Matematine analize ir tiesine algebra

1
Matematine analize ir tiesine algebra

• 10 paskaita.

2
Tiesines lygtys

• Tiesine lygtimi su n nežinomuju vadinama lygybe
• a1x1 a2x2 ... anxnb
• cia a1, a2, ... , an ir b yra žinomi dydžiai
  (vadinami lygties koeficientais ir laisvuoju
  nariu), o x1 , x2 , ... , xn - nežinomi dydžiai
  (vadinami nežinomaisiais arba kintamaisiais).
• Rinkinys z(z1,z2,...,zn) vadinamas tiesines
  lygties sprendiniu, jeigu galioja lygybe a1z1
  a2z2 ... anzn b.
• Tiesines lygties sprendiniu aibe
• Xz(z1,z2,...,zn) a1z1 a2z2 ... anzn b.
  
• Dvi tiesines lygtys vadinamos ekvivalenciomis,
  jeigu ju sprendiniu aibes sutampa.

3
Tiesinis darinys

• Dvieju tiesiniu lygciu
• a11x1 a12x2 ... a1nxnb1
• a21x1 a22x2 ... a2nxnb2
• tiesiniu dariniu vadinama tiesine lygtis
• (c1 a11 c2 a21) x1 (c1 a12 c2 a22) x2 ...
  (c1 a1n c2 a2n) xn (c1 b1 c2 b2)
• cia c1, c2, - realieji skaiciai. Kai c1 c2 1,
  tai tiesinis darinys yra lygciu suma. Lygciu
  skirtumas yra tiesinis darinys su c1 1, c2
  -1.
• Panašiai apibrežiamas ir didesnio tiesiniu
  lygciu skaiciaus tiesinis darinys. Jeigu ak1x1
  ak2x2 ... aknxnbk , k1,2, ... , m yra
  tiesines lygtys, o ck , k1,2, ... , m , - bet
  kokie realieji skaiciai, tai tiesine lygtis
• Vadinama šiu lygciu tiesiniu dariniu. Skaiciai ck
  , k1,2, ... , m , vadinami tiesinio darinio
  koeficientais.

4
Tiesiniu lygciu sistemos

• Tarkime, kad n kintamuju x1 , x2 , ... , xn
  saryšiai išreikšti m tiesinemis lygtimis ak1x1
  ak2x2 ... aknxnbk , k1,2, ... , m , ir
  reikia rasti ju bendruosius (tinkancius visoms
  lygtims) sprendinius. Tokiu atveju sakoma, kad
  sprendžiama m tiesiniu lygciu sistema su n
  nežinomuju.
• Žinomi dydžiai aij vadinami sistemos
  koeficientais bi sistemos laisvaisiais
  nariais, o nežinomi dydžiai xj sistemos
  nežinomaisiais (kintamaisiais).
• Tiesiniu lygciu sistemos sprendiniu vadinamas
  toks nežinomuju reikšmiu rinkinys x(x1 , x2 ,
  ... , xn ), kuris tinka kiekvienai sistemos
  lygciai.
• Jei X sistemos sprendiniu aibe, o ja
  sudaranciu lygciu sprendiniu aibes atitinkamai
  X1 , X2 , ... , Xn , tai X X1 n X2 n ... n Xn .

5
Tiesiniu lygciu sistemu elementarieji pertvarkiai

• Tiesiniu lygciu sistemos
• sprendiniu aibe nesikeicia
• bet kuria lygti pakeitus tos lygties ir nelygaus
  nuliui skaiciaus sandauga
• bet kuria lygti pakeitus tos lygties ir kitos
  lygties suma
• bet kurios sistemos lygtis sukeitus vietomis
• pašalinus iš sistemos tapatybe.
• Išvardyti veiksmai vadinami tiesiniu lygciu
  sistemos elementariaisiais pertvarkiais.

