Modele jedno-, wieloczynnikowe Model jednowskaznikowy Sharpe

1
Modele jedno-, wieloczynnikoweModel
jednowskaznikowy SharpeaLinia papierów
wartosciowych
2
Portfel wielu akcji. Model Sharpea

• Dla portfela skladajacego sie z n akcji potrzebna
  jest znajomosc
• n stóp zysku
• n odchylen standardowych
• n(n-1)/2 wspólczynników korelacji
• (dla 100 akcji 4 950 wspólczynników korelacji)
• (dla 1000 akcji 499 500 wspólczynników
  korelacji)
• William Sharpe zaproponowal tzw. jednowskaznikowy
  model oparty na jednoczynnikowej analizie
  zmiennosci poszczególnych akcji, prowadzacej do
  analizy mniejszej liczby danych

3
Model jednoczynnikowy

• W modelu jednoczynnikowym zmienna losowa y jest
  wyjasniana zachowaniem sie innej zmiennej
  losowej x
• y a bx e
• a,b sa wspólczynnikami obliczonymi w procedurze
  regresji liniowej, e jest zmienna losowa o
  zerowej wartosci oczekiwanej, ponadto zmienne x i
  e nie sa skorelowane
• Z rozkladu t-Studenta wyznacza sie przedzialy
  ufnosci dla wspólczynników a,b

4
Model wieloczynnikowy

• W modelu wieloczynnikowym zmienna losowa y jest
  wyjasniana zachowaniem sie pewnej liczby innych
  zmiennych losowych x1, x2 ,,xn.
• y a b1x1 b2x2 bnxn e
• Liczby a,b1,,bn sa wspólczynnikami obliczonymi w
  procedurze analizy wariancji, e jest zmienna
  losowa o zerowej wartosci oczekiwanej,
  nieskorelowana z zadna ze zmiennych
  wyjasniajacych
• W przypadku zmiennej y rozwazanej jako stopa
  zwrotu akcji wybranej spólki, zmiennymi
  wyjasniajacymi jej zachowanie moga byc np. stopa
  zwrotu indeksu akcji, produkt narodowy
  brutto,stopa zwrotu indeksu branzowego,
  wspólczynnik C/Z akcji tej spólki (lub stopa
  dywidendy)

5
Model jednowskaznikowy W. Sharpea

• Stope zwrotu z akcji spólki A mozna wyznaczyc w
  oparciu o stope zwrotu z rynku R (stope zwrotu
  indeksu gieldowego lub portfela rynkowego) Model
  jednoczynnikowy daje równanie dla stopy zwrotu z
  akcji spólki A
• RA a ß R e
• w którym e jest skladnikiem losowym
  (nieskorelowanym z rynkiem) o wartosci
  oczekiwanej równej zero.
• Wówczas
• ERA a ß ER 0
• Wspólczynniki ß oraz a uzyskane sa w procedurze
  regresji liniowej.
• Ponadto War RA ß2 War R War e

6
Regresja liniowa Model jednowskaznikowy W.
Sharpea

• Ryzyko papieru wartosciowego zwiazane z
  wielkoscia ß2 War R nosi nazwe ryzyka rynkowego
  (systematycznego)
• zas ryzyko zwiazane ze skladnikiem losowym -
  War e, to ryzyko specyficzne
• Uwaga.
• Ryzyka rynkowego (systematycznego), nie da sie
  uniknac, natomiast ryzyko specyficzne, zwiazane z
  akcja lub portfelem, mozna minimalizowac
  odpowiednim wyborem akcji oraz skladem portfela

7
Model jednowskaznikowy W. Sharpea

• Rozwazmy akcje n spólek, których stopy zwrotu
  oznaczymy przez Ri i1,,n.
• Ri ai ßi R ei ,
• R oznacza stope zwrotu indeksu gieldowego
• Zalozenia
• (i) ei - losowy skladnik o zerowej wartosci
  oczekiwanej E(ei) 0
• (ii) ei nie jest skorelowany z R (dla kazdego
  i)
• (iii) ei nie jest skorelowany z ej dla kazdej
  pary róznych wskazników
• (iv) Znane sa wariancje War ei

8
Model jednowskaznikowy Williama Sharpea

• (1) Ri ai ßi R ei
• (2) ERi ai ßi ER
• (3) War Ri (ßi)2 War R War ei
• (4) Cor (Ri, Rj) (ßi ßj War R) / si sj
• Równosc (4) jest zaleznoscia przyblizona. Mówi
  ona, ze wspólczynnik korelacji miedzy dwoma
  papierami mozna wyznaczyc dysponujac
  wspólczynnikami ß, ryzykiem (odchyl. std.) obu
  papierów oraz wariancja rynku

9
Model jednowskaznikowy Williama Sharpea

• Liczba danych
• n wspólczynników a,
• n beta,
• n wartosci odchylen std. skladników losowych,
• srednia stopa rynkowa,
• wariancja rynku
• Czyli (3n2) danych.

