DESCOMPOSICI

1
DESCOMPOSICIÓN
L
U
Verónica Miranda, Mariano Avilés, Andrés Navarro,
Katherine González
2
Descomposición LU

• Introducción
• Explicación General
• Eliminación de Gauss
• Matriz Inversa
• Error y condicionamiento
• Ejemplo

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Katherine González
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Introducción

• El Método de descomposición LU se utiliza para
  resolver sistemas de ecuaciones algebraicas
  lineales de la forma A X B cuando se
  tienen ecuaciones con los mismos coeficientes A
  pero con diferentes constantes del lado derecho
  (diferentes B).

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Descomposición LU

• Introducción
• Explicación General
• Eliminación de Gauss
• Matriz Inversa
• Error y condicionamiento
• Ejemplo

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Explicación General

• Ecuación original
• A X B
• Ecuación reordenada
• A X - B 0

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Método

• Ecuación expresada en forma de sistema triangular

u11 u12 u13
x1
d1
0 u22 u23
x2

d2
0 0 u33
x3
d3
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Método

• Mediante una matriz diagonal inferior con números
  uno en la diagonal

1 0 0
L

0 1 0
0 0 1

• Se realiza la siguiente simplificación
• LU X-D A X-B

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Método

• Si la ecuación anterior se satisface se obtiene
• LU A
• LD B

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Pasos

• Descomposición LU A se factoriza en matrices
  triangulares inferior L y superior U.
• Sustitución L y U se usan para determinar una
  solución X para un lado derecho B. Primero se
  genera un vector intermedio D mediante la
  sustitución hacia delante. Después el resultado
  se sustituye en la ecuación para obtener mediante
  sustitución hacia atrás el valor de X.

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Descomposición LU

• Introducción
• Explicación General
• Eliminación de Gauss
• Matriz Inversa
• Error y condicionamiento
• Ejemplo

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Eliminación de Gauss usando descomposición LU

• A se descompone de forma directa en L y U.
• U resultado directo de la eliminación hacia
  delante.

a11 a12 a13
U

0 a22 a23
0 0 a33
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Eliminación de Gauss usando descomposición LU

• L se obtiene de un proceso de eliminación
  mediante un sistema de tres ecuaciones

x1 x2 x3
b1 b2 b3
a11 a12 a13
a21 a22 a23

a31 a32 a33
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Eliminación de Gauss usando descomposición LU

• Paso 1 Multiplicar el reglón uno por
  F21a21 / a11 y restar el resultado al segundo
  reglón para eliminar a21

a21-a11a21 0
a22-a12a21 a22
a11
a11
a23-a13a21 a23
a11
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Eliminación de Gauss usando descomposición LU

• Paso 2 Multiplicar el reglón uno por
  F31 a31 / a11 y restar el resultado al renglón
  tres

a31- 0a31 0
a32-a12a31 a32
a11
a11
a33-a13a31 a33
a11
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Eliminación de Gauss usando descomposición LU

• Paso 3 multiplicar el segundo renglón modificado
  por F32 a32 / a22 y restar este resultado al
  tercer renglón.

0 - 0a32 0
a32 - a22a32 0
a22
a22
a33 - a23a32 a32
a22
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Eliminación de Gauss usando descomposición LU

• Se almacenan los factores F21, F31 y F32 en los
  ceros que fueron creados mediante la eliminación
  anterior.

a11 a12 a13
1 0 0
U

L

0 a22 a23
f21 1 0
0 0 a33
f31 f32 1
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Eliminación de Gauss usando descomposición LU

• Después de descomponer la matriz, se puede
  generar una solución para un vector particular B.
  
• Primero se realiza un paso de sustitución hacia
  delante para encontrar D. El lado derecho queda
  sin alterar.
• En el segundo paso se realiza la sustitución
  hacia atrás, para obtener X.

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Descomposición LU

• Introducción
• Explicación General
• Eliminación de Gauss
• Matriz Inversa
• Error y condicionamiento
• Ejemplo

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Matriz Inversa

• Si una matriz A es cuadrada, existe otra matriz
  A? ¹, conocida como la inversa de A, de lo
  que se cumple que
• AA? ¹ A? ¹A I
• I es la Matriz identidad

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Matriz Inversa
Ya que el algoritmo de descomposición LU es ideal
para evaluar los vectores unitarios requeridos en
el cálculo de la inversa.
a11 a12 a13
1 0 0
1 0 0
a21 a22 a23
0 1 0
0 1 0
A? ¹
a31 a32 a33
0 0 1
0 0 1
Matriz inversa por Gauss-Jordan
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Matriz Inversa
d se resuelve como un sistema de ecuaciones
normales de 3 incógnitas
1 0 0
1 0 0
d1
f21 1 0
d2

d3
f31 f32 1
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Matriz Inversa
x se resuelve como un sistema de ecuaciones
normales de 3 incógnitas
a11 a12 a13
x1
t
D
x2

0 a22 a23
x3
0 0 a33
La xt va a ser la primera columna de la inversa
de A
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Matriz Inversa
El procedimiento se repite para obtener los otros
términos de la matriz inversa pero el sistema de
ecuaciones se iguala a las siguientes vectores
unitarios
0 0 1
0 1 0
Para la tercera columna
Para la segunda columna
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Descomposición LU

• Introducción
• Explicación General
• Eliminación de Gauss
• Matriz Inversa
• Error y condicionamiento
• Ejemplo

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ERROR Y CONDICIONAMIENTO

• Existen 3 métodos para determinar si los sistemas
  están mal condicionados
• Escalar la matriz de coeficientes A, de tal
  manera que el elemento más grande en cada renglón
  sea 1.Se invierte la matriz escalada, y si
  existen elementos A ?¹ que sean varios órdenes
  de magnitud mayores que uno, es posible que el
  sistema esté mal condicionado.

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ERROR Y CONDICIONAMIENTO

• Multiplicar la inversa por la matriz de
  coeficientes original y estimar si el resultado
  es lo suficientemente cercano a la matriz
  identidad. Si no es así, esto indica que el
  sistema esta mal condicionado.

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ERROR Y CONDICIONAMIENTO

• Invertir la matriz inversa y estimar si el
  resultado está lo suficientemente cercano a la
  matriz de coeficientes original. Si no es así,
  esto de nueva cuenta indica que esta mal
  condicionado.

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Descomposición LU

• Introducción
• Explicación General
• Eliminación de Gauss
• Matriz Inversa
• Error y condicionamiento
• Ejemplo

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EJEMPLO

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EJEMPLO

L
U
l22 -4 4 7 -32 l32 -1 - 12 7
-85 u23 (9 4 -4) / -32 -0.78125 l33 3
-12 -485 (-0.78125) -15.40625
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EJEMPLO

L
U
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32
EJEMPLO

Y ahora se tiene
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33
EJEMPLO

Se encuentran los valores de y
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34
EJEMPLO

Donde x3 5.61866 x2 -8.3125 0.78125
5.61866 -3.92292 x1 -51 7 3.92292 4
5.61866 -1.06491
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