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Programmes de maîtrise et de doctorat en
démographieModèles de risque et de duréeCours
4Séance du 31 janvier 2014
Benoît Laplante, professeur
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Les fondements de lanalyse longitudinale

• Plan

• Définitions
• La logique de la construction dune table
  dextinction
• construite à partir de micro-données
• et conçue comme un modèle statistique.
• Aperçu de la table comme modèle statistique
• Autres estimateurs de la table
• Lestimateur actuariel
• Lestimateur de Kaplan-Meier

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Définitions

• Événement
• Changement détat, passage de létat dorigine à
  un autre état.
• Épisode
• Fraction dune biographie pendant laquelle une
  unité statistique est à risque de changer détat.
• Groupe à risque
• Ensemble des unités (échantillon ou population) à
  risque de changer détat dans une analyse.
• Entrée dans le groupe à risque
• Moment où une unité devient à risque et est
  observée dans cet état au sens de lanalyse.
• Sortie du groupe à risque
• Moment où une unité cesse dêtre à fois à risque
  et dêtre observée dans cet état au sens de
  lanalyse.
• On peut sortir du groupe à risque en changeant
  détat.
• On peut sortir du groupe à risque sans changer
  détat. On peut alors entrer de nouveau dans le
  groupe à risque. On parle alors dun hiatus.

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Définitions

• Durée (plus exactement,  durée du séjour dans
  létat dorigine )
• Le temps écoulé entre le temps zéro et le moment
  où lunité statistique change détat.
•  Temps analytique 
• Laxe du temps en fonction duquel on étudie la
  distribution dun événement.
• Plus spécialement, le temps en tant quil est
  mesuré à partir du temps zéro.
• Temps zéro
• Point zéro de laxe du temps analytique.
• On nétudie habituellement la nuptialité ou la
  fécondité quà partir de lâge de 15 ans.
• On nétudie la rupture des unions quà partir du
  moment de leur formation.
• Temps à risque
• Quantité de temps pendant laquelle une unité
  statistique est à risque de changer détat. Le
  temps à risque dune unité peut être inférieur au
  temps quelle passe dans létat dorigine (p. ex.
  à cause dun hiatus ou des entrées échelonnées).
• Temps passé à risque, généralement au cours dun
  intervalle, par lensemble des unités qui forment
  le groupe à risque en ce sens, le temps à risque
  est le dénominateur dun taux.

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La logique de la construction dune table comme
modèle statistique

• Imaginons quon sintéresse à la naissance du
  premier enfant chez les femmes canadiennes et
  quon dispose des données dune enquête
  biographique, par exemple celles de lEnquête sur
  les transitions familiales de 2006.
• Règle générale, on étudiera le phénomène dans le
  sous-échantillon des femmes âgées de 15 à 80 ans
  au moment de lenquête.
• On élimine les femmes âgées de 80 ans ou plus
  parce quon ne connaît pas leur âge exact à
  lenquête (ce ne serait pas un problème dans ce
  cas-ci, mais cest la pratique).
• On étudie le phénomène jusquà lâge de 40
• On le fait habituellement jusquà 45 ou 50 ans,
  mais on se limite ici à 40 ans pour conserver la
  lisibilité du tableau.

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La logique de la construction dune table comme
modèle statistique

• Formellement, on cherche donc à connaître la
  distribution théorique de la variable aléatoire T
  à partir de sa distribution statistique dans
  léchantillon de lEnquête sur les transitions
  familiales.
• On peut interpréter la distribution de la
  variable qui nous intéresse de deux manières
• lâge de la mère à la naissance de son premier
  enfant (donc lâge de la mère au moment de
  lévénement que nous étudions) ou bien
• le nombre de premières naissances survenues au
  cours de chaque intervalle de classe de la
  variable  Âge de la mère .

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Lâge à la naissance du premier enfant Enquête
sociale générale de 2006. Femmes âgées de 15 à
80 ans au moment de lenquête
nt le nombre des femmes qui donnent naissance à leur premier enfant à lâge t
ft la proportion des femmes qui donnent naissance à leur premier enfant à lâge t
Ft la proportion des femmes qui donnent naissance à leur premier enfant au plus tard à lâge t
nt le nombre des premières naissances au cours de lintervalle t
ft la proportion des premières naissances qui surviennent au cours de lintervalle t
Ft la proportion des premières naissances survenues depuis lorigine de la table à la fin de lintervalle t
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La logique de la construction dune table comme
modèle statistique

