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8INF433

• Introduction à la cryptographie

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Terminologie

• Expéditeur
• Destinataire
• Message
• texte en claire
• texte chiffré (cryptogramme)
• texte en clair texte
  chiffré texte en
  clair

Chiffrement
Déchiffrement
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Terminologie

• Cryptographie art et science du chiffrement
• Cryptanalyse Art et science du déchiffrement
• Cryptologie Branche de l'informatique théorique
  qui traite de la cryptographie et de la
  cryptanalyse

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Formalisation

• M suite de caractères (message)
• Fonction de chiffrement
• E(M)C
• Fonction de déchiffrement
• D(C)M
• On doit avoir D(E(M))M

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Algorithme cryptographique

• Paire de fonctions utilisées pour le chiffrement
  et le déchiffrement.
• Algorithme restreint l'algorithme est secret
• N'est plus utilisé
• La conception d'un tel algorithme nécessite un
  expert
• On ne peut utiliser d'algorithmes commerciaux
• Différents algorithmes pour différents
  utilisateurs.

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Clef cryptographique

• Valeur K provenant d'un grand ensemble de valeurs
  possibles (espace des clefs).
• En général on a besoin de deux clefs
• K1 pour le chiffrement
• K2 pour le déchiffrement
• L'algorithme cryptographique est connu de tous
  mais dépend des deux clefs
• EK1(M)C
• DK2(C)M

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Clef cryptographique

• Le secret réside dans la (ou les) clef(s) et non
  dans les détails de l'algorithmes.

K1
K2
M
C
M
Chiffrement
Déchiffrement
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Deux types d'algorithmes

• Algorithmes à clef secrète
• K1 peut être calculé à partir K2 et vice versa.
• On a souvent K1K2
• K1 et K2 doivent être secrètes
• Algorithmes à clef publique
• K1?K2
• K2 ne peut pas être calculé à partir de K1
• K1 peut être publique
• K2 doit être secrète (clef privée)

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Algorithme à clef secrète

• DES, AES, etc.
• Chiffre à substitution Chaque caractère du
  message est remplacé par un autre caractère.
• Exemple Chaque caractère du message est
  remplacé par celui qui se trouve K places plus
  loin (modulo 26)
• Code de Jules César K3
• Si le message est en binaire, on peut le
  segmenter en blocs de longueur L et remplacer
  chaque bloc B par
• (BK) mod 2L
• où K lt 2L est la clef.
• Machines à rotors (Enigma)

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Algorithme à clef secrète

• Chiffre à transposition Les caractères du
  message sont inchangés mais leur position est
  modifiée.
• Exemple (transposition simple en colonne)
• "L'assassin est le docteur Matrix, regardez
  derrière l'horloge"
• LASSASSIN
• ESTLEDOCT
• EURMATRIX
• REGARDEZD
• ERRIERELH
• ORLOGE
• "LEERE OASUE RRSTR GRLSL MAIOA EAREG SDTDR ESORE
  EICIZ LNTXD H"

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Algorithme à clef secrète

• Technique du masque jetable (onetime pad, 1919)
  Seule méthode connue 100 sécure.
• On veut chiffrer un message.
• MASQUEJETABLE
• On choisit de façon aléatoire une séquence de
  caractères
• TBFRGFARFMIKL
• On effectue une substitution pour obtenir un
  message totalement aléatoire
• GCYIBKKWZNKWQ

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Algorithme à clef secrète

• Si on ne connait pas la clef TBFRGFARFMIKL alors
  il est impossible de retrouver le message
  original.
• Toutes les clef sont également probables et
  celle-ci aurait aussi bien pu être
• RXDCXFHVQBYRX
• Si on déchiffre GCYIBKKWZNKWQ avec cette clef on
  obtient
• OEUFSDECAILLES
• Si on avait choisit la clef
• RTFDAPUVHMGNX
• on aurait obtenu le texte en clair
• OISEAUPARADIS

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Échange de clefs

• Le principal problème de la technique du masque
  jetable est la distribution de la clef.
• Le premier algorithme d'échange de clefs a été
  inventé par Diffie et Hellman en 1976.
• Alice et Bernard se mettent d'accord sur deux
  grands entiers n et g de telle manière que g soit
  primitif par rapport à n.

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Nombres primitifs

• g est primitif par rapport à n si tous les
  nombres entre 1et n-1 peuvent être exprimés sous
  la forme gi mod n.
• Exemple g2 et n11
• 210 1024 1 (mod 11)
• 21 2 2 (mod 11)
• 28 256 3 (mod 11)
• 22 4 4 (mod 11)
• 24 16 5 (mod 11)
• 29 512 6 (mod 11)
• 27 128 7 (mod 11)
• 23 8 8 (mod 11)
• 26 64 9 (mod 11)
• 25 32 10 (mod 11)

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Protocole de Diffie et Hellman (1976)

• Alice choisit un grand nombre entier aléatoire x
  et envoie à Bernard le résultat du calcul
• Agx mod n
• Bernard choisit un grand nombre entier aléatoire
  y et envoie à Alice le résultat du calcul
• Bgy mod n
• Alice calcule k Bx mod n
• Bernard calcule k' Ay mod n
• Les valeurs k et k' sont toutes deux égales à gxy
  mod n

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Fonction à sens unique

• Fonction facile à calculer mais dont l'inverse
  est difficile à calculer (même de façon
  probabiliste).
• Logarithme discrêt fonction inverse de
• f(x) gx mod n
• Factorisation Il est possible de multiplier
  efficacement deux grands nombres entiers mais
  aucun algorithme efficace n'est connu pour
  factoriser un grand nombre.

