istogrammi) Esempio di distribuzione di
  probabilità discreta binomiale (prob. di
  ottenere x successi in n prove indipendenti)
  
• Analogamente e specularmente a quanto osservato
  con riferimento alle distribuzioni di frequenza
  di fenomeni statistici, si procede al passaggio
  al continuo anche per le variabili aleatorie.
• In particolare si fa notare attraverso esempi
  opportuni con lausilio di software (ad esempio
  Stat o Excel) come, aumentando il numero delle
  prove effettuate, listogramma sperimentale
  converga ad una distribuzione teorica continua,
  come ad es. la gaussiana o uniforme
• Si vuole anche evidenziare come esistano
  fenomeni che presentano andamento continuo
  irregolare (es. peso degli individui), non
  rappresentabili mediante distribuzione gaussiana
  o uniforme

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Probabilità

• ESEMPIO altezza di una popolazione di individui
• Si può mostrare come listogramma
  sperimentale sia ben approssimabile dalla
  distribuzione gaussiana teorica, avente media e
  varianza della popolazione in esame.
• Note media e varianza, e possibile
  calcolare la probabilita che laltezza degli
  individui sia compresa in un certo intervallo

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Probabilità

• Larea sottesa alla curva in un certo intervallo
  
• In statistica rappresenta la percentuale,
  ovvero la frequenza relativa, di soggetti aventi
  carattere con valori in tale intervallo
• In probabilità rappresenta la probabilità che
  levento assuma valori in tale intervallo. Tale
  area, ovvero la probabilità, potrà essere
  calcolata tramite
• calcolo integrale
• qualora trattasi di particolari distribuzioni,
  quale la gaussiana ?uso di tavole o, piu
  opportunamente, tramite calcolatrice o software
• qualora trattasi di distribuzione uniforme ?
  geometria (area rettangolo)
• Il passo conclusivo può essere quello di passare
  al concetto di inferenza, mostrando come, nota la
  distribuzione del campione, sia possibile passare
  alla distribuzione della popolazione con un certo
  livello di confidenza (stima) 
  

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Conclusioni

• Tipologie di difficoltà incontrabili dai
  discenti
• difficoltà a distinguere il concetto di carattere
  da quello di frequenza
• difficoltà a raggruppare opportunamente i dati in
  classi
• difficoltà riscontrabili nel passaggio dal
  discreto al continuo relative alla non
  consapevolezza dell importanza della numerosità
  del campione, (in quanto solo con popolazioni
  ampie vale la legge dei grandi numeri e la
  convergenza della distribuzione discreta verso
  quella continua)
• difficoltà tipica del pensiero probabilistico,
  ovvero l'idea che una successione "regolare" di
  uscite sia più improbabile di una uscita meno
  regolare
• difficoltà di comprensione della differenza fra
  fenomeno statistico ed evento aleatorio
• In generale, difficoltà legate ad un
  atteggiamento di pensiero, che potrebbero
  condizionare la vita sociale molto di piu
  rispetto ai tradizionali concetti matematici