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DEuclide à Legendre, autour du 5ème Postulat

• I - Les Éléments comme introduction aux
  géométries non euclidiennes

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Autour du 5ème Postulat

• A Deux exercices de construction géométrique
• 1) Un segment AB étant donné, construire un
  triangle équilatéral de côté AB. (Éléments
  Livre I, Prop 1).
• 2) Un segment AB étant donné, construire un
  carré de côté AB. (Éléments Livre I, Prop 46).
• Question 1 Quels sont les implicites que vous
  devez admettre pour enseigner ces
  constructions à un élève de collège ?
• Question 2 Quelles sont les définitions que
  vous devez utiliser ?
• Question 3 De quelles propriétés (propositions
  et théorèmes) vous êtes- vous servi ?
• Question 4 Quelles sont les propriétés
  utilisées qui sont conséquentes ou équivalentes
  au 5ème Postulat dEuclide ?
• Pouvez-vous vous en passer ?

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Autour du 5ème Postulat

• A Deux exercices de construction géométrique
• Construire signifie
• 1 - Tracer la figure sur une feuille de papier
  avec comme seuls instruments une règle bien
  droite (tiens tiens ?) non graduée et un compas.
• 2 - Donner lalgorithme de construction qui vous
  paraît le plus simple (la suite des opérations
  graphiques à réaliser pour obtenir le résultat
  demandé),
• 3 - Justifier par des arguments géométriques et
  logiques que la construction proposée conduit
  effectivement au résultat recherché.
• Étudier notamment lexistence et lunicité de ce
  résultat.

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Autour du 5ème Postulat

• A Réponses dEuclide.
• PREMIÈRE PROPOSITION Sur une droite donnée et
  finie,
• construire un triangle équilatéral.
• EXPOSIT1ON. Soit AB une droite donnée et finie.
• DÉTERMINATION. Il faut construire sur la droite
• finie AB un triangle équilatéral.
• CONSTRUCTION. Du centre A et de lintervalle AB,
  décrivons la circonférence B?? (dem. 3) et
  de plus, du centre B et de l'intervalle BA,
  décrivons la circonférence A?E  et du point
  ?, où les circonférences se coupent
  mutuellement, conduisons aux points A, B les
  droites ?A, ?B (dem. 1).
• DÉMONSTRATION. Car, puisque le point A est le
  centre du cercle B??, la droite A? est égale à la
  droite AB (déf. 15) de plus, puisque le point B
  est le centre du cercle A?E, la droite B? est
  égale à la droite BA mais on a démontré que la
  droite ?A était égale à la droite AB donc
  chacune des droites ?A, ?B est égale à la droite
  AB or, les grandeurs qui sont égales à une même
  grandeur, sont égales entre elles (not. 1)  donc
  la droite ?A est égale à la droite ?B donc les
  trois droites ?A, AB, ?B sont égales entre elles.
• CONCLUSION. Donc le triangle AB? (def. 24) est
  équilatéral, et il est construit sur la droite
  donnée et finie AB. Ce qu'il fallait faire.

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Autour du 5ème Postulat

• A Réponses dEuclide.
• PROPOSITION 46 Décrire un carré avec une droite
  donnée.
• Soit AB la droite donnée il faut décrire un
  carré avec la droite AB.
• Du point A, donné dans cette droite, conduisons
  A? perpendiculaire
• à AB (prop. 11) faisons A? égal à AB (prop. 3)
  par le point ?
• conduisons ?E parallèle à AB (prop. 31) et par
  le point B
• conduisons BE parallèle à A?.
• La figure A?EB est un parallélogramme donc AB
  est égal à ?E, et A? égal à BE.
• Mais AB est égal à A? donc les quatre droites
  BA, A?, AE, EB sont égales entre elles donc le
  parallélogramme A?EB est équilatéral.
• Je dis aussi qu'il est rectangle. Car puisque la
  droite A? tombe sur les parallèles AB, ?E, les
  angles BA?, A?E sont égaux à deux droits (prop.
  29) mais l'angle BA? est droit donc l'angle
  A?E est droit aussi. Mais les côtés et angles
  opposés des parallélogrammes sont égaux entre eux
  (prop. 34) donc chacun des angles opposés ABE,
  BE? est droit donc le parallélogramme A?EB est
  rectangle.
• Mais nous avons démontré qu'il est équilatéral
  donc le parallélogramme A?EB est un carré, et il
  est décrit avec la droite AB ce qu'il fallait
  faire.

