Lagrange

1
Lagrange à petits points

• Cinq points à la Lune

2
Historique
Dans la mécanique classique, le mouvement de deux
corps est parfaitement décrit par les lois de
Képler.
Les trajectoires sont des coniques dont tous les
éléments sont connus.
Le problème suivant est celui des trois corps.
Newton nest pas arrivé à le résoudre
3
Historique
En 1772 Euler et Lagrange se partagent le prix de
lAcadémie des sciences sur le problème des 3
corps
Ils trouvent qu'il existe des positions pour un
petit corps, où la résultante des forces est
nulle.
Léonhard Euler a découvert les points de
stabilité appelés L1, L2 et L3 dans le système
Terre-Lune.
Lagrange fait une analyse plus complète avec L4
and L5
Lagrange montre que le corps le plus massif doit
être 25 fois plus lourds que lautre.
Essai sur le problème des trois corps.
"Oeuvres / Joseph Louis de Lagrange. 6, page
229-331 http//gallica.bnf.fr/Metacata.htm
4
(No Transcript)
5
Historique
Joseph Louis, comte de Lagrange (1736
-1813) Mathématicien. Passe 30 ans dans le
Piémont, 21 ans à Berlin et le reste à Paris.
Célèbre pour Mécanique analytique, Mécanique
céleste, analyse mathématiques, Théorie des
nombres
Multiplicateur de Lagrange Théorème de Lagrange
Théorème d'inversion de Lagrange Équations de
Lagrange Équation différentielle de Lagrange
Théorème des quatre carrés de Lagrange Points
de Lagrange Formule de Taylor-Lagrange
Interpolation lagrangienne Dérivation
lagrangienne
Souvenirs détudes
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Champ gravitationnel
Champ espace dans lequel laction dun système
se fait sentir.
Champ gravitationnel dû à la présence d'une masse
M pouvant exercer une influence gravitationnelle
sur tout autre corps présent
Il est représenté par un scalaire  potentiel
gravitationnel , potentiel newtonien.
Pour une masse m, dans le champ, lénergie de
liaison due à la M est lénergie potentielle
La force subie est
Le potentiel défini par une dérivé est défini à
une constante près.
Choix constante nulle énergie à linfini
nulle (pas de liaison).
Les courbes où le potentiel a même valeur
sappellent courbes diso potentiel
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Les points de Lagrange
Un point de Lagrange (noté Li), est une position
de l'espace où les champs de gravité de deux
corps en orbite l'un autour de l'autre, se
combinent de manière à fournir un point
d'équilibre à un troisième corps de masse
négligeable, tel que les positions relatives des
trois corps soient fixes.
Forces agissantes

• Attraction gravitationnelle des corps
• La force centrifuge (inertie rotation)
• Force de Coriolis.