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Cryptologie à clef publique

• Clef publique K1
• Clef privée K2
• Fonction de chiffrement EK1(M)
• Fonction de déchiffrement DK2(C)
• DK2(EK1(M)) EK1(DK2(M)) M

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Comment cela fonctionne?

• Chaque utilisateur doit posséder une clef
  publique et une clef privée.
• Si Alice veut envoyer un message M à Bernard elle
  utilise la clef publique K1 de Bernard et envoie
• C EK1(M)
• Bernard reçoit C et utilise sa clef privée K2
  pour calculer
• M DK2(C)

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Quel est l'avantage?

• 1. N'importe qui peut envoyer un message à
  Bernard en utilisant sa clef publique.
• 2. Bernard peut utiliser sa clef privée pour
  signer un message M
• Il calcule d'abord
• S DK2(M)
• Puis il envoie à Alice le message
• (M,S)
• Pour vérifier que le message a bien été envoyé
  par Bernard, Alice calcule
• T EK1(S)
• Si M T alors Alice sait que seul Bernard a pu
  signer ce message et que le message n'a pas été
  modifié.

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RSA (Rivest, Shamir et Adleman 1978)

• Choisir aléatoirement deux grand nombres premiers
  p et q différents.
• Calculer npq et ?(n)(p-1)(q-1)
• Choisir un entier e impair relativement premier à
  ?(n)
• Calculer d tel que ed mod ?(n) 1
• Publier la clef publique (e,n)
• Garder secrète la clef privée (d,n)
• Fonction de chiffrement E(M) Me mod n
• Fonction de déchiffrement D(C) Cd mod n

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Étape 1

• Comment trouver un nombre premier aléatoire
• On choisit un grand nombre impair au hasard
• On effectue le test de Miller-Rabin pour
  déterminer s'il est premier
• S'il n'est pas premier on l'incrémente de 2 puis
  on refait l'étape précédente
• Théorème de densité des nombres premiers Pour
  tout entier k, il y a environ k/lg k nombres
  premiers plus petit que k.

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Étape 2

• Calculer npq et ?(n)(p-1)(q-1)
• Nous avons déjà vu des algorithmes efficaces pour
  calculer le produit de deux grands nombres
  entiers.

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Étape 3

• On veut un entier e impair et relativement
  premier à ?(n).
• On choisit elt?(n) au hasard puis on appelle
  Euclide(e, ?(n))
• Euclide(a,b)
• si b0 alors retourner a
• sinon retourner Euclide(b,a mod b)
• Si e n'est pas relativement premier à ?(n) alors
  on incrémente e successivement jusqu'à ce que
  l'on obtienne le nombre désiré.

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Étape 4

• Nous avons besoin de l'algorithme d'Euclide
  étendu qui permet de trouver trois valeurs
  entières (d,x,y) tels que
• t PGCD(a,b) ax by
• Euclide_étendu(a,b)
• si b0 alors retourner (a,1,0)
• sinon
• (t',x',y') Euclide_étendu(b,a mod b)
• retourner (t,x,y) (t',y',x'- ?a/b? y')
• En supposant que l'appel récursif fonctionne
  correctement on obtient
• t t' bx' (a mod b) y'
• bx' (a - ?a/b? b) y'
• ay' b (x' - ?a/b? y')
• Ce qui correspond bien aux valeurs retournées par
  l'algorithme.

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Étape 4 (suite)

• L'algorithme d'Euclide étendu calcule un triplet
  (t,x,y) tel que
• t PGCD(a,b) ax by
• On a donc
• 1 PGCD(e, ?(n)) ex ?(n) y
• Ce qui implique
• ex mod ?(n) 1
• Il suffit donc de prendre dx.

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Pourquoi cela fonctionne-t-il?

• Si M mod p 0 alors Med mod p M mod p0
• Sinon
• Med mod p M1k(p-1)(q-1) mod p (pour un
  certain k)
• M?(M(p-1))k(q-1) mod p
• M?(1)k(q-1) mod p (Fermat)
• M mod p
• Similairement Med mod q M mod q

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Pourquoi cela fonctionne-t-il?

