La

1
La crisi della Fisica Classica Alcune
situazioni sperimentali in cui la Fisica
Classica" fallisce
Le cure arrivano da idee intrinsicamente
quantistiche

Energia del fotone Impulso del fotone
Lunghezza donda di una particella Principio di indeterminazione
Funzione donda Equazione di Schrödinger
2
La radiazione di Corpo Nero
La Radiazione di Corpo Nero o di "cavità si
riferisce ad un oggetto che assorbe tutta la
radiazione incidente su di esso e ri-irraggia
energia che è caratteristica del suo solo sistema
irraggiante, e non dipende dal tipo di radiazione
incidente. Lenergia irradiata può essere
considerata come prodotta da onde stazionarie, o
modi risonanti, della cavità che irraggia.
modi di radiazione
La quantità di radiazione emessa in una certa
banda di frequenze dovrebbe essere proporzionale
al numero di modi in quella banda. Secondo la
Fisica Classica tutti i modi hanno la stessa
probabilità di essere prodotti, ed il numero di
modi possibili nella cavità cresce con il
quadrato della frequenza.
Tuttavia, la continua crescita di energia emessa
con la frequenza (denominata "ultraviolet
catastrophe") non avviene. La Natura è più
saggia.
3
La nascita della Meccanica Quantistica
Lespressione quantistica della energia media per
modo si ottiene partendo dalla ipotesi di Planck
tutta la radiazione elettromagnetica è
quantizzata e lemissione avviene per quanti di
energia, che chiamiamo fotoni. Il quanto di
energia di un fotone è dato dal prodotto della
costante di Planck h per la frequenza.
Questa quantizzazione implica che un fotone di
luce, di data frequenza e lunghezza donda, ha
una energia quantistica fissata. Per esempio, un
fotone di luce blu, che ha una lunghezza donda
di 450 nm, avrà sempre una energia di 2.76 eV.
Tutta la luce blu è formata da fotoni di questa
energia, e trasporta energia in multipli di 2.76
eV. Non si può avere un mezzo fotone blu.
4
Energia massima e minima, Meccanica Quantistica e
Meccanica Classica
La frequenza disponibile è continua, senza limiti
superiori o inferiori quindi non vi alcuna
restrizione circa la possibile energia di un
fotone. Per quanto riguarda le energie alte, un
limite pratico è semplicemente dovuto alla
difficoltà di trovare meccanismi per la creazione
di fotoni ad altissima energia. I fotoni di bassa
energia invece abbondano tuttavia, quando si
scende sotto il limite delle frequenze radio, le
energie dei fotoni sono così piccole, confrontate
con le energie termiche a temperatura ambiente,
che non si potranno mai isolare come singole
entità quantizzate. Si perdono semplicemente
nella energia di fondo presente. In altre parole,
nel limite di basse frequenze la trattazione
della radiazione elettromagnetica si fonde con la
descrizione classica ed una trattazione
quantistica non è più necessaria.
5
Densità di energia del Corpo Nero in funzione
della frequenza
Energia per unità di volume e di frequenza
k costante di Boltzman
6
Rayleigh-Jeans vs Planck
Confronto tra la legge classica di Rayleigh-Jeans
e la formula della radiazione quantistica di
Planck. L esperimento conferma la relazione di
Planck.
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Curve di Radiazione
8
Leffetto fotoelettrico
Gli aspetti incomprensibili delleffetto
fotoelettrico quando si incominciò ad osservarlo
erano
1. Gli elettroni venivano emessi immediatamente
- nessun ritardo!
2. Un aumento della intensità della luce causava
un aumento del numero di fotoelettroni, ma non
della loro energia cinetica!
  
3. La luce rossa non provoca emissione di
elettroni, qualunque sia la sua intensità!
Le caratteristiche delleffetto fotoelttrico
erano in netta contraddizione con le predizioni
della Fisica Classica. La spiegazione
delleffetto segnò uno dei passi fondamentali
verso la Teoria dei Quanti.
4. Una debola luce violetta causa lemissione di
pochi elettroni, ma la loro energia cinetica è
maggiore di quella ottenuta con luce più intensa
di frequenza minore!