Une faible masse située exactement en ces points
n'en bouge plus.
Ce sont les cinq points de Lagrange.
8
Les points de Lagrange
Un peu plus mathématique
Les 5 points de Lagrange extrema du potentiel
gravitationnel d'un système à 2 corps
Potentiel gravitationnel
Pulsation
La 3ème loi de Kepler relie la rotation à la
distance
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Les points L1, L2 et L3
L1 sur la ligne définie par les deux masses,
entre celles-ci.
Soit un objet orbitant autour du Soleil, plus
près de celui-ci que la Terre mais sur une même
ligne.
Il subit une gravité solaire supérieure à celle
de la Terre, et tourne donc plus rapidement
autour du Soleil que ne le fait la Terre.
La gravité terrestre contrecarre en partie celle
du Soleil, ce qui le ralentit.
Plus on rapproche l'objet de la Terre, plus cet
effet est important.
À un certain point, L1, la vitesse angulaire de
l'objet égale celle de la Terre.
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Les points L1, L2 et L3
L2 sur la ligne définie par les deux masses,
au-delà de la plus petite.
Idem que L1, mais de l'autre côté de la Terre.
L'objet devrait tourner moins vite que la Terre,
la gravité solaire y est moindre, le champ
gravitationnel supplémentaire dû à la Terre tend
à l'accélérer.
Au point L2, l'objet tourne exactement à la même
vitesse angulaire que la Terre autour du Soleil.
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Les points L1, L2 et L3
L3 sur la ligne définie par les deux masses,
au-delà de la plus grande.
Ce point nest pas intéressant car linfluence de
la Terre y est très faible et recouverte par les
perturbations des autres planètes.
Il est aussi caché par le Soleil
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Les points L4 et L5
L4 et L5 sur les sommets des deux triangles
équilatéraux dont la base est formée par les deux
masses.
L4 est en avance sur la plus petite des masses
L5 est en retard
L4 et L5 ne dépendent pas des masses relatives
des deux autres corps.
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Stabilité
L1, L2, L3
Stabilité dans le plan perpendiculaire à la ligne
occupée par les deux masses
L'équilibre est instable pour tout déplacement
dans la ligne des masses.
L4 et L5
La stabilité est obtenue par les forces de
Coriolis qui agissent sur les objets s'éloignant
du point dans le repère mobile.
Stabilité dynamique
Lobjet va orbiter autour du points L4 ou L5.
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La force de Coriolis
Force de Coriolis (force fictive ou
inertielle) n'existe que parce que l'observateur
se trouve dans un référentiel en rotation Aucune
force ne s'exerce pour un observateur dans un
référentiel galiléen (ou référentiel inertiel).
1 - observateur immobile
La bille se déplace en ligne droite, pas de force
en jeu
2 - observateur se déplaçant avec le disque
La bille se déplace le long d'un arc de cercle
Pseudo-force pour courber la trajectoire force
de Coriolis
perpendiculaire à - l'axe de rotation du
référentiel - au vecteur vitesse du mouvement
Source wikipédia
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Les points de Lagrange Mythes et réalité
Terre - Soleil
L1 Le point de Lagrange L1 est situé à environ 1
500 000 km de la Terre en direction du Soleil.
Anciennes sondes International Cometary
Explorer, Genesis, WIND Sondes actuelles SoHO,
Advanced Composition Explorer Sondes futures
LISA Pathfinder Sondes annulées Triana
L2 Situé à environ 1 500 000 km de la Terre dans
la direction opposée au Soleil.
Sondes actuelles Wilkinson Microwave Anisotropy
Probe (WMAP) Sondes futures James Webb Space
Telescope (JWST) Télescope spatial Herschel,
Planck, Gaia, Terrestrial Planet Finder, Projet
spatial Darwin Sondes annulées Télescope
spatial Eddington
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Quelques sondes aux points de Lagrange L1 et L2
Soleil Terre
L1
SOHO
Observatoire Solaire et Héliospherique
Solar and Heliospheric Observatory
L2
WMAP
Wilkinson Microwave Anisotropy Probe
Mesure les bosses du fond diffus cosmologique
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Les points de Lagrange Mythes et réalité
Terre - Soleil
L3 Actuellement, on ne connaît aucun objet situé
à cette position.
Point de science fiction avec lAnti Terre.
L4 et L5 Pas dobjets connus.
Terre - Lune
L4 et L5 Semble abriter des nuages de poussière.
Nuages de Kordylewski (Kazimierz) 1960
Vaisseau spatial dextra terrestres à L4 ?
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Les points de Lagrange Mythes et réalité
Mars - Soleil
L4 - astéroïde 1999 UJ7 L5 astéroïde 5261
Eureka découvert par David Levy en 1990.
Astéroïde "Troyen"
Jupiter - Soleil
L4 - Astéroïdes troyens (camp grec) L5 -
Astéroïdes troyens (camp troyen) Achille,
Patrocle, Hector, Nestor, Priam, Agamemnon,
Odyssée
gt1690 astéroïdes troyens. Répartition non égale
- 696 en L4 "en avance" Grecs - 519 en L5 "en
retard". Troyens
http//en.wikipedia.org/wiki/List_of_Trojan_astero
ids_(Greek_camp)
http//en.wikipedia.org/wiki/List_of_Trojan_astero
ids_(Trojan_camp)
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Les points de Lagrange Mythes et réalité
Saturne Dioné (diam. 560 km) L4 Hélène (35
km) L5 Pollux
http//www.orbitsimulator.com/gravity/articles/pol
ydeuces.html
Saturne Téthys (diam. 530 km)
L4 - Télesto (30 x 15 km)
L5 - Calypso (30 x 16 km)
20
Calculs simplifiés des points L1 et L2 pour la
Terre
Soit un corps de masse faible gravite autour d'un
autre corps de masse importante selon une orbite
circulaire (cas Terre Soleil)
Simplification du problème

• centre de gravité du Soleil et le centre de
  gravité du couple Soleil-Terre confondus

• négliger occasionnellement la masse de la Terre.