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Autour du 5ème Postulat

• B Les Éléments dEuclide 4 volumes de Bernard
  Vitrac
• Texte de François Peyrard de 1819 1990 - 2001

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Autour du 5ème Postulat

• B Les Éléments dEuclide, Livre I 35
  définitions, 6 demandes et 9 notions communes
  (axiomes des grandeurs)
• 1 - Définitions à distinguer
• - Définition 10 Lorsquune droite tombant sur
  une droite fait deux angles de suite égaux
  entre eux, chacun de ces angles égaux est droit
  et la droite placée au-dessus est dite
  perpendiculaire à celle sur laquelle elle est
  placée.
• - Définition 15 Un cercle est une figure
  plane, comprise par une seule ligne quon nomme
  circonférence toutes les droites, menées à la
  circonférence dun des points le centre placés
  dans cette figure, étant égales entre elles.
• - Définition 30 Parmi les figures
  quadrilatères, le carré est celle qui est
  équilatérale et rectangulaire.
• - Définition 35 Les parallèles sont des
  droites, qui, étant prolongées à linfini de
  part et dautre, de se rencontrent ni dun côté
  ni de lautre.

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Autour du 5ème Postulat

• B Les Éléments dEuclide, Livre I
• 2 - Les Demandes ou Postulats
• Conduire une droite d'un point quelconque à un
  point quelconque.
• Prolonger indéfiniment, selon sa direction une
  droite finie.
• Dun point quelconque, et avec un intervalle
  quelconque, décrire une circonférence de cercle.
• Tous les angles droits sont égaux entre eux.
• Si une droite, tombant sur deux droites, fait
  les angles intérieurs du même côté plus petits
  que deux droits, ces droites, prolongées à
  l'infini, Se rencontreront du côté où les angles
  sont plus petits que deux droits.
• Deux droites ne renferment point un espace.

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Autour du 5ème Postulat

• B Les Éléments dEuclide, Livre I
• 3 - Les notions communes (axiomes des
  grandeurs)
• 1. Les grandeurs égales à une même grandeur, sont
  égales entre elles.
• 2. Si à des grandeurs égales, on ajoute des
  grandeurs égales, les tout seront égaux.
• 3. Si de grandeurs égales, on retranche des
  grandeurs égales, les restes seront égaux.
• 4. Si à des grandeurs inégales, on ajoute des
  grandeurs égales, les tout seront inégaux.
• 5. Si de grandeurs inégales, on retranche des
  grandeurs égales, les restes seront inégaux.
• 6. Les grandeurs, qui sont doubles d'une même
  grandeur, sont égales entre elles.
• 7. Les grandeurs, qui sont les moitiés d'une même
  grandeur, sont égales entre elles.
• 8. Les grandeurs, qui s'adaptent entre elles,
  sont égales entre elles.
• 9. Le tout est plus grand que la partie.

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Autour du 5ème Postulat

• B Les Éléments dEuclide, Livre I 47
  propositions
• 4 - La structure du Livre I
• La géométrie neutre ou absolue (sans le 5ème
  Postulat) 1- Prop. 1 à 3 constructions de
  base.
• Prop 1 Sur une droite donnée et finie,
  construire un triangle équilatéral
• 2- Prop. 4 à 8 propriétés des angles et côtés
  dun triangle
• 3- Prop. 9 et 10 constructions de bissectrices
  et de milieux
• 4- Prop. 11 à 15 perpendiculaire à une droite
  et angles de 2 droites
• Prop 12 A une droite indéfinie et donnée, et
  dun point donné, mener une ligne droite
  perpendiculaire.
• 5- Prop 16 à 26 inégalités dangles
  et de côtés dans un triangle
• Prop 17 deux angles dun triangle
  quelconque, de quelque manière quils soient
  pris, sont moindres que deux droits.
• (Théorème de Saccheri les trois angles dun
  triangle sont moindres que deux droits)
• 6- Prop. 27 et 28 conditions dangles
  impliquant le parallélisme

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Autour du 5ème Postulat

• B Les Éléments dEuclide, Livre I 47
  propositions
• 4 - La structure du Livre I
• b) La théorie des parallèles (avec le 5ème
  Postulat) 1- Prop. 29 à 32 propriétés
  équivalentes au 5ème Postulat.
• Prop 29 Une droite qui tombe sur deux droites
  parallèles, fait les angles alternes égaux
• Réciproque de la prop. 28 et contraposée du
  5ème Postulat.
• Prop 31 Par un point donné, conduire une
  ligne droite parallèle à une droite donnée.
• Construction possible en géométrie absolue.
  Seule lunicité est conséquence du 5ème
  Postulat axiome de Proclus-Playfair-Hilbert.
• Existence dun rectangle axiome de Clairaut.
• Prop 32 les trois angles intérieurs dun
  triangle sont égaux à deux droits
• Conséquence directe du 5ème Postulat.
  Réciproque vraie théorème de Saccheri-Legendre
  , difficile à démontrer.
• Prop 33 à 45 Parallélogrammes et méthode des
  aires
• Prop. 46 Décrire un carré avec une droite
  donnée.
• Prop. 47 et 48 Applications, le théorème de
  Pythagore et sa réciproque.
• Ainsi nommé par Proclus au Vème siècle après
  J.C.