9
Leffetto fotoelettrico
Lanalisi dei dati delleffetto fotoelettrico
mostrò che lenergia degli elettroni emessi era
proporzionale alla frequenza della luce
incidente. Ciò mostrava che qualunque cosa
estraesse gli elettroni dal metallo aveva
unenergia proporzionale alla frequenza della
luce. Il fatto sorprendente che lenergia dei
singoli elettroni fosse indipendente dalla
energia totale della luce incidente (cioè
lintensità), mostrava che linterazione della
luce con il metallo deve essere come quella di
una singola particella che cede la sua energia
allelettrone. Ciò è consistente con lipotesi di
Planck, da lui applicata al problema della
radiazione del Corpo Nero, secondo cui la luce è
formata da quanti discreti (fotoni), ciascuno con
energia
10
I fenomeni luminosi più comuni possono essere
spiegati e descritti mediante la natura
ondulatoria della luce. Invece, leffetto
fotoelettrico suggerisce una natura corpuscolare
della luce.
11
Il problema degli spettri atomici
Negli anni alla fine del 1900, si osservò che la
luce emessa da gas luminosi non mostrava una
distribuzione continua di lunghezze donda, ma
formava un insieme discreto di colori, diversi
per i vari gas. Queste "linee spettrali" si
disponevano in una serie regolare e si giungerà
ad interpretarle come transizioni tra livelli
atomici di energia. Allora, rappresentavano un
grosso problema per la Fisica Classica. Si sapeva
che particelle cariche accelerate emettono onde
elettromagnetiche, e ci si aspettava che orbite
di elettroni intorno ai nuclei fossero instabili,
in quanto, a causa della perdita di energia
elettromagnetica emessa, sarebbero stati
attratti dal nucleo. Non si poteva trovare alcun
modello classico che portasse ad orbite stabili
degli elettroni. Il modello atomico di Bohr
segnò il passo fondamentale verso una moderna
teoria atomica. Il punto fondamentale fu il
postulato che il momento angolare è quantizzato,
permettendo di ottenere solo specifici livelli di
energia. In seguito, lo sviluppo della Meccanica
Quantistica e lequazione di Schrödinger
permisero di comprendere i postulati ed I
risultati del modello allinterno di una teoria
completa e consistente.
Helium spectrum
Hydrogen spectrum
interi
RH, costante di Rydberg 1.097 107 m1
12
Il modello atomico di Boh Orbita classica
dellelettrone
Nel modello di Bohr, questo risultato classico fu
combinato con la quantizzazione del momento
angolare, per ottenere unespressione dei livelli
quantizzati di energia.
13
La quantizzazione del momento angolare
Nel modello di Bohr la lunghezza donda associata
allelettrone è data dalla relazione di de
Broglie (si vedano le trasparenze successive)
a cui si unisce la condizione di stazionarietà
lunghezza della circonferenza numero intero di
lunghezze donda
Queste due condizioni si combinano per dare
lespressione quantizzata del momento angolare
per lelettrone in orbita

Quindi L non solo è conservato (non dipende dal
tempo), ma è costretto ad assumere valori
discreti, multipli di h/2p secondo il numero
quantico n. Questa quantizzazione del momento
angolare è un risultato fondamentale e può essere
usato per determinare I raggi e le energie delle
orbite di Bohr.
14
Combinando il procedimento seguito nel caso
classico con la quantizzazione del momento
angolare, lapproccio di Bohr fornisce le
espressioni per i raggi e le energie delle orbite
degli elettroni
da queste espressioni si ricava
n 1,2,3,
a0 0.529 1010 m raggio di Bohr
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Livelli di energia dellatomo di idrogeno
I livelli di energia dellatomo di idrogeno sono
in accordo con quelli del modello di Bohr. La
descrizione pittorica usuale è quella di una
struttura ad orbite (o gusci), con ogni orbita
associata ad uno dei valori del numero quantico
principale n.
La descrizione dellatomo tramite le orbite del
modello di Bohr è una utile visualizzazione non
bisogna tuttavia dimenticare che, come risulterà
dalla Meccanica Quantistica, i concetti di orbita
e raggio orbitale saranno sostituiti da concetti
quali la distribuzione di probabilità di
posizione.
