Racines carr

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Racines carrées
Type d activité leçon illustrée

• Bruno DELACOTE

AVERTISSEMENT Certaines images, dont les images
clip art, sont protégées par les droits
d auteur. Les diapositives ne peuvent être ni
dissociées ni redistribuées sans autorisation.
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Conseils et méthode de travail
Une feuille souvre sur une série dexercices
A chaque clic (gauche) tu obtiendras des aides
ou des indications et finalement la solution. Il
faut absolument éviter de cliquer trop
rapidement Prépare lexercice avant de visionner
la solution. Vérifie (sans tricher !) Si tu as
commis des erreurs, ne les corrige pas avant
d avoir compris pourquoi tu tes trompé. Pour
naviguer dans la présentation tu peux utiliser
les boutons ci dessous ou le clic droit de la
souris.
Le menu du clic droit, le numéro des diapositives
et les liens hyper-texte permettent également de
naviguer.
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3
Impression d'une diapositive à l'aide de
PowerPoint Un clic droit de la souris ouvre un
menu... Mettre fin au diaporama... Passer en mode
diapositive... Fichier imprimer...Choisir les
options voulues. Conseil documents deux
diapositives par page / cocher les cases
encadrer les diapositives et noir et blanc
intégral A l'aide de la visionneuse Un clic
droit sur la souris ouvre un menu... Imprimer...
Étendue d'impression....Choisir les diapositives
à imprimer... Utiliser la dernière diapositive
pour imprimer l'énoncé en noir et blanc.
4
Racines carrées
Construction de la racine carrée dun nombre
entier Le colimaçon de PYTHAGORE (activité de
découverte) Un problème
Les techniques de calcul
Définition et applications directes
Comparaison de racines carrées
Racine carré d'un produit
Racine carrée d'un quotient
Les exercices dapplication
5
Le nombre a étant positif se lit racine
carrée de a est le seul nombre positif
dont le carré vaut a .
donc
Voir les réponses
6
Le nombre a étant positif se lit racine
carrée de a est le seul nombre positif
dont le carré vaut a .
Car 3² 9
donc
3
Car 4² 16
4
12
Attention ! Le signe doit être bien placé
car il indique une priorité opératoire.
4 3 7
En général
2,236
7
Les racines carrées sont rangées dans le même
ordre que leurs carrés
Donc
et
En effet
8
La racine carrée d'un produit de nombres positifs
est égale au produit des racines carrées.
Ecrire sous la forme
Avec b entier le plus petit possible
Voir les solutions
9
Ecrire sous la forme
Avec b entier le plus petit possible
donc
suite
Plusieurs décompositions sont possibles... 2000
400 x 5 permet de trouver le résultat en une
seule étape.
10
On utilise
11
La racine carrée d'un quotient de nombres
positifs est égale au quotient des racines carrées
12
(No Transcript)
13
Quelques calculs de bases
Voir les solutions
14
(No Transcript)
15
(No Transcript)
16
Ne pas confondre
Est une expression qui ne peut pas être réduite
avec
Et
La racine carrée du nombre positif a (elle est
unique et positive) !
Les deux solutions de l équation x² a (agt0)
et
17
Equation x² a
Etant donné un nombre a l équation x² a
Admet deux solutions
lorsque a gt 0
Admet une solution x 0 lorsque a 0
N admet pas de solution lorsque a lt 0
C est la définition !
x² 0 si et seulement si x 0
Si x gt 0 alors x x x gt 0 c est le produit de
deux nombres positifs !
Si x lt 0 alors x x x gt 0 c est le produit de
deux nombres négatifs !
x² ne peut pas être négatif
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Construire le colimaçon de PYTHAGORE
Pré-requis connaître le théorème de Pythagore.
Construire un triangle OA1A2 isocèle rectangle en
A1 dont les petits côtés mesurent 1cm.
Son hypoténuse OA2 mesure cm
Construire un deuxième triangle rectangle OA2A3
dont les petits cotés mesurent cm et 1cm.
Son hypoténuse OA3 mesure cm
Construire un troisième triangle rectangle OA3A4
dont les petits cotés mesurent cm et 1cm.
Son hypoténuse OA4 mesure cm
En continuant ainsi on obtient le colimaçon de
Pythagore ! Construis maintenant les segments de
longueurs
En mesurant certains segments (lesquels ? ) tu
peux vérifier la précision de ton dessin.
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Utilise ta figure en reportant les longueurs
avec ton compas, les égalités suivantes
sont-elles plausibles ?
NON
NON
Oui
Oui
Quelles sont les règles de calcul qui justifient
ceci
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Le nombre p étant positif se lit racine
carrée de p est le seul nombre positif
dont le carré vaut p .
Les deux nombres positifs
ont même carré donc ils sont égaux.
De même.
Exercices
21
Les deux nombres positifs
ont même carré donc ils sont égaux.
Exercices
22
UN PROBLEME
Les exercices
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Etant donné un nombre n positif on peut tracer
Voici un programme Tracer un cercle de diamètre
AB n
Sur ce diamètre placer le point H tel que AH 1
La perpendiculaire à la droite (AB) en H coupe le
cercle en C et C
Faire des essais avec géoplan Piloter B au
clavier lecture de laffichage e1 AH 1 e2
AB n e3 AC
C
B
A
H
C
Choisir n 4, n 9 et n 16 Le résultat
attendu est-il vérifié ?
Puis justifier cette construction.
24
Si n 4
C
Le point C est situé sur le cercle de diamètre
AB, donc
le triangle ABC est rectangle en C.
1
A
B
H
Utilisons le théorème de Pythagore à bon escient.
4
AC² BC² AB²
Dans le triangle ABC
AC² HC² HB² 4²
Dans le triangle HBC
Or HB AB - 1 3
Dans le triangle HAC AC² AH² HC² AC² - 1 HC²
AC² HC² 3 ² 16
AC² AC² - 1 9 16
2AC² 8
Généralisons ce travail pour un nombre n
quelconque...
AC² 4
En divisant par 2
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Le point C est situé sur le cercle de diamètre
AB, donc
C
le triangle ABC est rectangle en C.
Utilisons le théorème de Pythagore à bon escient.
1
A
B
H
n
AC² BC² AB²
Dans le triangle ABC
AC² HC² HB² AB²
Dans le triangle HBC
AC² HC² (AB - 1) ² AB²
Or HB AB - 1
AC² HC² AB² - 2AB 1 AB²
AC² - 2AB AC² 0
Dans le triangle HAC
AC² AB
En divisant par 2
Or AB n donc
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Enoncé à imprimer
Etant donné un nombre n positif on peut tracer
Voici un programme Tracer un cercle de diamètre
AB n
Sur ce diamètre placer le point H tel que AH 1
La perpendiculaire à la droite (AB) en H coupe le
cercle en C et C
C
Faire trois dessins pour n 4, n 9 et n
16 Le résultat attendu est-il vérifié ?
B
A
H
Puis justifier la première construction en
appliquant le théorème de Pythagore lorsque n
4. Etudier le cas général (refaire les calculs
en fonction de n.)
C