L

1
Lógica de Predicados

• Tableaux semânticos

2
Sistema de Tableaux Semânticos

• Alfabeto da Lógica de Predicados
• Conjunto de fórmulas da Lógica de Predicados
• Conjunto de regras de dedução (ou regras de
  inferência)

3

• R1HG R2HvG R3H?G
• H
• G H G ?H G
• R4H?G R5??H R6?(HG)
• H
• HG ?H?G ?H ?G
• R7?(HvG) R8?(H?G) R9?(H?G)
• ?H H
• ?G ?G ?HG H?G

4
Regras novas, para quantificadores

• R10?(?x)H R11 ?(?x)H
• (?x)?H (?x)?H
• R12(?x)H R13 (?x)H
• H(t) H(t)
• onde t é novo, onde t é qualquer
• que não apareceu
• na prova ainda
• R10 e 12 devem ter preferência!
• Por quê???

5
Porque um termo novo (R12)?

• Se Hp(x) e Uo conjunto de alunos do CIn
• Ip(x)T D xI é inteligente
• Se I(?x)p(x)T D pela R12 Ip(t)T
• D pItIT
• tI TEM que ser um aluno inteligente
• não pode ser qualquer aluno

6
Porque um termo qualquer (R13)?

• Se I(?x)p(x)T D pela R13 Ip(t)T
• D pItIT
• tI pode ser qualquer aluno
• Todos são inteligentes
• A escolha de um t é livre

7
Características do Método de Tableau Semântico

• Extensão do Tableaux proposicional
• Baseado em árvores
• Ramos são decomposições de H em subfórmulas
• ou seja, possibilidades de interpretações da
  fórmula
• Cada ramo representa uma ou mais interpretações
• Adequado para implementação, mas não nesta forma
  que iremos apresentar

8
Idéia Básica de Tableaux Semânticos

• Concebido por E. Beth (1954) e Jaako Hintikka
  (1955)
• Cada interpretação representa um mundo possível
• Interpretação caminho da raiz da árvore a uma
  folha
• Semântica dos Mundos Possíveis
• Buscam admissões de interpretações

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Características do Método de Tableau Semântico
(cont.)

• Sistema de refutação
• Prova por negação ou absurdo
• Para provar H supõe-se inicialmente, por absurdo,
  ?H
• As deduções desta fórmula levam a um fato
  contraditório (ou absurdo)
• Então H é verdade!!

10
Ramo aberto e fechado

• Ramo fechado contém uma fórmula B e sua negação
  ?B, ou o símbolo de verdade false
• Tableau fechado não contém ramos abertos

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Prova e Teorema em Tableaux Semânticos

• Uma prova de H usando tableaux semânticos é ...
• Um tableau fechado associado a...
• ?H!
• Neste caso, H é um teorema do sistema de tableaux
  semânticos

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Exemplo 1Construção de um Tableau

• H(?x)(?y)p(x,y) ? p(a,a) é tautologia?
• Tableau sobre ?H
• 0. ?((?x)(?y)p(x,y) ? p(a,a))
• 1. (?x)(?y)p(x,y) R8,0
• 2. ?p(a,a) R8,0
• 3. (?y)p(a,y) R13,1 com ta
• 4. p(a,a) R13,3 com ta
• fechado

13
Exemplo 2Construção de um Tableau

• H(?x)p(x) ? (?y)p(y) é tautologia?
• Tableau sobre ?H
• 0. ?((?x)p(x) ? (?y)p(y))
• 1. (?x)p(x) R8,0
• 2. ?(?y)p(y) R8,0
• 3. (?y)?p(y) R11,2
• 4. ?p(a) R13,3 com ta
• 4. p(a) R13,1 com ta
• fechado

14
Exemplo 3Construção de um Tableau

• W (?x)(Bom(x) ? Alegria) ? (?x) (Bom(x) ?
  Alegria)
• Tableau sobre ?W???

