And-Tree Search Modeling Example [Model Elimination]

1
And-Tree Search Modeling ExampleModel
Elimination

• M. Reza Zakerinasab
• mrzakeri_at_ucalgary.ca
• Please include CPSC433 in the subject line of
  any emails regarding this course.
• Slides originally created by Andrew M Kuipers.

2
The Formal Model

• C the set of all clauses (our formal language)
• Prob?,me ? 2C (me stands for model
  elimination)
• Solution Definition
• Erw?,me((pr, ?), (pr, yes))
• if P,?P?pr, where ? mgu(P,P)
• Branching Definition
• Erw?,me((pr ? L1??Ln,?),
• (pr ? L1??Ln,?,(pr ?L1??Ln,L1),,(pr
  ?L1??Ln,Ln)))
• if for some i, Erw?,me((pr ? L1??Ln,Li,?),
  (pr ? L1??Ln,Li,yes))

3
A Propositional Example
1) r ? p ? s 2) s ? q 3) ?p ? s 4) ?s 5) ?s ?
p 6) p ? ?r
,?
What ,? Means?
4
A Propositional Example
1) r ? p ? s 2) s ? q 3) ?p ? s 4) ?s 5) ?s ?
p 6) p ? ?r
,?
What ,? Means? We want to see if is a
consequence of our set of formulas. Think about
its meaning!
5
A Propositional Example
1) r ? p ? s 2) s ? q 3) ?p ? s 4) ?s 5) ?s ?
p 6) p ? ?r
,?
3
?p,?
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6
A Propositional Example
1) r ? p ? s 2) s ? q 3) ?p ? s 4) ?s 5) ?s ?
p 6) p ? ?r
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3
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6
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A Propositional Example
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3
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6
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A Propositional Example
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3
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A Propositional Example
1) r ? p ? s 2) s ? q 3) ?p ? s 4) ?s 5) ?s ?
p 6) p ? ?r
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A Propositional Example
1) r ? p ? s 2) s ? q 3) ?p ? s 4) ?s 5) ?s ?
p 6) p ? ?r
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1
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?p,?r,p,?
?p,?r,s,?
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A Propositional Example
1) r ? p ? s 2) s ? q 3) ?p ? s 4) ?s 5) ?s ?
p 6) p ? ?r
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3
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A Propositional Example
1) r ? p ? s 2) s ? q 3) ?p ? s 4) ?s 5) ?s ?
p 6) p ? ?r
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3
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1
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?p,?r,p,y
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A Propositional Example
1) r ? p ? s 2) s ? q 3) ?p ? s 4) ?s 5) ?s ?
p 6) p ? ?r
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3
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1
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4
?p,?r,s,?s,?
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A Propositional Example
1) r ? p ? s 2) s ? q 3) ?p ? s 4) ?s 5) ?s ?
p 6) p ? ?r
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3
?p,?
s,?
4
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1
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?p,?r,p,y
?p,?r,s,?
4
?p,?r,s,?s,y
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A First-Order Example
1) ?P(x) ? ?Q(y) ? ?R(x) 2) P(a) 3) P(z) ?
?Q(z) 4) Q(a) 5) Q(b) 6) R(b)

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A First-Order Example
1) ?P(x) ? ?Q(y) ? ?R(x) 2) P(a) 3) P(z) ?
?Q(z) 4) Q(a) 5) Q(b) 6) R(b)

3
P(z),?
?Q(z),?

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A First-Order Example
1) ?P(x) ? ?Q(y) ? ?R(x) 2) P(a) 3) P(z) ?
?Q(z) 4) Q(a) 5) Q(b) 6) R(b)

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P(z),?
?Q(z),?
1
P(z),?P(x),?
P(z),?Q(y),?
P(z),?R(x),?

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A First-Order Example
1) ?P(x) ? ?Q(y) ? ?R(x) 2) P(a) 3) P(z) ?
?Q(z) 4) Q(a) 5) Q(b) 6) R(b)

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P(z),?
?Q(z),?
1
P(z),?P(x),y
P(z),?Q(y),?
P(z),?R(x),?

• z ? x

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A First-Order Example
1) ?P(x) ? ?Q(y) ? ?R(x) 2) P(a) 3) P(z) ?
?Q(z) 4) Q(a) 5) Q(b) 6) R(b)

3
P(z),?
?Q(z),?
1
P(z),?P(x),y
P(z),?Q(y),?
P(z),?R(x),?
5

• z ? x

P(z),?Q(y),Q(b),?
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A First-Order Example
1) ?P(x) ? ?Q(y) ? ?R(x) 2) P(a) 3) P(z) ?
?Q(z) 4) Q(a) 5) Q(b) 6) R(b)

3
P(z),?
?Q(z),?
1
P(z),?P(x),y
P(z),?Q(y),?
P(z),?R(x),?
5

• z ? x,
• y ? b

P(z),?Q(y),Q(b),y
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A First-Order Example
1) ?P(x) ? ?Q(y) ? ?R(x) 2) P(a) 3) P(z) ?
?Q(z) 4) Q(a) 5) Q(b) 6) R(b)

3
P(z),?
?Q(z),?
1
P(z),?P(x),y
P(z),?Q(y),?
P(z),?R(x),?
6
5

• z ? x,
• y ? b

P(z),?Q(y),Q(b),y
P(z),?R(x),R(b),?
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A First-Order Example
1) ?P(x) ? ?Q(y) ? ?R(x) 2) P(a) 3) P(z) ?
?Q(z) 4) Q(a) 5) Q(b) 6) R(b)

3
P(z),?
?Q(z),?
1
P(z),?P(x),y
P(z),?Q(y),?
P(z),?R(x),?
6
5

• z ? x,
• y ? b,
• x ? b

P(z),?Q(y),Q(b),y
P(z),?R(x),R(b),y
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A First-Order Example
1) ?P(x) ? ?Q(y) ? ?R(x) 2) P(a) 3) P(z) ?
?Q(z) 4) Q(a) 5) Q(b) 6) R(b)

3
P(z),?
?Q(z),?
1
5
P(z),?P(x),y
P(z),?Q(y),?
P(z),?R(x),?
?Q(z),Q(b),?
6
5

• z ? x,
• y ? b,
• x ? b

P(z),?Q(y),Q(b),y
P(z),?R(x),R(b),y
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A First-Order Example
1) ?P(x) ? ?Q(y) ? ?R(x) 2) P(a) 3) P(z) ?
?Q(z) 4) Q(a) 5) Q(b) 6) R(b)

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P(z),?
?Q(z),?
5
1
P(z),?P(x),y
P(z),?Q(y),?
P(z),?R(x),?
?Q(z),Q(b),y
6
5

• z ? x,
• y ? b,
• x ? b

P(z),?Q(y),Q(b),y
P(z),?R(x),R(b),y
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A First-Order Example
1) ?P(x) ? ?Q(y) ? ?R(x) 2) P(a) 3) P(z) ?
?Q(z) 4) Q(a) 5) Q(b) 6) R(b)

3
P(z),?
?Q(z),?
5
1
P(z),?P(x),y
P(z),?Q(y),?
P(z),?R(x),?
?Q(z),Q(b),y
6
5

• z ? b,
• y ? b,
• x ? b

P(z),?Q(y),Q(b),y
P(z),?R(x),R(b),y