10
Portfel n spólek, parametry portfela

• Rozwazmy portfel akcji n spólek, spelniajacych
  zalozenia modelu jednowskaznikowego. Stopy zwrotu
  poszczególnych aktywów oznaczymy przez Ri
  i1,,n. Ri ai ßi R ei
• Stopa zwrotu z portfela r

11

• Skladnik e jest srednia wazona skladników
  losowych poszczególnych akcji. Prawdziwe sa
  równosci

12
Model jednowskaznikowy Williama Sharpea

• Przy przyjetych zalozeniach wariancja losowa
  portfela jest odwrotnie proporcjonalna do liczby
  aktywów w portfelu.
• Wariancja portfela moze byc przedstawiona jako
  suma dwóch skladników
• Pierwszy z nich jest wiaze sie z tzw. ryzykiem
  systematycznym, niedywersyfikowalnym,
  wspólczynnik beta jest srednia wazona, nie ulega
  wiec duzym wahaniom. Drugi zas jest suma
  przyczynków dywersyfikowalnych ryzyka (suma ta
  maleje wraz z liczba akcji)

13
Linia papierów wartosciowychSecurity Market
Line SML

• Mozna szukac wspólzaleznosci miedzy stopa zwrotu
  z akcji A oraz stopa zwrotu portfela rynkowego
  RM (nie zas indeksem rynku, jak
  poprzednio )
• Z równania regresji RA a ß R wynika, ze ?RA
  ß ?R
• podstawiajac ?RA RA - RF oraz ?R RM - RF
• do ostatniej równosci otrzymujemy
• RA RF ß (RM - RF ), czyli
• RA RF ß (RM RF )
• gdzie ß COV(RA, RM ) / War RM
• Ostatnia równosc nosi nazwe linii papierów
  wartosciowych (SML)
• Pierwszy skladnik RF jest zwany cena czasu
• zas drugi premia za ryzyko

14
Linia papierów wartosciowychSecurity Market
Line SML
SML w notacji wartosci oczekiwanych
15
Linia papierów wartosciowych

• Linia papierów wartosciowych okresla zaleznosc
  stopy zwrotu akcji (portfela) od wspólczynnika
  beta tej akcji (portfela). Jest to zaleznosc
  stopy zwrotu od ryzyka systematycznego
  reprezentowanego przez wspólczynnik beta

16
Linia papierów wartosciowych. Uklad (ß,R)
17
Linia papierów wartosciowych

• Równanie SML jest równaniem rynku w stanie
  równowagi, tzn. jest równaniem wyceny akcji (lub
  portfela). Stope zwrotu z aktywu o danym
  wspólczynniku ß mozna odczytac z wykresu.
• Portfel rynkowy jest punktem o pierwszej
  wspólrzednej równej 1.
• Portfel pozbawiony ryzyka jest punktem przeciecia
  prostej SML z osia OY.
• Portfele lezace na SML sa równie atrakcyjne ze
  wzgledu na uzyskiwana stope zwrotu i ponoszone
  ryzyko

18
Linia papierów wartosciowych
19
Model równowagi CAPM

• Parametry akcji (portfeli) maja tendencje do
  spelniania równania SML. (Punkty reprezentujace
  te portfele ukladaja sie na linii SML).
• Jezeli akcja (portfel) znajduje sie powyzej tej
  linii ma wiekszy zwrot - jest wiec bardziej
  atrakcyjna (niedowartosciowana), zwiekszony popyt
  wywoluje zwiekszona cene, co obniza jej stope
  zwrotu (powrót na linie).
• Jezeli akcja (portfel) znajduje sie ponizej tej
  linii ma mniejszy zwrot - jest wiec mniej
  atrakcyjna (przewartosciowana), zmniejszony popyt
  wywoluje spadek ceny, co zwieksza jej stope
  zwrotu (powrót na linie).

20
(No Transcript)
21
Twierdzenie o dwóch portfelach efektywnych

• Tw.
• Dowolny portfel lezacy na granicy efektywnej jest
  kombinacja dowolnych dwóch portfeli lezacych na
  tej krzywej (D. Luenberger, Teoria inwestycji
  finansowych)

22
Wspólczynnik efektywnosci Sharpea
Portfel rynkowy (sM , RM), to portfel o
maksymalnym stosunku oczekiwanego zysku ponad
stope wolna od ryzyka do odchylenia std. czyli
maksymalnym (E(RP) - RF)/sP
23
(No Transcript)
24
(No Transcript)
25
(No Transcript)
26
(No Transcript)
27
(No Transcript)
28
(No Transcript)
29
(No Transcript)
30
(No Transcript)