15

• 0. ?((?x)(Bom(x) ? Alegria) ? (?x) (Bom(x) ?
  Alegria))
• 1. ??(?x)(Bom(x) ? Alegria) R8,0
• 2. ?(?x) (Bom(x) ? Alegria)) R8,0
• 3. (?x)(Bom(x) ? Alegria) R5,1
• 4. (?x)?(Bom(x) ? Alegria) R11,2
• 5. (?x)Bom(x) R8,4
• 6. ?Alegria R8,4
• 7. Bom(a) R13, ta
• 8. (?x)?Bom(x) Alegria R3,3
• 9. ?Bom(a) fechado R13,8, ta
• fechado

16
Exercícios

• J((?x)p(x)(?x)q(x)) ? (?x)(p(x)q(x))
• P(?x)(p(x)q(x)) ? ? (?x)p(x) (?x)q(x))
• Q(?x)(p(x) ? (?y)(p(y))
• E outros do livro!

17
Exemplo de prova

• M(?x)(?y)p(x,y) ? p(a,a)
• 0. ?((?x)(?y)p(x,y) ? p(a,a))
• 1. (?x)(?y)p(x,y) R8,0
• 2. ?p(a,a)) R8,0
• 3. (?y)p(t1,y) R12,1, t1 novo, t1?a
• 4. p(t1,t2) R12,1, t2 novo, t2?a e t1
• Fechado???
• Se R12 fosse usada com t1 e t2a (errado!), o
  tableau seria fechado

18
Exemplo 2 de prova

• H(?x)p(x)q(x) ? (?x)p(x) é tautologia?
• Fazer o Tableau sobre ?H

19
Exemplo 2 de prova (cont.)

• H(?x)p(x)q(x) ? (?x)p(x)
• 0. ?((?x)p(x)q(x) ? (?x)p(x))
• 1. (?x)p(x)q(x) R8,0
• 2. ?(?y)p(x) R8,0
• 3. p(t)q(t) R13,1, t qualquer
• 4. p(t) R1,3
• 5. q(t) R1,3
• 6. ?p(t1) R12,2, t1 novo, t1?t
• Aberto - Que tristeza ?

20
Exemplo 2 de prova (cont.)

• H(?x)p(x)q(x) ? (?x)p(x)
• 0. ?((?x)p(x)q(x) ? (?x)p(x))
• 1. (?x)p(x)q(x) R8,0
• 2. ?(?y)p(x) R8,0
• 3. ?p(t) R12,2, t novo
• 4. p(t)q(t) R13,1, t qualquer
• 4. p(t) R1,4
• 5. q(t) R1,4
• 6. Fechado - Que alegria ?

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Portanto, cuidado!!

• Sobre uma tautologia, é possível gerar tableaux
  abertos e fechados associados à sua negação!
• E se uma fórmula for tautologia, é possível gerar
  um tableau fechado associado à sua negação?
• Teorema da correção é válido para tableaux
  semânticos de 1ª. ordem
• O teorema da completude também

22
Em FOL é mais complicado...

• E se é possível gerar um tableau fechado
  associado à negação duma fórmula, ela é
  tautologia?
• Correção ou completude?
• E se uma fórmula não for tautologia,
• é possível gerar um tableau fechado associado à
  sua negação?
• Todos os tableaux associados à sua negação são
  abertos?
• Se foi gerado um tableau aberto associado à
  negação duma fórmula, ela não é tautologia?
• Se só podem ser gerados tableaux abertos
  associado à negação duma fórmula, ela não é
  tautologia?

23
Mais exercícios... Fumo!!

• E1(?x)(p(x) ? q(x))
• E2(?x)p((x) ? (?x)q(x))
• E1 ? E2??
• G1(?x)(p(x) ? q(x))
• G2(?x)p((x) ? (?x)q(x))
• G1 ? G2??
• G2 ? G1??