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Il modello di Bohr prevede che gli elettroni
occupino una delle possibili orbite quantizzate,
senza emissione di onde elettromagnetiche.
Lemissione avviene quando lelettrone passa da
unorbita allaltra in questa transizione
avviene lemissione di un fotone di energia pari
alla differenza di energia tra le due orbite.
Dallespressione dei livelli quantizzati di
energia si ha
Questa relazione può essere scritta come
con
17
(No Transcript)
18
Le debolezze del modello di Bohr
Anche se il modello di Bohr rappresentò un passo
avanti fondamentale verso la costruzione della
teoria quantistica degli atomi, non rappresenta
in realtà la corretta descrizione teorica della
natura delle orbite elettroniche. Le sue
principali manchevolezze sono 1. Non permette
di capire perché certe linee spettrali sono più
luminose di altre. Non vi è alcun meccanismo che
permetta di calcolare la probabilità di
transizione tra livelli atomici. 2. Il modello
di Bohr considera gli elettroni come pianeti in
miniatura, in rotazione intorno al nucleo con un
ben preciso raggio ed impulso. Questo viola il
principio di indeterminazione, secondo cui
posizione ed impulso non possono essere
esattamente determinati contemporaneamente. Il
modello di Bohr ci fornisce un modello
concettualmente semplice e fondamentale delle
orbite e delle energie degli elettroni atomici. I
dettagli dello spettro e della distribuzione di
cariche sono ottenibili solo dai calcoli della
Meccanica Quantistica e dellequazione di
Schrödinger. Molti dei risultati del modello di
Bohr (compresa la sua ipotesi di quantizzazione )
saranno ritrovati allinterno di una teoria
completa e consistente.
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La natura particellare della luce Lo scattering
Compton
Compton osservò la deflessione di raggi X da
parte di elettroni, trovando che i raggi X
deflessi avevano una lunghezza donda più grande
di quella dei raggi incideni. La variazione della
lunghezza donda aumentava con langolo di
deflessione, secondo la formula (di Compton)
Compton spiegò i dati assumendo una natura
particellare della luce (fotoni) ed applicando
la coservazione dellenergia e dellimpulso alla
collisione tra un fotone e lelettrone. Il fotone
deflesso ha unenergia minore e quindi una
maggiore lunghezza donda, secondo la relazione
di Planck.
20
Lespressione precedente per ?? può essere
ottenuta imponendo la conservazione dellenergia
e dellimpulso
conservazione dellenergia
conservazione dellimpulso
21
La natura ondulatoria dellelettrone
Giovane studente a Parigi, Louis DeBroglie aveva
appreso la relatività e leffetto fotoelettrico.
Questultimo evidenziava la natura corpuscolare
della luce, da sempre considerata un fenomeno
ondulatorio. Egli si chiese se gli elettroni ed
altre "particelle" potessero a loro volta esibire
proprietà ondulatorie. Questo condurrà ad una
nuova teoria.
La conferma dellipotesi di DeBroglie arrivò
grazie allesperimento di Davisson- Germer. Esso
mostrò figure di interferenza in accordo con
la lunghezza donda di DeBroglie per lurto di
elettroni su cristalli di nickel.
22
Quando i raggi X sono deflessi dal reticolo
cristallino, si osservano picchi di intensità
finale corrispondenti alla condizione di Bragg,
secondo cui si hanno massimi quando la differenza
di cammino di due raggi è uguale ad un multiplo
intero della lunghezza donda. Tale formula può
essere usata in più modi conoscendo d e
misurando theta, si ricava lambda, oppure
conoscendo lambda si ricava d. Simili figure di
interferenza furono osservate con elettroni.
Lenergia degli elettroni, e quindi la loro
lunghezza donda, può essere variata, variando il
potenziale di accelerazione.
Lesperimento di Davisson-Germer dimostrò che
anche gli elettroni presentano fenomeni
ondulatori, in accordo con la lunghezza donda
di DeBroglie
lunghezza donda di un elettrone di impulso p
23
La lunghezza donda di DeBroglie

24
La dualità Onda-Particella per la luce
La luce consiste di particelle o di onde? La
risposta dipende dai tipi di fenomeni che si
osservano
Fenomeno Può essere spiegato in termini di onde Può essere spiegato in termini di particelle
I più comuni fenomeni luminosi osservati possono
essere spiegati come fenomeni ondulatori.
