C

1
CÁLCULO LAMBDA

• Base da programação funcional e um modelo
  alternativo de computabilidade.
• Inventor Alonzo Church

2
Modelos de Computabilidade

• Máquina de Turing (Alain Turing- 1936)
• Lambda cálculo (Alonzo Church - 1936)
• Linguagens While (Michael Arbib-1982)
• Alan Turing provou em 1937 a equivalência entre
  uma Máquina de Turing e o Cálculo Lambda em
  termos de computabilidade

3
A. Church, Washington1903

• Doutor pela Universidade de Princepton. Após seu
  doutoramento foi para Harvard trabalhar com
  Birkhoff e Huntington. E foi nesta época em que
  Birkhoff e ele tiveram discussões que resultaram
  na Teoria das Categorias como a conhecemos hoje.
  Trabalhou até 1990 quando com oitenta e sete
  anos parou de dar aulas mas continuou a orientar
  alguns pesquisadores selecionados, Turing tendo
  sido um de seus doutorandos.

4
Programaçãp Funcional (1/2)

• A maioria das Linguagens de Programação Funcional
  são semelhantes e diferem somente em aspectos
  sintáticos. O Cálculo lambda pode ser considerado
  como a ferramenta mais adequada a escrever
  programas usando o paradigma funcional. Neste
  paradigma, em que a solução de um problema é
  considerada como sendo implementar uma função,
  usa nesta implementação um conjunto de primitivas
  e regras de construir novas funções a partir
  destas primitivas.

5
Programação Funcional (2/2)

• Interessantes pela sua simplicidade sintática
• Facilidade de escrever problemas recursivos.
• Maioria das implementações são poucos aceitas
  devido à ineficiência em comparação com
  linguagens de programação comuns.
• Novas implementações de interpretadores e/ou
  compiladores e novas linguagens mais modernas tem
  surgido.

6
Exemplos de Linguagens Funcionais

• - LISP (LISt Processing - década de 60). Muito
  simples em muitos aspectos. É a mais utilizada
  devendo continuar por muito tempo.
• - Miranda (Turner 1985)
• - Haskell (1990)
• - Orwell (Wadler 1985)
• - Outras ML, KRC, LML, SASL.

7
Sintaxe do Cálculo Lambda

• O cálculo lambda pode ter sua sintaxe definida
  como um sistema formal.

8
Termos do Cálculo Lambda

• A linguagem do cálculo lambda usa um alfabeto S
  constituído de
• - um conjunto de variáveis vo, v1, v2,....vn....
• - abstrator l (lambda)
• - agrupadores (,)
• Ao conjunto de cadeias finitas sobre S denota-se
  por S e a cadeia que não contem elementos por e.
  Usam-se as variáveis x, y, z, ... para denotar
  cadeias de S

9
Cadeias de Símbolos definições

• Definição (Equivalência de duas cadeias)
• Duas cadeias x e y são equivalentes e se escreve
  (x,y) ? Eq ? x y
• Definição (Comprimento de uma cadeia)
• É uma função
• ? S ? Z
• em que o número inteiro exprime o número de
  elementos da cadeia.

10
Termo Lambda definição

• Um termo lambda, denotado pelas letras M, N, O,
  P,.. é um elemento da linguagem L, onde S  ? L
  definido da seguinte forma
• - vi é termo lambda
• - dado M, (lvi M) é termo lambda
• - dados dois termos lambda M, N então (MN) é
  termo lambda
• - e nada mais é termo lambda.

11
Exemplos de Termos lambda

• Verificar quais das expressões abaixo são termos
  lambda, justificando sua resposta
• vo
• (vov1)
• (vo)
• (lvo(vov1))
• (lv1(vo(lv1(vov1))))
• (lvo(vov1)

12
Notacão Lambda Simplificada

• 1-Precedência a esquerda. ((MN)L) ? MNL
• 2-Sucessão de abstratores
• Assim (lx(ly(lz........))) ? lxyz...
• 3-Separador usa-se um ponto para designar o
  final de uma lista de argumentos lambda
• Assim lx.xly.y ? (lx(x(ly.y)))
• 4-Supõe-se que letras diferentes designam
  entidades diferentes.
• Assim x ¹ y em lx.y

13
Semântica Operacional do Cálculo l

• Até agora foi descrita a sintaxe do cálculo-l.
  Sua semântica operacional diz como um programa
  Lambda opera, isto é, calcula.