• Aucune des deux interprétations ne permet
  darriver à la conclusion que la distribution
  statistique de la variable T représente de
  manière raisonnable la distribution théorique du
  phénomène qui nous intéresse.
• Peu importe linterprétation, la distribution ne
  contient dinformation que sur la fécondité des
  femmes qui ont eu leur premier enfant entre 15 et
  40 ans. Elle ne nous apprend rien de la fécondité
  des femmes qui nont pas eu denfant avant 40
  ans, alors que cette information est essentielle
  pour connaître la fécondité.
• On peut tenter de contourner le problème en
  ajoutant à la table les femmes qui nont pas eu
  denfant
• à lâge quelles avaient atteint au moment où on
  a cessé de les observer (c.-à-d. lâge quelles
  avaient à lenquête) ou
• à lâge au-delà duquel nous ne nous intéressons
  plus au phénomène (c.-à-d. 40 ans),
• mais cela naméliore pas la  lisibilité  du
  tableau.

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La logique de la construction dune table comme
modèle statistique
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La logique de la construction dune table comme
modèle statistique

• Pour comprendre le problème et sa solution il
  faut aborder deux questions
• les notions de troncation et de censure et
• les notions de quotient et de taux.
• Il faut également réfléchir aux mouvements de la
  population qui  perturbent  le phénomène que
  nous étudions.

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Troncation et censure

• Morice, E. 1968. Dictionnaire de statistique.
  Paris Dunod, p. 31.
• Morice, E. 1974, Diccionario de estadística.
  México CECSA.

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Troncation et censure

• La notion de troncation apparaît dans un article
  de Fisher, le père de la statistique
  mathématique, où celui-ci traite du problème de
  lestimation de la distribution théorique dune
  variable à partir dune distribution statistique
  obtenue au moyen dun tirage qui ne se fait pas
  dans toute létendue de la distribution théorique
  de la variable
• Fisher, R. A. 1931. The truncated normal
  distribution . British Association for the
  Advancement of Science, Math. Tables, I, p.
  XXXIII-XXXIV.
• La notion de censure apparaît pour la première
  fois dans un article de A. Hald qui se base sur
  larticle de Fisher
• Hald, A. 1949. Maximum likelihood estimation of
  the parameters of a normal distribution which is
  truncated at a known point . Skandinavisk
  Aktuarietidskrift , vol. 32, p. 119-132.
• Hald introduit le mécanisme quon nommera plus
  tard censure, mais nutilise que ladjectif
  censuré.

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Troncation et censure

• Censure à droite
• On sait quau moment t, lévénement ne sétait
  pas encore produit et on ne sait pas quand il se
  produira.
• Censure à gauche
• On sait quau moment t, lévénement sétait déjà
  produit, mais on ne sait pas exactement à quel
  moment.
• Censure par intervalles
• On sait que lévénement sest produit entre le
  moment t1 et le moment t2, mais on ne sait pas
  exactement à quel moment.
• Troncation à gauche
• On ne sait rien des événements qui se produisent
  avant t.
• Troncation à droite
• On ne sait rien des événements qui se produisent
  après t ou, ce qui revient au même, on ne connaît
  que les événements qui se produisent avant t.

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Troncation et censure

• Au sens de ces définitions, il est tout dabord
  évident que les deux distributions sont tronquées
  à gauche on exclut de chacune les premières
  naissances survenues avant 15 ans.
• La première distribution est construite en ne
  retenant que les femmes qui ont eu leur premier
  enfant après 15 ans et avant 40 ans, et chaque
  femme est classée à lâge où elle a eu cet
  enfant. En plus dêtre tronquée à gauche, cette
  distribution est tronquée à droite, puisquen
  plus dexclure les naissances survenues avant 15
  ans, elle exclut également les naissances
  survenues après 40 ans.
• La seconde distribution est construite en
  retenant toutes les femmes qui navaient pas eu
  leur premier avant 15 ans et en classant chaque
  femme soit à lâge où elle a eu son premier
  enfant, soit à lâge le plus élevé où elle a été
  observée sans avoir eu son premier enfant. En
  plus dêtre tronquée à gauche, cette distribution
  est censurée à droite les femmes qui nont pas
  eu leur premier enfant avant 40 ans ne sont pas
  exclues, mais sont classées à la limite
  inférieure de la portion de la distribution où se
  trouvera lâge auquel elles donneront naissance à
  leur premier enfant si elles le font. Puisque
  léchantillon est composé de femmes âgées de 15 à
  80 ans au moment de lenquête et que les femmes
  nullipares sont comptées dans la classe dâge à
  laquelle elles appartenaient au moment de
  lenquête, la distribution a autant de points de
  censure quelle a de classes dâge.

