????(Splines)

1
14?. ????

• ????
• ???, ???, ??? ? ?? ??? ?? ??? ??? ????.
• ????? ?? ??? ??? ??? ????.
• ??? ??? ??? ???? ????? ????.
• ??? ????, ??? ????, ???? ??? ???? ????.
• ??? ???? ??? ???? ??? ????.

2
????(Splines)

• ???? ???? ??? ?? ?? ???? ?? ?? ?
• ?(Ducks)? ??? ?? ???? ??
• ??? ??? ?? ????? ??. ??? ??????
• ??
• ????, ????
• ?? ??? ???????
• ?????? ????

3
???(CP Control Points)

• ??? ??? ???? ???? ?
• ???? ??, ??, ???? ?? ?? ??? ??? ??
• ??(Segment) ? ?? ??? ??
• ???? ??? ???(Piecewise Polynomials)
• ??? ?? ??? ??
• ???? ??? ??? ?? ?
• ??? ???? ??? ?? ??.

4
???? ??

• ?? ????(Interpolating Splines)
• ???? ??(Pass-Throughness)
• ?? ????(Approximating Splines)
• ????? ?? ???? ???? ??
• ???? ??? ????? ?? (Remote Control)
• ??? ??? ??? ??? ?? ??

5
????? ???

• ???(Locality)
• ???? ??? ? ?? ??? ??? ???
• ?? ????? ??? ??? ??? ??? ???? ??.
• 3? ?? vs. 9? ??
• ???? ?? ?? ??? ??? ??? ??? ??.

6
?? ???, ??? ?

• ?? ???(Control Graph, Control Polygon, Defining
  Polygon)
• ????? ???? ???? ??? ???
• ??? ?(Convex Hull)
• ?? ??? ??? ??? ???? ??? ??? ??
• ??? 3? ??? 4?? ??? ???
• ??? 2? ??? 3?? ??? ???

7
??? ? ??

• ??? ? ??(Convex Hull Property)
• ????? ??? ? ???? ??? ??
• ??(Oscillation)?? ??(Overshoot)? ??
• ???? ???(Co-linear)?? ????? ??
• ??? ??? ???? ??

8
???? ??

• y x 1 (0 x 4)
• (t, t 1) or (t2, t2 1) or (3t, 3t 1)
• ??? ????(Normalized Parameter)
• (4t, 4t 1)
• ????? ??? (0 t 1)
• ???? ??? ??
• ?? ??
• ?? ???(? x 1)
• ??? ??? ?? (t, t1, t3, 2t, ) cf. ??? ??

9
????? ???(Continuity)

• ??? ????(Smoothness)
• ??? ????? ??? ???(Slope)? ??(Curvature)
• ???, C0, C1, G1, C2
• C1 ??
• ??????? ??????. ??? ?? 1? ????
• G1 ??
• ????(Geometric) ?? ???(Visual) ???
• ??? ???? ???? ???? ???, ??? ??.
• C2 ??
• ???? ???? ???(Curvature, ??, ???? ???, 2? ????)
  ??? ???? ???. ?? ???? ??. ?? ?? ???? ?? ?? ??
  ?? ????

10
????(Bias), ??(Tension)

• Barsky? Beta Spline
• ??(Tension)
• ??? ?? ? ???.
• ? ?? ???? ?? ??? ??? ??? ??
• ?? BC? AB?? ??? ??.
• ????(Bias)
• ??? ????? ?? ??
• ??? B?? (a)? ??? ???? ????, (b)? ???? ???? ?????
  ????.

11
??? ????(Cardinal Splines)

• ????(Blending Function)
• ?? ?? ??? ?? ??
• ????(Basis Function), ??? ??(Weighting Function)
• ? ?? ????? (1-t), (t)??? ?? ????

12
??? ???? (Cardinal Splines)

• ??? ????
• m(t1)?? t1 0 ? ? p1? p(t)? ? ? t 0? ?
• m(t1)?? t1 1 ? ? p2? p(t)?? t 1/2 ? ????? ??
• m(t2)?? t2 0 ? ? p2? t 1/2
• ??? t1 2t, t2 2t -1. ?? ? ?? ??

13
??? ???? (Cardinal Splines)

• ??? ????
• p2, p3 ??? ??. ????? 2????? ??? 3???

