Monitoria de Gerenciamento de Risco Roteiro de estudo para a P1

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Monitoria de Gerenciamento de RiscoRoteiro de
estudo para a P1

• Felipe Noronha Tavares
• felipe.noronha.t_at_gmail.com

Obs. alguns slides foram extraídos do material
das aulas feito pelo Prof. Valentim
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Estudo de casos

• Revisar os principais casos estudados no material
  da aula 1.

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EWMA

• Atribui pesos diferentes a cada observação do
  retorno ao quadrado. Quanto mais antiga a
  observação, menor o peso. Os pesos são 1, ?, ?2,
  ?3, ...
• Fórmula recursiva do EWMA
• Resolvendo recursivamente, fica claro o esquema
  de média ponderada

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EWMA

• O termo lambda controla a resposta a novas
  informações de retorno. Um lambda pequeno implica
  num peso grande ao termo do retorno ao quadrado.
  Nesta situação, um retorno elevado afeta
  rapidamente a estimativa de volatilidade. Um
  lambda grande implica numa resposta lenta às
  novas informações dadas pelos retornos observados
  a cada dia.
• A vantagem do EWMA é que produz bons resultados
  com uma amostra histórica pequena em comparação
  com o GARCH.

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GARCH(1,1)

• Para um processo estável, a ß lt 1, senão o peso
  aplicado à variância de longo prazo é negativo
• a mede a sensibilidade da volatilidade à choques
  no retorno
• ß controla a persistência da volatilidade
  condicional

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GARCH(1,1)

• ? está associado à volatilidade de longo prazo VL
• Observe que o EWMA é um caso particular do GARCH
  onde a 1 ?, ß ? . Neste caso, a ß 1 ,
  logo o modelo EWMA não converge para uma
  variância de longo prazo.

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Estimação por Máxima Verossimilhança

• Os parâmetros do modelo GARCH podem ser estimados
  utilizando a técnica de estimação por máxima
  verossimilhança.
• Dada uma amostra r1,..., rn. Podemos supor que
  cada elemento ri da amostra é uma variável
  aleatória com distribuição normal
  , onde
• Definindo o vetor de dados
  e o de parâmetros
• A técnica de máxima verossimilhança consiste em
  escolher o vetor de parâmetros que maximize a
  chance de ocorrência dos dados observados
  (maximizando a função de verossimilhança). Por
  sua vez, a função de verossimilhança é a função
  densidade de probabilidade aplicada à amostra em
  mãos.

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Estimação por máxima Verossimilhança

• Impondo que os retornos são i.i.d. , a função
  densidade de probabilidade conjunta dos dados
  será o produto da função densidade de
  probabilidade de cada variável aleatória.
• Fixando o vetor r na amostra em mãos, a função de
  verossimilhança a ser maximizada será
• Ou seja, devemos escolher o vetor de parâmetros O
  que maximize esta função.

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Estimação por Máxima Verossimilhança

• Desenvolvendo e aplicando log na função de
  verossimilhança, isso equivale a maximizar
• Podemos usar o solver do Excel para maximizar
  esta função. É importante ter em mente que o
  maximizador do Excel é baseado em métodos de
  gradientes. Existe a possibilidade de encontrar
  um máximo local da função. Logo o ideal é
  realizar a maximização a partir de vários pontos
  iniciais.

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Previsão de Volatilidade

• Computando a previsão j dias à frente
• No caso do EWMA
• No caso do GARCH(1,1)
• No estado estacionário do GARCH(1,1) , temos a
  variância da longo prazo

Quanto menor o termo aß, mais rápida será a
convergência para a vol. de longo prazo
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GARCH Bivariado

• Modelo Vech diagonal
• Esta é a forma mais simples de especificar um
  modelo GARCH para previsão de covariâncias. Ela é
  restritiva pois as volatilidades passadas não
  entram na equação da covariância atual.
• A especificação completa do GARCH bivariado
  envolve uma quantidade elevada de parâmetros, e é
  dada por

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Avaliando contratos a termo

• Por não arbitragem, o preço a termo de um ativo
  que não paga dividendos é dado por

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Opções

• Uma Opção é um derivativo que dá a seu detentor
  escolha(s) futuras que afetam os fluxos de caixa
  da posição.
• Opção de compra (Call) dá a seu detentor o
  direito, mas não a obrigação de comprar um ativo
  especificado (subjacente) em (ou até) uma
  determinada data (vencimento) por um preço
  pré-especificado (preço de exercício - strike).
• Opção de venda (Put) dá a seu detentor o
  direito, mas não a obrigação de vender um ativo
  especificado(subjacente) em (ou até) uma
  determinada data (vencimento) por um preço
  pré-especificado (preço de exercício - strike).
• O ativo subjacente pode ser um título, uma ação,
  um índice, uma moeda estrangeira, uma commodity,
  ou um outro derivativo.