Tuttavia leffetto fotoelettrico e lo scattering
Compton suggerirono una natura particellare per
la luce. Lo stesso dualismo onda-particella fu
osservato anche per gli elettroni.
25
La funzione donda
Ogni particella è rappresentata da una funzione
donda ? (x,t) tale che ? ? è la probabilità di
trovare la particella nel punto x al tempo t. La
funzione donda è soluzione dellequazione di
Schrödinger. Questa equazione gioca lo stesso
ruolo della legge di Newton e della conservazione
dellenergia nella Meccanica Classica, cioè
predice il comportamento futuro di un sistema
dinamico. Predice analiticamente e precisamente
le probabilità di eventi e risultati futuri. I
dettagli dei risultati dipendono dal caso, ma,
per un grande numero di eventi, lequazione di
Schrödinger, predirrà la loro distribuzione
statistica.
26
Le proprietà della funzione donda
contiene tutte le informazioni fisiche
(misurabili) sulla particella
se la particella esiste, la probabilità totale di
trovarla è 1
è continua (insieme alla sua derivata)
permette il calcolo del valore medio (valore di
aspettazione) di qualunque grandezza fisica
Per una particella libera è unonda piana ciò
implica un preciso valore p dellimpulso e p2/2m
dellenergia, ed una totale incertezza nella
posizione
27
Lequazione di Schrödinger
Lenergia cinetica e potenziale sono trasformate
nelloperatore Hamiltoniano, che agisce sulla
funzione donda per generarne levoluzione nello
spazio e nel tempo. Lequazione di Schrödinger
dà lenergia quantizzata del sistema (i possibili
valori di E) e la forma della funzione donda, a
partire dalla quale altre proprietà fisiche
possono essere calcolate.
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Lequazione di Schrödinger indipendente dal tempo
Per un potenziale generico U lequazione di
Schrödinger unidimensionale ed indipendente dal
tempo è
In 3 dimensioni assume la forma
per coordinate cartesiane. Può essere scritta in
modo più compatto, introducendo loperatore
Laplaciano
Lequazione di Schrodinger può quindi essere
scritta come
29
Lequazione di Schrödinger dipendente dal tempo
Lequazione di Schrödinger dipendente dal tempo,
in una dimensione spaziale, ha la forma
Per una particella libera , per la quale U(x) 0,
la funzione donda, soluzione dellequazione, può
essere scritta come unonda piana
Per altri problemi, cioè per particelle soggette
ad una forza, il potenziale non nullo rende la
soluzione più difficile. La dipendenza spaziale
della funzione donda è fissata dallequazione di
Schrödinger indipendente dal tempo mentre
levoluzione temporale da quella dipendente dal
tempo
30
I postulati della Meccanica Quantistica
1. Il postulato della Funzione dOnda
Associata ad ogni particella che si muove in un
campo di forze conservative vi è una funzione
donda, la quale determina tutte le informazioni
ottenibili sul sistema.
Ad ogni sistema fisico formato da una particella
è associata una funzione donda. Questa funzione
donda permette di ottenere tutte le informazioni
possibili sul sistema. La funzione donda può
anche essere complessa è il prodotto con la
funzione complessa coniugata che specifica la
vera probabilità fisica di trovare la particella
in un certo stato.
ampiezza di probabilità, calcolata in x ,t
probabilità di trovare la particella in x ,t
31
Probabilità in Meccanica Quantistica
La funzione donda rappresenta lampiezza di
probabilità di trovare la particella in un certo
punto dello spazio, ad un certo istante. La vera
probabilità di trovare la particella è data dal
prodotto della funzione donda (che può essere un
numero complesso) con il suo complesso coniugato
il risultato è sempre un numero reale (lanalogo
del quadrato, per una funzione complessa).