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Calculs simplifiés des points L1 et L2 pour la
Terre
Equilibre Soleil Terre
Equilibre est représenté par l'équation suivante
(formule simplifiée)
Force d'attraction du Soleil Force centrifuge
terme (A) terme (B)
G cte de gravitation universelle D distance
Terre-Soleil en mètres M masse du Soleil V
vitesse de la Terre en m/s/s m masse de la
Terre
Premier terme (A) force de gravitation ou
attraction solaire
Second terme (B) force centrifuge
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Calculs simplifiés des points L1 et L2 pour la
Terre
Equilibre au point L1
Addition dun petit corps
objet de masse modeste placé sur le point de
Lagrange L1.
Attraction du Soleil Force centrifuge
Attraction de la Terre
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Equilibre au point L1
Vitesse linéaire
Expression de la force centrifuge
(1)
La période est celle de la Terre 3ème loi de
Kepler
(2)
En remplaçant dans (1) 1/P2 par (2) et en
divisant par R (D-R)
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Equilibre au point L1
Equation déquilibre
Transformation en divisant par GM
ou
en prenant x (r/D)
Expression que lon ne sait pas résoudre
analytiquement, mais graphiquement
25
Equilibre au point L1
Recherche de la solution de
Equation que lon décompose en deux fonctions
m/M 1/333000
A résoudre sous Géogébra
calculs_l1-l2.ggb
1 tracé f(r)-1
Pour simplifier le graphique on soustrait 1 aux
deux fonctions
2 tracé g(r)-1x
3 recherche intersection avec un curseur et
zoom x x(P)
x1 0.00997
r1 1 492 000 km
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Utilisation de calculs_l1-l2.ggb
1 lancement de Géogébra version 3.1.173.0
2 - Valider la vision de L1
3 Faire apparaître f(x)
4 Faire apparaître g(x)
5 Faire apparaître la droite verticale mobile
avec le point P1
6 zoomer et déplacer la droite de façon à la
mettre sur lintersection des deux courbes (pour
déplacer le point, cliquer dessus et le faire
bouger avec les touches flèches ? et ?.
7 lire son abscisse dans la cellule A2
8 la convertir en km.
27
Equilibre au point L2
Attraction du Soleil Attraction de la Terre
Force centrifuge
Ici R (Dr)
La formule devient
x2 0.01004
r2 1 502 000 km
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Equilibre au point L4 et L5
La masse du petit corps étant négligeable, le
centre de gravité est dur laxe AB Terre-Lune.
Un petit corps en C de masse m subit
- lattraction de la Lune
- lattraction de la Terre
- la force centrifuge
En raccourci, on voit par intuition quun
triangle équilatéral ABC donnera un équilibre.
Le calcul demande quelques notions de
trigonométrie et mécanique
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Equilibre au point L4 et L5
Aperçu graphique par Géogébra

• On se donne à une distance unité
• Un point A de masse M (la Terre)
• Un point de masse m (la Lune)
• leur centre de gravité D

Un petit corps de masse m subissant les trois
forces.
Recherche de la position où la résultante est
nulle
points_lagrange
30
Utilisation de pts_lagrange.ggb
1 lancement de Géogébra
2 Remarquer les vecteurs forces agissant sur P
Soleil jaune
Terre bleu
Rotation vert
Résultante rouge
3 En déplaçant P, les forces changent.

• 4 zoomer et déplacer le point P de façon à
  annuler la résultante.
• Déplacement du point
• rapide cliquer sur le point et en tenant
  appuyé, déplacer la souris
• lent cliquer sur le point et le faire bouger
  avec les touches flèches ? et ?.

5 Résultante nulle quelles valeurs de a, b et
r.
6 faire appraître laffichage des angles.
Quelles valeurs ?
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Stabilité
Si lobjet est perturbé, la force non nulle va
léloigner du point de Lagrange
Sa vitesse augmente
La force de Coriolis se manifeste, il est dévié
perpendiculairement à sa vitesse
Le corps orbite autour du point de Lagrange
Exemple d'orbite autour de L4. Les distances sont
données en unité de demi-grand axe. Crédit 
Observatoire de Paris/Master OSAE
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Cas extrêmes
Lastéroïde 3753 Cruithne curieux compagnon de
la Terre Orbite de 0,48 0 à 1,51 u.a. Appelé
aussi 2002 AA29. Il a une orbite en selle de
cheval et oscille pratiquement comme un
satellite de la Terre.
Image de Géographos réalisée par observation
radar (taille 5km x 2km)
http//www.astro.uwo.ca/wiegert/3753/3753.html
http//fransyl.club.fr/lagrange/cruithne.htm
33
. . . . . Fin des petits points