24
Conseqüência Lógica em Tableaux Semânticos

• Dada uma fórmula H e
• um conjunto de hipóteses bH1,H2,...Hn,
• então H é conseqüência lógica em tableaux
  semânticos de b
• se existe uma prova, usando tableaux semânticos
  de
• (H1H2...Hn) ? H
• Porém em Lógica de 1ª. Ordem, isto é raro...

25
Notação de Conseqüência Lógica em Tableaux
Semânticos

• Dada uma fórmula H, se H é conseqüência lógica de
  um conjunto de hipóteses bH1,H2,...Hn em
  tableaux semânticos, diz-se que
• b H ou
• H1,H2,...Hn H
• H1,H2,...Hn,?H
• Queremos provar, por negação ao absurdo, que b U
  H é insatisfatível
• b U H Falso

26
Exercício de Cons. Lógica

• (?x)(Homem(x) ? Mortal(x)), Homem(Sócrates)
  Mortal(Sócrates)?
• Prova por tableaux de
• H (?x)(Homem(x) ? Mortal(x)) Homem(Sócrates)) ?
  Mortal(Sócrates)
• ?H ?((?x)(Homem(x) ? Mortal(x))
  Homem(Sócrates)) ? Mortal(Sócrates))

27
Exercício de Cons. Lógica (cont.)

• ?H ?((?x)(Homem(x) ? Mortal(x))
  Homem(Sócrates)) ? Mortal(Sócrates))
• Por R8, queremos um tableau fechado que começa
  SEMPRE com as premissas e negação dõ conseqüente
• 1. (?x)(Homem(x) ? Mortal(x)) Homem(Sócrates))
  R3,0
• 2. (?x)(Homem(x) ? Mortal(x)) R1,1
• 3. Homem(Sócrates) R1,1
• 4. ?Mortal(Sócrates) R3,0
• Portanto se eu gerar o conseqüente
  (Mortal(Sócrates)) diretamente, eu já tenho uma
  contradição!
• Podem (e devem) usadas outras contradições

28
Exercício de Cons. Lógica (cont.)

• 1. (?x)(Homem(x) ? Mortal(x)) Homem(Sócrates))
• 2. (?x)(Homem(x) ? Mortal(x))
• 3. Homem(Sócrates)
• 4. ?Mortal(Sócrates)
• 5. Homem(Sócrates) ? Mortal(Sócrates)
• 6. ?Homem(Sócrates) Mortal(Sócrates)
• Fechado Fechado

29
Conclusões

• Dada uma fórmula da lógica proposicional H
• H é tautologia D EXISTE um Tableau associado a ?H
  que é fechado
• H é contraditória (insatisfatível) D?H é
  tautologia D EXISTE um Tableau associado a H que
  é fechado
• H é refutável D TODO Tableau associado a ?H é
  aberto (não necessariamente aberto completamente)

30

• E para a implementação??

31
Tem um probleminha...

• 0. ?((?x)(Bom(x) ? Alegria) ? (?x) (Bom(x) ?
  Alegria))
• 1. ??(?x)(Bom(x) ? Alegria) R8,0
• 2. ?(?x) (Bom(x) ? Alegria)) R8,0
• 3. (?x)(Bom(x) ? Alegria) R5,1
• 4. (?x)?(Bom(x) ? Alegria) R11,2
• 5. (?x)Bom(x) R8,4
• 6. ?Alegria R8,4
• 7. Bom(a) R13, ta
• 8. (?x)?Bom(x) Alegria R3,3
• 9. ?Bom(a1) fechado R13,8, ta
• 10. ?Bom(a2)
• .... E nunca fazer xa

32
Solução

• Tableaux semânticos podem ser usados, mas
• Podem não ser decidíveis (por quê?)
• ocupam muita memória, para gerar as instanciações
  possíveis
• Aguardem os próximos capítulos...
• Unificação!!