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Opções

• Opções que só podem ser exercidas no vencimento
  são chamadas Opções Européias. Opções que só
  podem ser exercidas a qualquer tempo até o
  vencimento são chamadas Opções Americanas.
• Considere uma opção européia com data de
  vencimento T, preço de exercício K sobre um ativo
  com spot ST. O payoff no vencimento de uma
  posição comprada nessa opção é
• MáxST ? K,0

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Opções

• O modelo de BS parte da hipótese de que o preço
  do ativo subjacente segue um movimento browniano
  geométrico, e encontra uma fórmula fechada para o
  cálculo do prêmio desta opção.
• De todos os parâmetros do modelo, apenas a
  volatilidade não é um parâmetro observável.

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Moneyness

• O moneyness é uma medida do grau de probabilidade
  de uma opção ter um payoff positivo no
  vencimento.
• Uma opção é dita out-of-the-money (fora do
  dinheiro) quando sua probabilidade de exercício é
  baixa. Para uma call significa que o preço do
  ativo à vista está muito abaixo do strike, já
  para uma put acontece o contrário, isto é, o
  preço do ativo à vista está muito acima do
  strike.
• Uma opção é dita in-the-money (dentro do
  dinheiro) quando o seu exercício é mais provável
  do que o seu não-exercício. Uma call in-the-money
  ocorre se o preço do ativo à vista estiver muito
  acima do strike. Uma put in-the-money ocorre
  quando o preço do ativo à vista estiver muito
  abaixo do strike.

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Moneyness

• Por fim, uma opção é dita at-the-money (no
  dinheiro) quando as chances de exercício e de
  não-exercício são aproximadamente iguais. Tanto
  para call como para a put isso acontece se o
  preço do ativo à vista estiver próximo ao do
  strike.
• O moneyness pode ser definido de várias formas

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Volatilidade Implícita

• Para um preço spot St, strike K, taxa de juros r
  e vencimento T, existe uma relação única entre
  volatilidade e preço de uma call européia.
• Em particular, para qualquer preço ct (positivo e
  menor que St), existe um único nível de
  volatilidade ? tal que
• ct BS(St, K, r, T t, ?)
• Essa volatilidade é chamada de volatilidade
  implícita.
• Qualquer divergência entre preços de mercado e
  preços teóricos podem ser devido a hipóteses
  incorretas do modelo ou ineficiências de mercado.

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Volatilidade Implícita
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Letras Gregas

• O efeito da variação dos fatores que afetam o
  prêmio da opção é chamado de medida de
  sensibilidade ou letras gregas.
• A sensibilidade de uma opção a um dado fator de
  risco é igual a derivada parcial da fórmula de
  Black Scholes em relação a esse fator.
• Principal letra grega é o delta sensibilidade
  do preço de uma opção a variações no preço do
  ativo objeto. Para opções de compra

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ETTJ Interpolação Linear
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ETTJ interpolação Flat Forward
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ETTJ interpolação Flat Forward
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Bonds conceito de Duration e Duration Modificada

• Duration de Macaulay é a média ponderada do prazo
  de um título, onde os pesos são os fluxos de
  caixa descontados pela yield.
• A Duration Modificada é definida como (P preço
  do título, y yield)
• Podemos escrever a Duration Modificada em função
  da Duration de Macaulay (D)

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Diebold e Li

• A ETTJ, no modelo de Diebold e Li, é modelada
  como
• Podemos pensar neste modelo como sendo

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Diebold e Li

• Conforme estudamos na monitoria (arquivo
  monitoria_3.xls na wiki), fixando ? e isolando
  apenas os fatores F1, F2, F3, temos o seguinte
  comportamento para cada fator, variando o prazo t

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Diebold e Li

• O fator F1 é uma constante. Logo, uma mudança no
  Beta 1 provoca alteração no nível da ETTJ.
• O fator F2 é parecido com uma reta que decresce
  até 0. Logo, uma mudança no Beta 2 provoca
  alteração de inclinação da ETTJ, pois as taxas
  mais curtas são afetadas por um fator maior do
  que aquele aplicado a taxas longas.
• Utilizando raciocínio similar, vemos que o fator
  F3 é uma componente de curvatura da ETTJ. Logo,
  uma mudança no Beta 3 provoca mudança na
  curvatura da ETTJ.

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Diebold e Li

• Se fixarmos o termo ?, este modelo pode ser
  estimado por MQO, pois temos um modelo linear nos
  Betas.
• Para estimar um ? ótimo, podemos estimá-lo junto
  com os betas do modelo. Entretanto, não poderemos
  mais utilizar MQO pois teremos um modelo não
  linear nos parâmetros. Neste caso, será
  necessário aplicar alguma técnica de estimação
  não linear. Por exemplo, podemos usar o solver do
  Excel para minimizar a soma do quadrado dos erros
  do modelo.

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VaR

• Revisar todo o material da aula 5