Math

1
Mathématiques SN

• La fonction
• RATIONNELLE

2
Mathématiques SN- La fonction RATIONNELLE -

• Équations et graphique

1
x
(forme générale de BASE)
f(x)
a k
b (x h) k
(forme générale TRANSFORMÉE)
f(x)
a k
x h k
(forme CANONIQUE)
f(x)
Polynôme 1
Polynôme 2
3x 4
2x 5
(forme P / Q)
Exemple
f(x)
f(x)
3
Mathématiques SN- La fonction RATIONNELLE -

• Équations et graphique

1
x
f(x)
(forme générale de BASE)
x f(x)






0
Ø
1
1
2
½
¼
4
½
2
¼
4
4
Mathématiques SN- La fonction RATIONNELLE -

• Équations et graphique

1
x
f(x)
(forme générale de BASE)
x f(x)






-1
-1
-2
-½
-4
-¼
Centre (0, 0)
-2
-½
-¼
-4
-?
-8
5
Mathématiques SN- La fonction RATIONNELLE -

• Équations et graphique

- 1
x
f(x)
(forme générale TRANSFORMÉE où a -1)
x f(x)






1
-1
2
-½
4
-¼
-1
1
Centre (0, 0)
-2
½
-4
¼
6
Mathématiques SN- La fonction RATIONNELLE -

• Équations et graphique

1
- x
f(x)
(forme générale TRANSFORMÉE où b -1)
x f(x)






1
-1
2
-½
4
-¼
-1
1
Centre (0, 0)
-2
½
-4
¼
7
Mathématiques SN- La fonction RATIONNELLE -

• Équations et graphique

- 4
- 2 (x 1)
f(x)
3
x f(x)






1
Ø
2
5
Centre (1, 3)
3
4
1
0
½
-1
-1
2
8
Mathématiques SN- La fonction RATIONNELLE -

• Équations et graphique

a k
b (x h) k
f(x)
(forme générale TRANSFORMÉE)
Asymptotes
(h, k) centre
y k
x h
Équations des asymptotes
Centre (h, k)
y k
Dom f ? \ h
Ima f ? \ k
x h
9
Mathématiques SN- La fonction RATIONNELLE -

• Recherche de léquation

Exemple
Trouver léquation dont les deux asymptotes du
graphique ont pour équation x 3 et y 5 et
dont le point (-1, 2) appartient au graphique.
10
Exemple
Trouver léquation dont les deux asymptotes du
graphique ont pour équation x 3 et y 5 et
dont le point (-1, 2) appartient au graphique.
Esquisse du graphique
a
x h
f(x)
k
a
- 1 3
2
5
a
- 4
y 5
- 3
Centre (3, 5)
P (-1, 2)
12 a
x 3
12
x 3
Réponse
f(x)
5
11
Mathématiques SN- La fonction RATIONNELLE -

• Forme canonique lt---gt générale lt---gt P / Q

6
3x 9
Exemple 1
Écrire léquation
sous la forme canonique.
f(x)
2
6
3 (x 3)
f(x)
2
Centre (3, 2)
2
x 3
f(x)
2
12
18
- 3x 9
Exemple 2
Écrire léquation
sous la forme canonique.
f(x)
7
18
- 3 (x 3)
f(x)
7
- 6
x 3
f(x)
7
13
4x 2
2x 2
Exemple 3
Écrire léquation
sous la forme canonique.
f(x)
7
2
1
2
RAPPEL
(ou 3,5)
3 reste 1
3

3
6
1
4x 2
2x 2
6
2x 2
2
2 reste 6

(4x 4)
2
6
6
2x 2
2
f(x)
6
2 (x 1)
2
f(x)
3
x 1
2
f(x)
14
8x 5
2x 1
Exemple 4
Écrire léquation
sous la forme générale.
f(x)
8x 5
2x 1
- 9
2x 1
4 reste - 9
4

(8x 4)
4
- 9
- 9
2 (x ½)
4
f(x)
15
2
3 (x 1)
Exemple 5
Écrire léquation
sous la forme P / Q.
f(x)
4
2
3x 3
Mettre les termes sur le même dénominateur !
f(x)
4
2
3x 3
4 (3x 3)
3x 3
f(x)

2
3x 3
12x 12
3x 3
f(x)

2 (12x 12)
3x 3
f(x)
2 12x 12
3x 3
f(x)
- 12x 10
3x 3
f(x)
16
Mathématiques SN- La fonction RATIONNELLE -

• Résolutions déquations

Esquisse du graphique
6
2 (x 1)
Exemple 1
Trouver les zéros de
.
f(x)
2
6
2 (x 1)
0
2
Il faut que 2 (x 1) ? 0 Donc que x ? 1
6
2 (x 1)
- 2
- 4 (x 1) 6
- 4x 4 6
x -½
Réponse
x ? -½
17
4x 2
2x 2
Exemple 2
Trouver les zéros de .
f(x)
4x 2
2x 2
0
Il faut que 2x 2 ? 0 Donc que x ? 1
0 4x 2
- 2 4x
-½ x
x ? -½
Réponse
4x 2
2x 2
Exemple 3
Trouver lordonnée à lorigine de
.
f(x)
4(0) 2
2(0) 2
f(0)
0 2
0 2
f(0)
f(0) - 1
Réponse
f(0) - 1
18
Mathématiques SN- La fonction RATIONNELLE -

• Résolutions dinéquations

Esquisse du graphique
2
2x 6
Exemple 1
Résoudre .
? 0
3
2
2 (x 3)
f(x)
3
x 3
Équations des asymptotes
y -3
Centre (3, -3)
19
2
2x 6
Exemple 1
Résoudre .
? 0
3
Esquisse du graphique
2
2x 6
? 0
3
Il faut que 2x 6 ? 0 Donc que x ? 3
2
2x 6
? 3
2 ? 3 (2x 6)
2 ? 6x 18
20 ? 6x
20
6
? x
Centre (3, -3)
10
3
? x
10
3
Réponse
x ? - 8 , 3 U , 8
20
3x 2
x 1
Exemple 2
Résoudre .
? -2x 3
3x 2
x 1
-5
x 1
3 reste -5

3
(3x 3)
3
-5
-5
x 1
3
f(x)
21
3x 2
x 1
Exemple 2
Résoudre .
? -2x 3
Esquisse du graphique
-5
x 1
3
x -1
Équations des asymptotes
y 3
Centre (-1, 3)
22
3x 2
x 1
Exemple 2
Résoudre .
? -2x 3
Esquisse du graphique
3x 2
x 1
? -2x 3
Il faut que x 1 ? 0 Donc que x ? -1
3x 2 ? (x 1) (-2x 3)
3x 2 ? -2x2 3x 2x 3
0 ? -2x2 2x 5
Centre (-1, 3)
-b ? b2 4ac
2a
x
-(-2) ? (-2)2 4(-2)(5)
2(-2)
x
2 ? 44
-4
x
x1 -2,16
x2 1,16
et
Réponse
x ? -2,16 , -1 U 1,16 , 8