Poiché la probabilità totale di trovare la
particella da qualche parte deve essere 1, la
funzione donda deve essere normalizzata. Cioè la
somma delle probabilità, estesa a tutto lo
spazio, deve essere 1. Ciò si esprime tramite
lintegrale

Volume infinitesimo
La richiesta di avere funzioni donda
normalizzabili svolge un ruolo molto importante
nella ricerca delle soluzioni dellequazione di
Schrödinger. Ad esempio, si può trovare che solo
certi valori dellenergia permettono di ottenere
soluzioni normalizzabili.
32
2. Il postulato degli operatori associati a
grandezze fisiche
Per ogni osservabile fisica q esiste un operatore
associato Q, il quale, quando opera su una
funzione donda associata ad un valore definito
di quella osservabile, dà come risultato la
stessa funzione donda moltiplicata per quel
valore dellosservabile.
Per ogni osservabile fisica si introduce un
operatore matematico associato che agisce sulla
funzione donda, dando come risultato, in
generale, unaltra funzione. Supponiamo che la
funzione donda ?n (autofunzione) sia associata
ad un particolare valore qn (autovalore) della
osservabile e che loperatore sia indicato con Q.
Lazione delloperatore è data da
Loperatore matematico Q estrae il valore qn
dellosservabile, operando sulla funzione donda
che rappresenta quel particolare stato del
sistema. Questo processo è collegato alla teoria
della misura in Meccanica Quantistica. Ogni
funzione donda di un sistema quantistico può
essere rappresentata come una combinazione
lineare delle autofunzioni ?n (si veda il
postulato del sistema completo). Quindi
loperatore Q può essere usato per estrarre una
combinazione lineare di autovalori, ciascuno
moltiplicato per un coefficiente questo è legato
alla probabilità di ottenere come risultato della
misura proprio lautovalore corrispondente (si
veda il postulato del valore di aspettazione).
33
Operatori in Meccanica Quantistica
Associato ad ogni grandezza misurabile di un
sistema fisico vi è un operatore quantistico. In
Meccanica Quantistica si descrivono i sistemi
fisici mediante onde (la funzione donda),
piuttosto che tramite particelle il cui moto e la
cui dinamica possono essere descritti con
precisione dalle equazioni deterministiche della
Fisica di Newton. Questi operatori possono essere
rappresentati in vari modi. Alcuni sono elencati
qui di sotto.
In questa rappresentazione (detta di Schrödinger)
degli operatori, le posizioni e le loro funzioni
non cambiano, mente gli impulsi diventano
derivate rispetto alla posizione. Loperatore
dellenergia (Hamiltoniano) contiene derivate
rispetto allo spazio ed al tempo.
34
3. Il postulato e le proprietà delloperatore
Hermitiano
Ogni operatore Q associato ad una grandezza
fisica osservabile è Hermitiano
Ogni operatore quantistico Q, associato ad una
grandezza fisica reale e misurabile, deve essere
Hermitiano, cioè soddisfare la seguente proprietà
dove ?a e ?b sono funzioni arbitrarie
normalizzabili, e lintegrazione è su tutto lo
spazio. La richiesta è fisicamente necessaria,
in quanto assicura che i valori misurati (cioè
gli autovalori) siano numeri reali.
Teorema se Q è Hermitiano, allora tutti i qi
sono numeri reali
Inoltre, se Q è hermitiano, per ogni i ? j si ha
35
4. Il teorema dellinsieme completo
Linsieme delle autofunzioni di un operatore
Hermitiano Q forma un insieme completo (una base)
di funzioni linearmente indipendenti
Linsieme delle funzioni ?j, che sono
autofunzioni dellequazione agli autovalori
forma un insieme completo di funzioni linearmente
indipendenti. Esse formano una base vale a dire
che qualunque funzione donda che rappresenti il
sistema può essere scritta come combinazione
lineare delle funzioni della base
Ciò implica che qualunque funzione donda ? che
descrive il sistema fisico può essere scritta
come combinazione lineare delle autofunzioni di
qualunque osservabile fisica del sistema.
36
5. Il postulato del valore di aspettazione
Per un sistema descritto da una data funzione
donda ?, si può calcolare il valore di
aspettazione di qualunque grandezza fisica q,
alla quale è associato loperatore Q.