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Troncation et censure
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Troncation et censure

• Le problème se résout en construisant les
  fonctions de la distribution théorique de la
  variable T non pas à partir de sa distribution de
  fréquences comprise comme une approximation de sa
  fonction de densité, mais à partir de sa fonction
  de risque h(t), approchée par les taux tels quon
  peut les estimer pour chaque intervalle de classe
  t.

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Quotient et taux

• Au sens général, le mot  taux  désigne
  simplement le rapport de deux quantités. En
  démographie, on l'utilise pour désigner trois
  types de rapport différents 
• le rapport entre deux quantités à un moment
  donné,
• la variation relative dans le temps exprimée
  comme un rapport et
• l'intensité d'un phénomène définie comme le
  rapport entre le nombre des événements et le
  temps à risque.
• Le taux dactivité, défini comme le rapport entre
  la taille de population active et la taille de la
  population en âge de travailler, est un rapport
  entre deux quantités à un moment donné. Les taux
  de ce type peuvent généralement être interprétés
  comme des probabilités. Le taux de prévalence de
  l'épidémiologie est un taux de ce type.
• Le taux daccroissement, par exemple celui de la
  population, défini comme le rapport entre, d'une
  part, la différence entre la taille de la
  population à la fin d'une période et la taille de
  la population au début de cette période et,
  d'autre part, la taille de la population au début
  de la période, est une variation relative dans le
  temps exprimée comme un rapport.

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Quotient et taux

• Au sens général, le mot  quotient  désigne
  simplement le résultat de la division d'un nombre
  par un autre.
• En démographie, on emploie le mot  quotient 
  dans un sens spécial, et presque toujours dans
  une table dextinction, pour désigner la
  fraction, ou proportion, du groupe à risque ou de
  la population à risque au début dun intervalle
  qui change d'état au cours de cet intervalle.
• Le quotient de la table dextinction est donc
  bien un quotient au sens général, mais il est
  défini de manière plus étroite. En particulier,
  le quotient de la table dextinction est une
  fraction et non un simple rapport, ce qui
  implique notamment qu'il varie entre 0 et 1. Ceci
  implique également que le quotient peut être
  interprété comme une probabilité.

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Quotient et taux

• Le taux et le quotient sont liés par une relation
  algébrique dont lélément le plus important est
  une quantité, la fraction moyenne de lintervalle
  qui est passée à risque par les personnes qui
  changent détat au cours de cet intervalle  on
  nomme parfois cette quantité  coefficient de
  répartition , noté ici at
• qt mt / 1 (1 - at)mt
• Cette quantité peut être estimée de manière assez
  précise lorsqu'on dispose d'information
  détaillée, comme cest habituellement le cas
  lorsquon utilise les données d'une enquête.
• On doit se contenter dune approximation
  lorsquon utilise des données agrégées. On pose
  alors le plus souvent que les personnes qui
  changent détat le font au centre de
  lintervalle, ce qui revient à fixer la valeur du
  coefficient de répartition à 0,5. Cette hypothèse
  est parfois invraisemblable, par exemple
  lorsquon étudie la mortalité infantile on doit
  alors utiliser une estimation plus réaliste du
  coefficient de répartition, quon emprunte
  habituellement à une étude réalisée sur une
  population analogue.

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Quotient et taux

• Normalement, le questionnaire biographique mesure
  la durée des séjours dans létat dorigine avec
  une précision plus grande que la longueur des
  intervalles dune table.
• Cette précision permet de construire la table à
  partir des taux dont les dénominateurs le temps
  passé à risque par lensemble des individus à
  risque dans chaque intervalle sont mesurés avec
  précision.
• On trouve le temps total passé à risque au cours
  de chaque intervalle dans la colonne rt du
  tableau 3.
• Le taux est obtenu tout simplement en divisant le
  nombre des événements survenus au cours de
  lintervalle par la quantité de temps passé à
  risque au cours de cet intervalle par lensemble
  des individus qui y ont été à risque. On se sert
  directement des taux pour calculer la fonction de
  risque cumulé H(t).