14
O Porque da Semântica

• Para chamá-lo de "cálculo'', deve-se porém dizer
  como "calcular'' com ele. Basicamente isto é
  realizado através de três regras de conversão,
  que descrevem como converter uma expressão-l em
  outra que lhe seja equivalente.
• Mostra também como se introduzem os argumentos a
  serem usados como dados do programa.

15
Programa Lambda

• Um programa Lambda se escreve como um conjunto de
  expressões lambda. Normalmente, usando notação
  simplificada encontra-se o símbolo lambda seguido
  de lista de variáveis. limitando estas variáveis
  vem um ponto ".'' seguido pelo corpo da função.
  As variáveis são chamadas de parâmetros formais e
  diz-se que o lambda os liga. Exemplo
• ?xy.( x y)

16
Programa Lambda

• Os dados são escritos logo depois da função
  lambda, como uma lista e são consumidos durante a
  operação do programa.
• Exemplos
• gt (?xy. (y x)) dia bom
• gt (?xy. ( x y)) 3 6
• gt (?xy. (x y z)) 3 1 4 5

17
Executar Programa Lambda

• Para executar um programa lambda é suficiente dar
  valores às variáveis lambda. Assim tem-se
• ?xy.( x y) 3 4
• ?y.( 3 y) 4
• ( 3 4)
• 7
• Nota geralmente operadores são pré-fxados. Isto
  na realidade é uma conversão de uma expressão em
  uma mais simples. Há 3 tipos de conversão.

18
Funções embutidas

• Funções embutidas como não existem no cálculo
  lambda na sua forma mais pura. Para fins
  práticos, uma extensão que as suporte é útil.
  Estas incluem funções aritméticas (como , -, ,
  /), constantes (como 0, 1,...), funções lógicas
  (como E, OU, NÃO,...), constantes lógicas
  (VERDADE, FALSO), manipulação de listas
  (PRIMEIRO, CAUDA, CONSTRUA, IGUAL) e
  reconhecedoras de listas (ATOM).

19
Avaliação de programa lambda

• A avaliação ocorre através da seleção repetida de
  uma expressão redutível (redex) e de sua redução.
  Expressão redutível é aquela que pode ser
  avaliada imediatamente. No exemplo
• ( ( 5 6) ( 8 3))
• Que são ( 5 6) e ( 8 3)
• A escolha do primeiro redex para redução
  fornece
• ( ( 5 6) ( 8 3)) -gt ( 30 ( 8 3))
• Do qual resulta ( 30 24) -gt 54

20
Regras de Conversão

• Introdução à ?-conversão Variáveis atadas e
  livres
• Conversão-Alfa (?)
• Conversão-Beta (ß)
• Conversão-Eta (?)
• Provas de Interconvertibilidade

21
Variáveis atadas e livres(1/2)

• Seja a expressão-l (lx. x y) 4
• Para avaliar esta expressão é necessário
• saber o valor "global'' de y.
• não é necessário saber o valor global de x, pois
  é o parâmetro formal da função.
• x ocorre atado pelo lx, y não é atado por nenhum
  e assim ocorre livre na expressão.

22
Variáveis atadas e livres (2/2)

• .A ocorrência de uma variável é atada se há uma
  expressão-l envolvente que a amarra, senão é
  livre.
• No exemplo a seguir, x e y ocorrem atados, z
  porém, ocorre livre
• lx. ((ly. y z) 7) x
• Observe que os termos atado e livre se referem a
  ocorrências específicas da variável em uma
  expressão. Note ainda que x é atado mas não
  sabe-se seu valor para calcular a expressão-l.