Per un sistema fisico descritto da una funzione
donda ?, il valore di aspettazione di una
qualunque osservabile fisica q può essere
espresso in termini del corrispondente operatore
hermitiano Q e della funzione donda, nel modo
seguente
La funzione donda deve essere normalizzata e
lintegrale è esteso a tutto lo spazio. Questo
postulato diviene intuitivo se si considera il
postulato delloperatore Hermitiano e il teorema
dellinsieme completo. La funzione donda può
essere rappresentata come una combinazione
lineare delle autofunzioni di Q, ed il risultato
dellintegrale dà la somma di tutti i possibili
valori fisici (gli autovalori di Q), ciascuno
moltiplicato per un coefficiente (una
probabilità). Lintegrale dà quindi la media
pesata di tutti i possibili valori
dellosservabile.
37
Un sistema fisico è descritto dalla funzione
donda ?, la quale può sempre essere scritta come
una combinazione lineare delle autofunzioni
delloperatore Hermitiano Q
Se uno inserisce questa espressione
nellintegrale del valore di aspettazione, trova
con la seguente interpretazione una misura di Q
per lo stato ? darà come risultato uno qualunque
dei suoi autovalori qn, ciascuno con una
probabilità cn2.
La condizione di normalizzazione della funzione
donda implica
Una misura di Q forza il sistema a diventare uno
dei possibili autostati (autofunzioni) di Q, ?n
ogni eventuale misura successiva di Q darà sempre
come risultato qn
38
6. L evoluzione temporale
Levoluzione temporale della funzione donda è
data dalla equazione di Schrödinger dipendente
dal tempo.
Se ?(x,y,z t) è la funzione donda di un sistema
fisico ad un tempo t ed il sistema è libero da
interazioni esterne al sistema, allora
levoluzione nel tempo della funzione donda è
data
dove H è loperatore Hamiltoniano formato a
partire dallespressione dellHamiltoniana
classica e sostituendo le osservabili classiche
con i corrispondenti operatori quantistici. Il
ruolo dellHamiltoniano nella dipendenza spaziale
e temporale della funzione donda è espresso
dalle equazioni di Schrödinger.
39
(No Transcript)
40
Una particella libera e lequazione di
Schrödinger
Lequazione di Schrödinger non può essere
dedotta la sua validità viene dal confronto con
i dati sperimentali. La naura ondulatoria di un
elettrone è chiaramente confermata da esperimenti
come quello di Davisson-Germer. Ciò fa sorgere la
domanda Cosa è questa natura ondulatoria?". La
risposta, a posteriori, è che questa natura
ondulatoria si manifesta attraverso la funzione
donda dellelettrone. La soluzione
dellequazione di Schrödinger per una particella
libera è unonda piana, la quale contiene la
relazione di deBroglie per limpulso e di Planck
per lenergia.
41
E più facile mostrare la relazione con
lequazione di Schrödinger scrivendo londa piana
in forma esponenziale usando la relazione di
Eulero. Questa è lespressione usuale per la
funzione donda di una particella libera.
Si può verificare che ? è autofunzione degli
operatori impulso ed energia
Il collegamento con lequazione di Schrödinger si
può fare esaminando lespressione per lenergia
per particelle e per onde (fotoni)
Assumendo lequivalenza di queste due espressioni
and inserendo I loro corrispondenti operatori
quantistici, ci porta allequazione di Shrödinger
42
Il principio di indeterminazione
La posizione e limpulso di una particella non
possono essere misurati simultaneamente con
precisione arbitraria. Il prodotto delle
incertezze delle due misure ha un minimo. Lo
stesso principio vale per la misura contemporanea
di energia e tempo.
Questo principio non riguarda il limite proprio
degli strumenti di misura, o limiti derivanti
dalla accuratezza dei metodi sperimentali. Deriva
dalle proprietà ondulatorie intrinseche alla
descrizione quantistica della natura. Anche con
strumenti e tecniche perfetti, questa incertezza
rimane, intrinseca alla natura delle cose.
43
Il principio di indeterminazione
La dualità onda-particella e la relazione di
DeBroglie aiutano a comprendere tale principio.
