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Première séance de travail

• DÉMARCHE de
• MODÉLISATION

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Situation 0

• Un capitaine parle à son mousse et lui dit
•  Jai trois fois lage que vous aviez quand
  javais lage que vous avez.
• Quand vous aurez lage que jai, nous aurons
  ensemble soixante trois ans 

Quel est le problème ?
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Situation 0

• le problème ?
• lage du capitaine,.. mais aussi celui du
  mousse

(un problème bien posé est à moitié résoluvieux
dicton populaire)
comment le résoudre ? choisir une stratégie
pour  faire 
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Quelle stratégie pour  faire  ?

• QUATRE ÉTAPES
• Étape 1  comprendre la situation 
• Étape 2 mise en équation , si besoin, de la
  situation étudiée, (ou modélisation)
• Étape 3  résolution  ou   mise en
  fonctionnement  du modèle, avec contrôle des
  calculs,
• Étape 4 contrôle et exploitation des résultats
  par retour à la situation initiale.

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Étape 1  comprendre la situation 
comment ?

• Lecture du texte pour le comprendre (de quoi on
  me parle ?)

 Jai trois fois lage que vous aviez quand
javais lage que vous avez. Quand vous aurez
lage que jai, nous aurons ensemble soixante
trois ans 
Le capitaine parle de son age et de lage du
mousse au présent au passé et au futur.. On
cherche à déterminer lage de chacun (capitaine
et mousse)
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Étape 1  comprendre la situation 
comment ?

• Recherche des données pertinentes et
•  re formulation 

lien présent passé
Lage du capitaine aujourd'hui (Jai ) est égal à
trois fois lage quavait le mousse (trois fois
lage que vous aviez ) à lépoque ou le capitaine
avait lage actuel du mousse (quand javais lage
que vous avez).
lien futur présent
Dans le futur, quand le mousse aura lage du
capitaine aujourd'hui (Quand vous aurez lage que
jai) la somme des nombres représentant les ages
du capitaine et du mousse vaudra 63 (nous aurons
ensemble 63 ans)
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Étape 2  mise en équation 
comment ?

• Choix éventuel dinconnues en précisant ce
  quelles représentent

On cherche x et y avec x gt y
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Étape 2  mise en équation  (suite 1)
comment ?

• Traduction du texte et des données pertinentes
  pour obtenir un modèle

1 - lien présent passé
Lage du capitaine aujourd'hui (au présent) est
égal à trois fois lage quavait le mousse (dans
le passé),.
quand ?
à lépoque (dans le passé) où le capitaine avait
lage actuel du mousse (au présent)
x 3y1
x1 y
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Étape 2  mise en équation  (suite 2)
comment ?

• Traduction du texte (suite)

2 - lien futur présent
Dans le futur, quand le mousse aura lage du
capitaine aujourd'hui),..
la somme des nombres représentant les ages du
capitaine et du mousse vaudra 63
y2 x
x2 y2 63
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Étape 2  mise en équation  (suite 3)
comment ?

• en résumé, on a les relations

sachant que
Information non explicitée la différence
dage des deux acteurs reste constante au cours
du temps, donc
x1 y1 x y , et x2 y2 x y .
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Étape 2  mise en équation  (synthèse)
comment ?

• en définitive, le problème revient à trouver x,
  y, avec x1, y1, x2 et y2 inconnus, tels que

La situation se traduit donc par un modèle 1
constitué dun système de six équations avec
six valeurs inconnues
(1)
Notre objectif trouver x et y
Remarque on aurait pu construire un autre
modèle de façon différente
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Étape 3 résolution

• Comment ?
• Respect des règles de logique, de calcul
  mathématique,
• Obtention des résultats, (ici, x et y)
• Validation des calculs.

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Étape 3 résolution
comment ?
On a le système (1)
ces 3 égalités se ramènent à
(1)
les 3 autres égalités se ramènent à
63-x-x x - y
Noublions pas que lon cherche x et y
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Étape 3 résolution (suite 1)
comment ?
On est en présence dun système linéaire de
deux équations à deux inconnues x et y
on le met sous forme  canonique 
on simplifie au maximum
et on choisit une  stratégie  de résolution
par exemple combinaison linéaire (addition)
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Étape 3 résolution (suite 2)
comment ?
le système est donc
on cherche à éliminer y (comment ?)
on cherche à éliminer x (comment ?)
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Étape 3 résolution (fin)
comment ?
On a trouvé que le système
a pour solution x 27 et y 18
Validons les calculs pour le système
calculons dabord 2x 3 y
2x 3 y 2 x 27 3 x 18, soit 2x 3 y 54
54
ou 2x 3 y 0
calculons ensuite 3x y
3x y 3 x 27 18, soit 3x y
81 18
ou 3x y 63
x 27 et y 18 vérifient le système donné.
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Étape 4 contrôle des résultats

• Comment ?
• Retour à la situation de départ
• Vraisemblance des résultats

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Étape 4 contrôle des résultats

• on a les résultats

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36
9
27
Lage du capitaine aujourd'hui (Jai ) est égal à
trois fois lage quavait le mousse (trois fois
lage que vous aviez ) dans le passé à lépoque
ou le capitaine avait lage actuel du mousse
(quand javais lage que vous avez).
On a bien 27 3x9
Dans le futur, quand le mousse aura lage du
capitaine aujourd'hui), la somme des nombres
représentant les ages vaudra 63
et 36 27 63
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Étape 4 contrôle des résultats

• on a les résultats

Age du capitaine 27 ans Aga du mousse 18 ans
Vraisemblance des résultats Les ages paraissent
 cohérents  le capitaine semble un peu jeune
mais  aux âmes bien nées, la valeur nattend le
nombre des années 
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En résumé.

• Compréhension de la situation, re-formulation
• Mise en équation (modélisation de la situation
  étudiée),
• construction de  modèle  ou représentation
  symbolique ou graphique adéquate, par un
  processus d'abstraction qui élimine toute donnée
  ou toute information non pertinente,
• Calculs (mise en fonctionnement du modèle),
• obtention de résultats,
• validation des calculs,
• Contrôle des résultats (validation du modèle)
• par comparaison des résultats obtenus avec la
  situation de départ.
• éventuellement retour à la première étape,
  mise en question du modèle utilisé, affinement de
  ce modèle ou construction d'un nouveau modèle,
  puis reprise de la deuxième étape.