6
Gauso metodas

• Gauso metodu vadinamas tiesiniu lygciu sistemos
• sprendimo budas, kai elementariaisiais
  pertvarkiais eliminuojant nežinomuosius siekiama
  gauti trikampe tiesiniu lygciu sistema
• kurios koeficientai c11, c22, ... cnn nelygus
  nuliui, arba trapecine sistema

7
Gauso metodas

• Trapecine tiesiniu lygciu sistema turi be galo
  daug sprendiniu. Parinke bet kurias nežinomuju
  xk1, xk2 , ... , xn reikšmes, pavyzdžiui,
  xk1tk1 , xk2tk2 , ... , xntn , gauname
• trikampe k lygciu sistema su k nežinomuju.
  Kadangi koeficientai c11, c22, ... ckk nelygus
  nuliui, tai ji turi vieninteli sprendini x(x1 ,
  x2 , ... , xk), atitinkanti laisvai pasirinkta
  skaiciu rinkini (tk1 , tk2 , ... , tn ). Todel
  rinkinys (x1 , x2 , ... , xk , tk1 , tk2 ,
  ... , tn) yra sistemos sprendinys.
• Jei gauname lygti pavidalo 0x1 0x2 ...
  0xnd, kur d?0, tai sistema sprendiniu neturi.
• Jei gauname lygti pavidalo 0x1 0x2 ...
  0xnd, kur d0, tai tapatybe iš sistemos
  pašaliname.

8
Gauso ir Žordano metodas

• Gauso ir Žordano metodu vadinamas tiesiniu
  lygciu sistemos
• sprendimo budas, kai elementariaisiais
  pertvarkiais eliminuojant nežinomuosius siekiama
  gauti diagonaline tiesiniu lygciu sistema
• kurios koeficientai c11, c22, ... cnn nelygus
  nuliui. Ši sistema turi vieninteli sprendini

9
Modifikuotas Gauso ir Žordano metodas

• Tarkime, kad turime tiesiniu lygciu sistema
• Šia sistema užrašome lenteles pavidalu

x1 x2 ... xn B S
a11 a12 ... a1n b1 s1
a21 a22 ... a2n b2 s2
... ... ... ... ... ...
am1 am2 ... amn bm sm
10
Modifikuotas Gauso ir Žordano metodas

• Lygciu sistema modifikuotu Gauso ir Žordano
  metodu sprendžiama pagal tam tikras taisykles
  pereinant nuo vienos lenteles prie kitos.
• Taisykles
• Tarp koeficientu prie nežinomuju parenkamas bet
  kuris nelygus nuliui elementas, vadinamas
  vedanciuoju elementu. Pvz., aij?0. Eilute,
  kurioje yra vedantysis elementas, vadinama
  vedanciaja eilute, o stulpelis vedanciuoju
  stulpeliu.
• Vedanciosios eilutes elementus daliname iš
  vedanciojo elemento ir užrašome 2 lenteleje.
  Vedanciojo stulpelio vietoje 2 lenteleje rašome
  nulius.
• Visus kitus 2 lenteles elementus skaiciuojame
  pagal staciakampio taisykle

11
Modifikuotas Gauso ir Žordano metodas

• Apskaiciuojami 2 lenteles kontroles stulpelio S
  elementai
• Skaiciavimai bus atlikti teisingai, jeigu
  elementai, apskaiciuoti pagal staciakampio
  taisykle, sutampa su gautais sudedant eilutes
  elementus.
• Toliau naujoje lenteleje vedanti elementa
  parenkame iš kitos eilutes ir pagal nurodytas
  keturias taisykles pereiname prie 3 lenteles ir
  t.t. , kol vedantysis elementas bus parinktas
  kiekvienoje eiluteje, arba gausime, kad sistema
  nesuderinta (neturi sprendinio).
• Sistemos nesuderinamumo požymis gauta eilute
  pavidalo
• 0 0 ... 0 br sr
• kur br?0.
• Pilnai nuline eilute iš lenteles pašaliname.