Man mano che si scende verso dimensioni atomiche,
non è più valido considerare una particella come
una sfera rigida, perché più piccole sono le
dimensioni e più ondosa essa diviene. Non ha
più senso dire che si conoscono precisamente la
posizione e limpulso di tale particella.
44
La definizione esatta di ?x e ?p è
45
Il confinamento di particelle
46
Calcolo della energia di confinamento
47
Latomo di idrogeno
La soluzione dellequazione di Schrödinger per
latomo di idrogeno si ottiene più facilmente
usando coordinate polari sferiche e separando le
variabili, così che la funzione donda è
rappresentata dal prodotto
La separazione conduce a tre equazioni separate
per le tre variabili spaziali, e le loro
soluzioni portano ai tre numeri quantici
associati con i livelli di energia dellatomo di
idrogeno.
48
I numeri quantici per latomo di idrogeno
La soluzione dellequazione di Schrödinger per
latomo di idrogeno richiede di imporre la
condizione che le funzioni donda siano
normalizzabili. Queste soluzioni, per le tre
funzioni separate delle tre variabili, possono
esistere soltanto se certe costanti che appaiono
nelle equazioni assumono valori interi. Ciò porta
ai numeri quantici dellatomo di idrogeno
n principal quantum number
l orbital quantum number
ml magnetic quantum number
49
Il modello vettoriale per il momento angolare
orbitale
Il momento angolare orbitale per un elettrone
atomico può essere visualizzato mediante un
modello vettoriale, nel quale il vettore momento
angolare effettua un moto di precessione intorno
ad una direzione fissa nello spazio. Mentre la
lunghezza del vettore ha il valore indicato,
solamente un massimo di l unità of h può essere
misurato lungo una certa direzione, dove l è il
numero quantico orbitale.
  
Anche se lo si definisce "vettore", il momento
angolare orbitale in Meccanica Quantistica è un
tipo speciale di vettore infatti la sua
proiezione lungo una direzione nello spazio è
quantizzata, con valori che differiscono di una
unità h. Il diagramma mostra che i possibili
valori del numero quantico magnetico" ml (for l
2), sono

50
Lo spin dellelettrone
Lo spin di un elettrone, s 1/2, è una proprietà
intrinseca degli elettroni. In aggiunta al
momento angolare orbitale gli elettroni
posseggono un momento angolare intrinseco,
caratterizzato dal numero quantico 1/2. In
analogia al momento angolare orbitale, si ha
ms ½ spin su ms ½ spin giù
I due stati di spin, su" e giù, permettono di
avere due elettroni per ogni insieme degli altri
numeri quantici
51
Il Principio di Esclusione di Pauli
Due elettroni in un atomo non possono avere gli
stessi numeri quantici. Questo è un esempio di un
principio generale che si applica non solo agli
elettroni, ma anche a tutte le altre particelle
di spin semi-intero (fermioni). Non si applica
alle particelle di spin intero (bosoni).
La natura del principio di esclusione di Pauli
può essere illustrata supponendo che gli
elettroni 1 e 2 siano negli stati a e b
rispettivamente. La funzione donda per il
sistema dei due elettroni sarebbe
Ma questa funzione donda è inaccettabile perché
gli elettroni sono identici e non distinguibili.
Ogni stato può essere occupato da uno qualunque
dei due elettroni, e, per tener conto di ciò,
dobbiamo usare una combinazione lineare delle due
possibilità..
52
La funzione donda per il sistema in cui entrambi
gli stati "a" e "b" sono occupati dagli elettroni
può essere scritta come
Il principio di esclusione di Pauli è parte di
una delle nostre più fondamentali osservazioni
della natura particelle identiche di spin
semi-intero debbono avere una funzione donda
antisimmetrica, mentre particelle identiche di
spin intero debbono avere una funzione donda
simmetrica. Il segno meno relativo tra i due
termini costringe la funzione donda dei fermioni
ad annullarsi identicamente se i due stati "a" e
"b sono identici ciò implica che è impossibile
che entrambi gli elettroni occupino lo stesso
stato.
53
Applicazioni del principio di esclusione di Pauli
54
La Tabella Periodica degli Elementi
I numeri quantici associati agli elettroni
atomici, insieme al principio di esclusione di
Pauli, forniscono le proprietà fondamentali per
la costruzione delle strutture atomiche e la
comprensione della Tabella Periodica degli
Elementi.