14
??? ???? (Cardinal Splines)

• ??? p1, p2, p3, p4? ???? ??? p2-p3 ????? ????.
• ??? ????? ??? ???? ?? ????
• C1 ???? ??.
• ????? ?? ? ??? ??? ??? ??.
• 4 ?? 3? ????? ?? ??? p1, p2, p3, p4? ??
• ????

15
??? ????(Hermite Splines)

• ? ??? ??? ?? ???? ???? ?? ??

16
??? ????(Hermite Splines)

• ?? ? ??? ???? ?? MhPt? ??

17
??? ????(Hermite Splines)

• ??? ??
• ??? ?? ??, ??? ????

18
??? ????(Bezier Splines)

• 3 ?? ???? ?? ??? ??
• ???? ???? ??? ?? ????(Bernstein)? ?? ????? ???
  ??? ??

19
??? ????(Bezier Splines)

• ????? ??. ?? 3?? ???, 4?? ???.
• ??? t 1/3? ??? ?

20
??? ????(Bezier Splines)

• ???
• 3?? ???? ?? 2? ???

21
??? ????(Bezier Splines)

• 2? ??? ????
• J2,0(t), (1-t)2, J2,1(t) 2t(1-t), J2,2(t) t2
• ????
• ???? ??? ?? ??? ????? ??? (???)
• t 0 ? p0 ??? J2,0(t)? ???? 1. ??? t 0? ????
  ??? ??? p0 ? ??
• t .5? p1 ??? p0 ?? ???? J2,0(.5) .25, p1 ??
  ???? J2,1(.5).5, p2?? ???? J2,1(.5) .25 ??.
  ??? ?? ????

22
??? ????(Bezier Splines)

• 3? ??? ??

23
??? ????(Bezier Splines)

• ??? ??? ??
• ??? ??? ? ?? ?? ??? ?? ??
• ??? ???? ?? ???? ??? ? ???? ??? ??(??? t?? ????
  ?? ?? ??? ? ?? ?? 1)
• ?? ?? ??? ??? ??? ???? ?? ???? ??
• 4 ?? ???? ?? 3? ??? ??? ??? p0, p1, p2, p3 ? ????
  ???. cf. ??? ????
• n ?? ???? ???? ??? ??? ???? t? ?? (n - 1)? ??.
  ???? ???? 3? ??? ???? 4 ?? ??? ??? ?? ??? ??? ??.

24
??? ????

• ??

25
??? ????

• ??? ??? ??? ????
• G1 ???? ???.
• ??? ????? ??? ????? ??? ??

26
??? ????

• ?? ??(Midpoint Subdivision)
• ?? ??(Recursive Call)? ?? ??? ??? ??? ??
• 1?? ??? 2?? ???? ????. ?? ????? ??
• ??? ???? ???(7-9-8? ???? ??)

27
B-????

• ??? ??? C2 ??? ??
• ?? ???? ??
• ????? ???? ???? ??
• ??? ???? ???? ??
• 3? ??????? 3?? ???? ??

28
B-????

• 3? B-????
• ??? 4?? ?? 1?? ?? ??? ???.
• 3?? ???? ????? q0, ..., q6 ?? 6?? ?? ??
• ??? ????
• 0, 1? ?? ?? i, i1? ???? ???.
• ??(??, Knot) t i? ??  ?? ?? ?
• ????(Knot Vector) ??? ?? ?? ??.
• B-????? ???? ?? ????(Uniform Knot Vector)
• ???? ???? ??? ??? ?? ??? ??

29
B-????

• B-????? B? ????(Basis)? ???.

30
B-????

• ??? p3? ??? ??? ????
• q0? ??? B3, q1? ??? B2,  q2? ??? B1, q3? ???
  B0? ???.
• ??? p3? ??? 4?? ??? ?? ??
• ? a, a', b, b', c? ????? ???? ?. ?????? C2 ??? ??

31
B-????

• ???? ????? ??

32
B-????

• ??? ??? ??? ???? ???? ??
• ?? 1 ??? ??
• ?????? ?? C2 ??
• ?????? (b)? G1 ??, (c)? G0 ??

33
B-????

• ?? 2 ?? ??.
• 3? ??? ?? ??? ?? ??? ?? ?? 2? ??. ?? t4t51 ? ??
  