• Theorème du reste chinois
• Soit p1, p2, ..., pk des nombres relativement
  premiers.
• Alors le système d'équations
• x ai mod pi (1?i ?k )
• Possède une solution unique modulo np1p2...pk
• Corollaire
• On a
• b a mod p et
• b a mod q
• si et seulement si
• b a mod n

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Pourquoi cela fonctionne-t-il?

• Conclusion Si M lt npq alors
• Med mod p M
• Med mod q M
• donc par le théorème du reste chinois
• Med mod n M

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Utilisation de RSA

• Puisque
• D(E(M)) M mod n
• alors on doit avoir Mltn
• Pour chiffrer de plus long messages il suffit de
  le diviser en blocs MM1 M2 ... Mt de sorte que
  Miltn pour tout 1it
• On peut aussi utiliser RSA pour transmettre une
  clef et ensuite utiliser un algorithme à clef
  secrète.

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Exemple d'utilisation de RSA

• Prenons p47 et q71
• n 3337 et ?(n) 46?70 3220
• Choisissons e79 et d1019
• (on peut vérifier que ed 80501 1 25 ?3220)
• Pour chiffrer le message 688232687966668 on
  commence par le diviser en petit blocs de trois
  chiffres
• m1 m2 m3 m4 m5 m6 688 232 687 966 668
• En utilisant la clef (e,n)(79, 3337) on calcule
  le premier bloc
• 68879 mod 3337 1570 c1

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Exemple d'utilisation de RSA

• Les autres blocs sont chiffrés de la même manière
  et on obtient
• c1 c2 c3 c4 c5 c6 1570 2756 2091 2276 2423
• Pour déchiffrer le message on utilise la clef
  (d,n)(1019, 3337) et on obtient pour le premier
  bloc
• 15701019 mod 3337 668 m1
• Le reste du message en clair est obtenu de la
  même manière.

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Signature numérique

• Nous avons vu que Bernard pouvait signer un
  message M en utilisant sa clef privée pour
  calculer S D(M) et envoyer (M,S).
• En général, M est trop grand pour que ce calcul
  puisse être effectué de manière efficace et on
  veut une signature qui ne soit pas trop longue.
• On peut alors utiliser le chaînage par bloc
• M est divisé en bloc m1 m2 ... mt de longueur
  fixe.
• Calculer s1 m1d mod n
• Pour i 2 à t faire si (mi ? si-1)d mod n
• La signature est S st
• Note L'opérateur ? est le OU-exclusif.

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Fonction de hachage à sens unique

• En pratique, on ne signe pas le message lui-même
  mais plutôt une empreinte digitale obtenue à
  l'aide d'une fonction de hachage h satisfaisant
  les propriétés suivantes
• Étant donné M, il est facile de calculer h(M).
• Étant donné h(M) , il est difficile de calculer
  M.
• Étant donné M, il est difficile de trouver un
  autre message M' tel que h(M)h(M').
• On exige quelquefois une quatrième propriété
• 4. Il est difficile de trouver deux messages
  aléatoires M et M' tels que h(M)h(M').

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Nombres pseudo-aléatoires

• Un générateur de nombres pseudo-aléatoires est
  une fonction g qui prend en entrée une séquence x
  de t bits et produit en sortie une séquence g(x)
  plus longue (disons t2 bits) telle que g(x)
  "semble" aléatoire.
• Soit f(x) une fonction à sens unique telle que
  RSA
• ( f(x) xe mod n où (e,n) est la clef publique).
• Si x est une séquence de bits aléatoires on
  calcule f(x) et on choisit un des bits
• On calcule ensuite f(f(x)) et on choisit un des
  bits
• On poursuit de la même manière t2 fois.

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Nombres pseudo-aléatoires
Si on utilise RSA, il suffit de prendre le bit le
plus significatif. Le bit le moins significatif
ne produit pas de bon résultat.
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Jouer à pile ou face

• Alice et Bernard veulent jouer à pile ou face par
  téléphone. Comment peuvent-ils y parvenir s'il ne
  se font pas confiance?
• Bernard choisit un nombre x d'un ensemble
  contenant autant de nombres pairs que de nombres
  impairs.
• Bernard calcule yf(x) où f est une fonction à
  sens unique telle que RSA
• Bernard envoie y à Alice
• Alice choisit un bit b et envoie son choix à
  Bernard
• Bernard envoie x à Alice
• Alice vérifie que yf(x)
• Alice gagne si b représente la parité de x.

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Jouer à pile ou face

• Autre méthode
• Bernard choisit deux séquences x et y de bits
  aléatoires de sorte que le premier bit de x et y
  est différent.
• Bernard utilise sa clef publique pour calculer
  x'E(x) et y'E(y) puis il envoie x' et y' à
  Alice
• Alice choisit z' ? x', y' et envoie z' à
  Bernard.
• Bernard envoie x et y à Alice
• Alice utilise la clef publique de Bernard pour
  vérifier que x'E(x) et y'E(y).
• Alice et Bernard connaissent z ? x,y tel que
  z'E(z).
• Si le premier bit de z est 1 alors Alice gagne
  sinon Bernard gagne.