23
Conversão Alfa

• Usa a a-congruência duas expressões-l M e N são
  a-congruentes (ou a-equivalentes), denotado por M
  ? N se ou
• M N ou
• M?N, ou
• N é obtido de M através da reposição de uma
  sub-expressão S de M por uma expressão-l T tal
  que S ? T, ou existe alguma expressão-l, R tal
  que M ? R e R ? N.

24
Conversão Alfa exemplos

• Exemplo 1
• Nomes de parâmetros
• formais podem não ser
• únicos
• (lx.( lx. (- x 1)) x 3) 9
• (lx. (- x 1)) 9 3
• (- 9 1) 3
• 11

• Exemplo 2
• (lxy. x ((lx.- x 3) y)) 5 6
• (ly. 5 ((lx.- x 3) y)) 6
• 5 ((lx.- x 3) 6)
• 5 (- 6 3)
• 8

25
Conversão Alfa exemplos

• Exemplo 3
• (lx. (ly. - y x)) 4 5
• (ly. - y 4) 5
• - 5 4
• 1

• Exemplo 4
• Crie um exemplo semelhante aos 3 anteriores.

26
Conversão beta

• Conversão beta consiste na substituição de uma
  variável ligada pelo valor que foi justaposto a
  definição da função.
• Exemplo (lx. x 1) 4
• 4 1
• 5

27
Conversão Beta

• Pode não haver ocorrências do parâmetro formal no
  corpo. Ex
• (lx. 3) 5 3
• Nada a converter!

• O parâmetro formal pode ocorrer várias vezes no
  corpo
• (lx. x x) 5
• 5 5
• 10

Uma variável pode possuir tanto uma ocorrência
atada como uma livre em uma expressão. Considere
o exemplo x ((lx. x 1) 4) Aqui x ocorre
livre (a primeira vez) e atada (a segunda).
28
Conversão eta

• Sejam (lx. 1 x) e ( 1). Estas expressões se
  comportam exatamente da mesma maneira, quando
  aplicadas a um argumento ambas adicionam 1 ao
  argumento. Conversão-z é o nome dado à regra que
  expressa essa equivalência. Assim (lx. 1 x)
  -gt ( 1)
• Formalmente (lx. F x) -gt F
• desde que x não ocorra livre em F e F denote
  uma função.

29
Conversão eta

• A condição de que x não deve ocorrer livre em
  em F previne conversões errôneas. Exemplo
• (lx. x x) não é e-conversível para ( x)
• pois x ocorre livre em ( x).
• Os dois x são ligados. Assim
• (lx. x x) 5 ? ( 5 5) ? 10

30
Teorremas de Church-Rosser
31
Teoremas de Church-Rosser
32
Teoremas de Church-Rosser
33
Funções Recursivas

• No Cálculo lambda as funções não tem nomes.
• Cálculo lambda é a base da programação funcional.
• Um dos mecanismos mais importantes usados em
  programação funcional é a recursividade.
• Recursividade exige que se nomeie funções para
  que possam ser referenciadas.
• E agora? (Fico vermelho de vergonha!)

34
Recursividade exemplo introdutório

• Suponha existir a primitiva SE com duas direções
  e seja a abstração
• (?xn. SE ( n 0) (1) ( n x (-n 1)))
• Vamos dar o nome de FAC à aplicação desta
  abstração à FAC tem-se
• FAC (?xn. SE ( n 0) (1) ( n x (-n 1))) FAC
• (?n. SE ( n 0) (1) ( n FAC (-n 1)))
• Que é a definição recursiva desejada.

35
Transformação ? ao inverso

• Se já fosse disponível a definição recursiva
• Seja F (?x . F.)
• Usando Transformação ? ao contrário
• F (?f (?x . f.))F
• Ou F H F onde H (?f (?x . f.))
• F é dito ponto fixo de H

36
Combinador de Ponto Fixo

• Para isto, invente-se, a título provisório, uma
  função Y, a qual toma uma função como argumento e
  devolve o seu ponto fixo como resultado. Logo
  será YH F
• Substituindo F por YH em F H F tem-se
• YH H (YH)
• Esta é uma definição não recursiva de F!