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Mouvements de la population qui affectent la
composition du groupe à risque
23
La logique de la construction dune table comme
modèle statistique
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Aperçu formel de la table comme modèle statistique
T le temps, entendu comme variable
t le temps correspondant à la fin dun intervalle c.-à-d. la valeur de T à la fin de cet intervalle
n la taille dun échantillon ou dun sous-échantillon
ndt le nombre des unités à risque au début de lintervalle t
nrt le nombre des unités qui cessent dêtre à risque (ou qui sortent du groupe à risque) sans changer détat au cours de lintervalle t (les retraits)
nat le nombre des unités qui deviennent à risque (ou qui entrent dans le groupe à risque) au cours de lintervalle t (les ajouts)
nt le nombre des unités à risque durant lintervalle t (le groupe à risque)
rt le temps total passé à risque par les unités à risque durant lintervalle t, exprimé en utilisant la longueur de lintervalle comme unité de temps (temps à risque ou temps dexposition au risque)
dt le nombre des unités qui changent détat au cours de lintervalle t (événements, décès, bris)
ht le taux, qui régit le changement au cours de lintervalle t et qui nest pas une proportion
ft la proportion de la population théorique qui change détat au cours de lintervalle t
St la proportion de la population théorique qui na pas changé détat depuis lorigine à la fin de lintervalle t
Ft la proportion de la population théorique qui a changé détat depuis lorigine à la fin de lintervalle t.
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Le calcul des quantités dune table dextinction

• à partir des données, c.-à-d. des événements et
  du temps à risque

• Le risque
• Le séjour
• Les fréquences
• Les fréquences cumulées
• Le risque cumulé

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Les fonctions dune loi de probabilité
h(t) la fonction de risque (ou quotient instantané, ou risque instantané ou, parfois, taux instantané) qui associe une valeur ht à chaque valeur de la variable T,
S(t) la fonction de séjour, qui associe une valeur St à chaque valeur de la variable T,
f(t) la fonction de densité de probabilité, qui associe une valeur ft à chaque valeur de la variable T,
F(t) la fonction de répartition de probabilité, qui associe une valeur Ft à chaque valeur de la variable T,
H(t) la fonction de risque cumulé, qui associe une valeur Ht à chaque valeur de la variable T.
27
Les fonctions dune loi de probabilité
Français Anglais Espagnol
Fonction de densité de probabilité Probability density function (p.d.f.) Función de densidad de probabilidad
Fonction de répartition de probabilité Probability distribution function (Cumulated density function, c.d.f.) Función de distribución de probabilidad
Fonction de survie ou Fonction de séjour Survival function Función de supervivencia
Fonction de risque (Fonction dintensité) Hazard function (Intensity function) Función de riesgo (Función de intensidad)
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Vocabulaire
Français Anglais Espagnol
Loi de probabilité Distribution théorique Statistical distribution Ley de probabilidad Distribución teórica
Distribution statistique
Fonction de répartition de probabilité Probability distribution function Función de repartición

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Les fonctions dune loi de probabilité
Fonction de risque
Fonction de séjour
Fonction de densité
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Les fonctions dune loi de probabilité
Fonction de répartition
31
Les fonctions dune loi de probabilité
Les fonctions de séjour, de densité et de
répartition exprimées à partir de la fonction de
risque.
32
Les fonctions dune loi de probabilité
La fonction de risque exprimée à partir de la
fonction de densité puis de la fonction de
séjour ou le risque exprimé à partir de la
densité puis de la survie.
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Les fonctions dune loi statistique
Le risque cumulé ou quotient cumulé. Le risque
est un taux lISF est donc un risque cumulé.
Note on a utilisé ici k plutôt que t. Cest
affaire de convention. On utilise généralement k
pour indiquer quon utilise des classes, et t
lorsquon nen utilise pas ou quon ne souhaite
pas marquer la différence.
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Les fonctions dune distribution

• À strictement parler, ce que nous venons de voir
  est exact
• lorsque T est une variable continue traitée en
  continu et
• lorsque T est une variable discrète traitée comme
  telle.
• Ce que nous venons de voir nest pas tout à fait
  exact lorsque T est une variable continue traitée
  en  discontinu , p. ex. dans une table où les
  valeurs de T sont regroupées en classes dâge.
• Dans ce cas, il est plus  juste  décrire que
• et cela serait conforme à la manière habituelle
  de calculer une table.
• On ne le fait pas dans le contexte où nous sommes
  pour plusieurs raisons.

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Les fonctions dune distribution

• La théorie qui traite des modèles statistiques
  utilisés en analyse des biographies ne raisonne
  que sur les intervalles infinitésimaux, même pour
  le cas  discret , et ignore ou contourne les
  particularités du regroupement en classes qui est
  à la base de la table dextinction, notamment
  celle qui force à distinguer le quotient du taux.
  Il ny a donc pas de définition stricte de la
  fonction de risque pour la table dextinction.
• Si on estime certaines des fonctions (p. ex. le
  séjour) à partir du quotient et dautres à partir
  du taux (p. ex. le risque cumulé), les relations
  entre les fonctions disparaissent.
• Les modèles statistiques ignorent tous la
  distinction entre le quotient et le taux, même
  ceux où le temps est regroupé en classes.
• La microsimulation regroupe presque toujours le
  temps en classes et nutilise que les taux.