Per un dato numero quantico principale n, vi sono
2n2 diversi stati possibili (con la stessa
energia).
Lordine di occupazione dei livelli di energia
atomici da parte degli elettroni avviene a
partire da quelli di energia pù bassa, e prosegue
consistentemente con il principio di Pauli.
Lindicazione dei livelli segue lo schema della
notazione spettroscopica.
55
La notazione spettroscopica
Prima che la natura degli stati atomici degli
elettroni fosse chiarificata dalla Meccanica
Quantistica, lo studio degli spettri di
radiazione emessi dagli atomi (spettroscopia)
fece osservare lesistenza di serie tipiche, alle
quali furono assegnate lettere. In funzione dei
numeri quantici degli stati elettronici, la
notazione è la seguente
56
Lordine di riempimento degli stati elettronici
Man mano che la tabella periodica degli elementi
è costruita, aggiungendo elettroni fino a
raggiungere il numero atomico, sono occupati gli
stati di energia più bassa, permessi dal
principio di esclusione di Pauli. La massima
occupazione di ciascun livello è determinata dai
numeri quantici, ed il diagramma a sinistra
illustra lordine di riempimento dei livelli
energetici. Per un singolo elettrone lenergia è
determinata dal numero quantico principale n, e
quel numero quantico è usato per indicare la
"shell (guscio)" in cui si sistemano gli
elettroni. Per una data shell in atomi
multi-elettronici, gli elettroni con un numero
quantico orbitale l inferiore avranno energia più
bassa, se si tiene conto della loro energia di
interazione con gli altri elettroni. Questi
livelli di energia sono specificati dai numeri
quantici principali ed orbitali, usando le
notazioni spettroscopiche. Quando si raggiunge il
livello 4s, la dipendenza dal numero quantico
orbitale è così forte che lenergia del livello
4s è inferiore a quella del livello 3d. A parte
qualche piccola eccezione, lordine di
riempimento segue lo schema indicato nel
diagramma, con la freccia che indica i punti nei
quali si procede verso shell successiva,
piuttosto che verso il livello con un maggiore
numero quantico orbitale nella stessa shell.
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(No Transcript)
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La divisione in gusci (shells) può suggerire
lidea di un "modello planetario" per gli
elettroni anche se non è del tutto accurata,
questa descrizione ha un valore mnemonico ed
intuitivo per aiutare a comprendere la struttura
degli elementi più pesanti.
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La configurazione orbitale degli elettroni
fornisce una schema utile per capire le reazioni
chimiche, che sono guidate dal principio di
trovare le configurazioni degli elettroni con
energia più bassa (le più stabili). Si dice che
il sodio ha una valenza di 1 poiché tende a
perdere un elettrone, e il cloro ha una valenza
di -1 poiché ha la tendenza ad acquistare un
elettrone. Entrambi questi atomi sono molto
attivi chimicamente, e la loro combinazione
(cloruro di sodio) è il classico caso di un
legame ionico.
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La condensazione di Bose-Einstein
Nel1924 Einstein notò che i bosoni possono
"condensare" in numero illimitato in un singolo
stato fondamentale, in quanto obbediscono alla
statistica di Bose-Einstein e non hanno le
restrizioni derivanti dal principio di
esclusione di Pauli. Ciò fu poco notato, fino a
quando il comportamento anomalo dellelio liquido
a basse temperature fu studiato attentamente.
Quando lelio è raffreddato alla temperatura
critica di 2.17 K, avviene una impressionante
cambio nel valore della capacità termica, la
densità del liquido precipita e una parte di esso
diventa "superfluido, a zero viscosità. La
superfluidità è originata dalla frazione di atomi
di elio che sono condensati alla più bassa
energia possibile. Un effetto di condensazione
è anche ritenuto responsabile per il fenomeno
della superconduttività. Nella teoria BCS, coppie
di elettroni si uniscono per formare le
cosiddette coppie di Cooper, le quali si
comportano come bosoni e possono condensare in
uno stato di resistenza elettrica nulla.