37
Exercício Fac 1

• FAT Y H onde
• H (?fat. ? n. SE ( n 0) 1 ( n (fat (- n 1))))
  
• Assim FAT 1
• Y H 1
• H (Y H) 1
• (?fat. ?n.SE ( n 0) 1 ( n (fat (- n 1))))(Y H)
  1
• (? n.SE ( n 0) 1 ( n (Y H (- n 1)))) 1
• SE ( 1 0) 1 ( 1 (Y H (- 1 1)))
• 1 (Y H 0) 1 (H (Y H) 0)
• 1 ((?fat.?n.SE ( n 0)1( n(fat(- n 1))))(Y
  H) 0)
• 1 ((?n.SE ( n 0) 1 ( n (Y H (- n 1)))) 0)
• 1 (SE ( 0 0) 1 ( n (Y H(- 0 1))))
• 1

38
Exercícios (Redução)
39
Exercícios (Recursividade)
40
E se estas coisas fossem usadas em uma linguagem
real?

• Esta linguagem existe e é LISP!
• LISP é linguagem velha tem 40 anos...
• Mas LISP se mantem jóvem pois LISP é estensível,
  suporta programação objeto e icônica!

41
Noções de lisp

• Lisp LISp Processing

42
Qual a razão de conhecer LISP?

• Segundo McDermot e Charniac a razão ér a mesma de
  aprender francês se vai estudar na França é a
  lingua natural falada pelos franceses!
• Será isto ainda verdade?
• Nem tanto, mas...
• Será a Programação Funcional?

43
Razões para usar LISP (1/4)

• LISP é uma linguagem funcional pobre, mas raros
  são os profissionais de IA que escolhem LISP por
  suas características funcionais. Exatamente por
  esta razão ela é pobre em termos funcionais
  juntam-se outras facilidades que mascaram o
  estilo funcional puro!

44
Razões para usar LISP (2/4)

• LISP é estensível e se não se gosta de um
  interface oferecido é fácil criar outro.
• LISP tem programa e dados com a mesma estrutura
  de dados listas. Logo, um programa pode
  facilmente ler a ele mesmo, modificar-se durante
  a execução e continuar funcionando modificado sem
  interrupção isto é, torna-se fácil implementar
  algoritmos de aprendizado.

45
Razões para usar LISP (3/4)

• Estruturas de dados são facilmente manipuladas em
  LISP.
• Por exemplo
• A pilha é a própria lista
• Existem primitivas para ler, juntar novo elemento
  na pilha, etc.
• Árvores são implementadas como listas de listas.,
  s3endo fácil percorrê-las e modificá-las.

46
Razões para usar LISP (4/4)

• É fácil aprender LISP e seu aprendizado ajuda a
  desenvolver capacidades mentais. Foi exatamente
  acreditando nisto que Papert, criou no MIT a
  linguagem LOGO, subconjunto de LISP, com ênfase
  gráfica, para uso do aprendizado de crianças. As
  experiências tem sido animadoras.
• E como nasceu esta linguagem?

47
Lisp Nota histórica (1/3)

• John McCarthy vinha trabalhando há anos em uma
  linguagem que fosse, como provado por Turing,
  equivalente à sua máquina. Em 1960, dando aula no
  MIT demonstrou que a função eval era capaz de
  simular a máquina de Turing, resultado teórico de
  grande valor.

48
Lisp Nota histórica (2/3)

• Um dos alunos de John McCarthy, Steve Russel
  comentou sendo verdade este teorema, basta
  implementar eval e teremos a Máquina de
  Turing, ao que McCarthy contestou Não confunda
  teoria com prática, este é um resultado teórico,
  para ter valor prático tem de percorrer um longo
  caminho.

49
Lisp Nota histórica (3/3)

• Russel não se satisfez. Implementou eval e
  algumas outras funções em Máquina IBM704,
  apresentou seu trabalho e assim nasceu Lisp,
  linguagem fruto do espírito prático de aluno com
  grande conhecimento teórico. Guarda ainda hoje
  lembranças do passado
• car contents of address register
• cdr contents of decrement register
• Símbolos do assembler do IBM704.