34
B-????

• ?? B-????(Non-Uniform B-Splines)
• ????? ????? ???? ??? ??? ??

35
B-????

• ???? B-???? ?? B-????
• ????? ?? B-???? ???? ??

36
B-????

• ?? ????? ????? ??

37
B-????

• ?? ????? ????? ??

38
B-????

• ?? ????? ??
• ???? ?? ?? ??? ??? ???? ???
• ? ???? ??? ???? ????? ??? ??
• ? ???? (0.0, 0.0, 0.0, 3.0, 4.0, 5.0, 6.0, 7.0)
• ??? ??(Kink)?? ?? ???(Corner)? ??? ? ??
• ? ???? (0.0, 1.0, 2.0, 3.0, 3.0, 5.0, 6.0, 7.0)
• ??? p2? ?? ?? 2? ??
• k? ????
• ???? C(k-1)? ???. 2? ????? ???? C1 ???
• ?? ?? ? ? ??? ??? ???? 1?? ??. ?? 2? ??????? ??
  C1 ??? C0 ???? ??.

39
???(NURBS)

• ????
• ???? ? ??? ??? ????? ???? ??? ????(Rational
  Function)??? ?
• ???(NURBS)
• ?? ?? B-????(Non-Uniform Rational B Spline)
• ??? ?? ??? wi? ?? ????? ??

40
???(NURBS)

• ??? ??
• ? ????? ???? ?? ????? ??? ??
• ?? ??
  ? ??

41
???(NURBS) ??? ??

• 3 ?? ??
• ????? ??. ? ??? ????
• ????? ??. ??? ?????? ????
• ???? ???. ??? ?????? ????
• ??? ??
• ???? ??? ??
• ? ? ???? ??
• ???????? (0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1)? ?? ???
• ?? ??? ??? ???? ????

42
???? ??

• ??? ????? ?? ????? ?? ?? ???.
• ??? ??? ??(Horners Rule) ?? ????, ??? ??

43
????? ??

• ?? ??? ??? ??
• ??? ?? ?? ??, 1/3? ??,
• ??? ?? ?? ??? ?? ??? ??? ??

44
???? ??(Spline Surfaces)

• ??? ??? ???? ???
• ????(Uniform Subdivision), ????(Adaptive
  Subdivision)
• ???? ??? ???? ??? ???? ??
• ??? ?? ???? ?? ??

45
???? ??

• ???? ??
• ??? 3? ??(Parametric Bicubic Surface)
• u, w ????? ???
• ?? ? ?? ?? M? ?? ??? ? p? ??? ??

46
???? 4 ?? ???? ??

• 4??? ??? ??

47
2 ?? ????? ???? ??

• ????(Space Curve)
• 3?? ??
• ?? ?(Ruled Surface)

48
4 ?? ????? ??? ??

• 4? ??? ???? ?? ??
• ? ?? ??
• ?? ?? ?? ??(Coon's Patch)

49
??? ??(Hermite Surfaces)

• (a)? ?? ??
• ? ??? ?? ??
• p1(w), p2(w)? ??? ??.

50
??? ??(Bezier Surface)

• ????? ??
• 1? ??? ??
• 1? ??? ??, 2? ??? ??

51
??? ??(Bezier Surface)

• 3? ??? ??
• 4 by 4 16?? ???
• J ? ??? ??? ??
• ???? ????? ?? ??? ?? ???(???, Cartesian
  Product, Tensor Product)

52
??? ??(Bezier Surface)

• ??? ??? ??
• ??? ??? ????? ???? ??
• u, w ? ?? ??? ?? ???? ??? ?? ??? ??

53
??? ??(Bezier Surface)
54
B-???? ??(B-Spline Surfaces)

• B-???? ??? ???
• C2 ???? ??. cf. ??? ?? G1 ???
• ?? ?? ?????? ???? ?? ??? ??? ??

55
2???(Quadric Surfaces)

• ???? ??? ??.
• x, y, z? ?? 2? ??. x, y, z ??? ???? ??? ?? ??
• ? ??
• ???? 2???
• ??? ??(Diagonal Matrix). ???? ???? ?? ??

56
2???(Quadric Surfaces)

• ??
• ?? ?? ?? ?? ????? ???? ??.
• x, y ??? ???? ? z ??? ???? ??.
• ???? ???? ???? ??.
• ??? ????? ???? ??.
• ????