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Autres estimateurs de la table

• Lestimateur dit  actuariel 

• On y calcule les taux en remplaçant le temps à
  risque calculé exactement par une approximation
  basée
• sur le nombre des unités à risque et
• lhypothèse que les unités qui ne sont pas à
  risque durant tout lintervalle le sont
  exactement durant la moitié de lintervalle.
• Le dénominateur du taux est alors la somme
• du nombre des unités à risque au début de
  lintervalle encore à risque à la fin de
  lintervalle,
• de la moitié du nombre des unités qui entrent
  dans le groupe à risque au cours de lintervalle,
  
• de la moitié du nombre des unités qui sortent du
  groupe à risque sans changer détat au cours de
  lintervalle et
• du nombre des unités qui changent détat au cours
  de lintervalle.
• Compter ainsi les unités qui changent détat au
  cours de lintervalle est incohérent et
  sous-estime le taux, mais impose quil ne dépasse
  jamais un, ce qui permet de le traiter comme une
  proportion alors quil nen est pas une.

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Autres estimateurs de la table
38
Autres estimateurs de la table

• Lestimateur de Kaplan-Meier

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Autres estimateurs de la table

• Lestimateur de Kaplan-Meier

• Il tire son nom français du nom des deux auteurs
  qui ont écrit un article dans lequel ils en
  étudient les propriétés statistiques et montrent
  quil a les propriétés dun estimateur au sens de
  la théorie du maximum de vraisemblance.
• Il achève un intervalle à la survenue de chaque
  événement (dans léchantillon).
• Il tient compte de lordre des événements (et des
  intervalles), mais pas de leur durée.
• En principe, il nadmet quun événement par
  intervalle, qui survient à fin de celui-ci.
• Il estime la survie à la fin de chaque intervalle
  (qui est une probabilité), mais ne permet pas
  destimer le risque (qui exige quon tienne
  compte du temps passé à risque).

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Autres estimateurs de la table

• Lestimateur de Kaplan-Meier

• Le dénominateur de ce qui tient lieu de taux est
  le nombre des unités à risque au début de
  lintervalle.
• Ceci sous-estime le taux.
• Lestimateur de Kaplan-Meier est un modèle
  statistique non paramétrique.
• Paradoxalement, il repose sur un raisonnement où
  le temps est pensé en continu.

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Petite annexesur la troncation et la censure
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Interprétation erronée de la troncation et de la
censure

• Tuma, Nancy Brandon. 1982. Nonparametric and
  Partially Parametric Approaches to Event-History
  Analysis . Sociological Methodology, 13, p.
  1-60.

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Interprétation erronée de la troncation et de la
censure
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Interprétation erronée de la troncation et de la
censure

• Tuma, N. B. et M. Hannan. 1984. Social Dynamics.
  Models and methods. Orlando FL Academic Press.

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Interprétation erronée de la troncation et de la
censure

• Kendall, M. G. et W. R. Buckland. 1960. A
  Dictionary of statistical terms, 2nd edition. New
  York NY Hafner Publishing Co.

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Interprétation erronée de la troncation et de la
censure

• Linterprétation erronée repose sur plusieurs
  confusions

• On comprend que léchantillon dont il est
  question dans la définition de Kendall et
  Buckland est un échantillon dunités statistiques
  tirée dune population finie alors que les
  notions de troncation et de censure ont été
  introduites en statistique mathématique en
  raisonnant sur un échantillon de valeurs tiré
  dune population théorique.
• On ne comprend pas que les mécanismes de censure
  et de troncation sont propres à chacun des
  tirages faits dans la distribution théorique. On
  imagine quils sont une propriété du plan de
  sondage ou du  plan dobservation , qui ne sont
  définis que pour un échantillon tiré dune
  population finie..
• On imagine que les unités statistiques dont on
  peut tirer un échantillon dune population finie
  sont des biographies alors que ce sont des
  personnes.
• On représente ces biographies au moyen dune
  ligne comme dans un diagramme de Lexis, ce qui
  conduit notamment à nommer censure à gauche ce
  qui est en fait lentrée échelonnée.

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La confusion est encore plus grande en français