50
Sintaxe de Lisp

• Vocabulário de Lisp
• Atomos elementos indivisíveis, podendo ser
• Números ex 1, 13, 15, -.35, etc.
• Identificadores sequencias de letras e números
  ex Lisa, Jane1, fibo, etc.
• Identificadores reservados , -, /, , car, cdr,
  etc.
• Delimitadores (,)

51
Sintaxe de Lisp

• Linguagem Lisp
• Lisp atom lista
• Atom identificador identificador reservado
  número
• Lista (atom) (atom lista)

52
Lisp Puro

• Lisp Puro contem as seguintes funções primitivas
• Car primeiro elemento de uma lista
• Cdr o que sobra de uma lista tirando o 1º
  elemento
• Cons constroi lista dado um elemento e uma
  lista
• Eql retorna T se os dois elementos que se seguem
  são iguais, NIL no caso contrario
• Atom retorna T se elemento que o segue é
  atomico, NIL em caso contrário.

53
Semantica operacional de Lisp Puro

• Seletores car, cdr
• gt (car (a d f))
• gt A
• gt (cdr (a s d f g))
• gt (s d f g)
• Construtor
• gt (cons a (s d f g))
• gt (a s d f g)

• Predicado atômico
• gt (atom jane)
• gt T
• gt (atom (a s d f g))
• gt NIL
• Predicado egalitário
• gt (eql casa casa)
• gt T
• gt (eql 10 20)
• gt NIL

54
Assignação e valor de atomo

• (set a 10)
• A
• (setq b 20)
• B
• B
• 20
• B
• B
• (atom b)
• T
• (atom b)
• T

• (setq c (a s d))
• C
• C
• (a s d)
• (car c)
• A
• (cdr c)
• (s d)
• (atom c)
• NIL
• (atom c)
• T

55
Manipulação de listas exemplos

• (setq v (e i o u))
• V
• (cons a v)
• (a e i o u)
• (car (q w e r t))
• Q
• (cdr (q w e r t))
• (w e r t)
• (cdr (car v))
• nil

• (car (cdr (cdr (a s d f g))))
• D
• (caddr (a s d f g))
• D
• (atom v)
• Nil
• (eql v v)
• T
• (eql v v)
• nil

56
Operações aritméticas

• ( 2 3 4 5)
• 14
• (1 2)
• 3
• (2 3)
• 6
• ( 2 3 4 )
• 24

• ( ( 2 3) ( 1 2 3))
• 30
• ( 2 ( 5 6 3) 2)
• 360
• e assim não é preciso chamar a calculadora do
  computador...

57
Novas Funções

• (defun nome-da-função (variáveis ligadas)
• (corpo da definição))
• Corpos
• Cond
• Program
• if

58
Exemplos de novas funções

• Encontra o segundo elemento de uma lista
• (defun segundo (lista)
• (cadr lista))
• Calcula o fatorial de um número
• (defun fat (n)
• (cond (( gt n 0) (Numero negativo não tem
  fatorial))
• (( n 0) 1)
• (( n 1) 1)
• (T (fat (- n 1)))))

59

• Lê uma lista até um elemento dado retornando o
  que sobra
• (defun resto (lista elemento)
• (cond ((eql (car lista) elemento) cdr lista)
• (T (resto ((cdr lista) elemento )))))

60
Exercícios

• Escreva 2 funções Lisp para juntar novos
  telefones e consultar uma lista de nomes e de
  telefones.
• Sugestão use como estrutura de dados uma lista
  de pares, (nome telefone)

• Sabendo que sua verão de Lisp usa gt e lt para
  ordem alfabética, escreva função Lisp para
  colocar em ordem um lista de nomes.
• E se fosse a lista de endereços do exercício
  anterior?

61
Que faço com isso tudo?

• Não!
• Não jogue o pobre cálculo ? no lixo!
• Ele é a base das linguagens funcionais e de Lisp,
  que apesar de todas as suas impurezas vale o
  estudo!

Jogou!