Modello cinetico del gas ideale (monoatomico):

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Modello cinetico del gas ideale (monoatomico)
Gas ideale insieme di molecole puntiformi ( Þ
volume proprio proprio delle molecole
trascurabile) in moto disordinato, per le quali
sono equiprobabili tutte le direzioni delle
velocità (ipotesi del caos molecolare)
e la distribuzione delle velocità è la stessa in
ogni direzione
n.o di molecole con velocità compresa tra vz e
vzdvz
pertanto

• le molecole tra loro non interagiscono non
  avvengono urti tra le molecole puntiformi,
• e non esistono forze tra le molecole (Þ non vi
  è contributo di energia potenziale di
• interazione allenergia interna del sistema,
  che è unicamente dovuta allenergia
• cinetica di agitazione termica delle molecole)
• gli urti delle molecole con le pareti sono
  elastici si conserva lenergia cinetica
• delle molecole

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Pressione interpretazione microscopica
z
volume V a 3
per una singola molecola del gas
m
a
y
no di moli nel volume V
S a 2
x
Numero totale di molecole
Tempo intercorso tra due urti successivi di una
data molecola

con la parete S
Impulso trasferito ad ogni urto alla parete da
una molecola
forza media( nel tempo D t ) dovuta alla
singola molecola
Forza totale sulla parete S
Pressione sulla parete S
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Energia cinetica media delle molecole
Per lipotesi del caos molecolare il valor
medio dei quadrati delle velocità è
ossia
Allora
º lt E k gt
Confrontando con leq.di stato del gas ideale
costante di Boltzmann
ossia
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Principio di equipartizione dellenergia
La predizione del modello cinetico per un gas
monoatomico
energia cinetica media di una singola molecola di
un sistema termodinamico in equilibrio alla
temperatura T
costituisce un caso particolare del principio di
equipartizione dellenergia allequilibrio
termodinamico di un corpo a temperatura T, ad
ogni termine quadratico dellenergia classica
di una sua molecola corrisponde unenergia media
pari a kT/2
Lenergia interna del gas ideale monoatomico è
Daltra parte, vale la relazione termodinamica
in accordo col valore sperimentale
Per un gas biatomico, il principio di
equipartizione prevede
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Velocità quadratica media
A / NA
peso molare
Alcuni esempi per laria a T300 K
ossigeno AO232 10 -3 Kg
azoto AN228 10 -3 Kg
Per una atmosfera di idrogeno a T 300 K
idrogeno AH22 10 -3 Kg
Non trascurabile rispetto al valore della
velocità di fuga dalla Terra
- la distribuzione (maxwelliana) delle velocità
(vedi seguito) per lidrogeno si estende ben
oltre il valore di vfuga - la Terra non ha
trattenuto lidrogeno originariamente nella sua
atmosfera (non così Giove, che ha una velocità
di fuga maggiore)
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Energia cinetica ed energia di ionizzazione
E interessante confrontare il valore di ltEkgt per
le molecole dellatmosfera con lenergia di
ionizzazione delle molecole stesse
mentre
latmosfera terrestre non è ionizzata
Sulla superficie del Sole
l eliosfera è costituita da un gas completamente
ionizzato (plasma)
Per la fusione di nuclei di idrogeno (o, con piu
facilità) di deuterio e trizio) è necessario
superare la barriera di repulsione coulombiana
sono necessarie temperature (che si verificano
allinterno del nucleo solare)
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Distribuzione Maxwelliana
Per un gas alla temperatura di equilibrio T, la
distribuzione delle velocità delle molecole è
data dalla distribuzione Maxwelliana
il numero di particelle dN(v) con velocità in
modulo compresa tra v e vdv è dato dalla formula
(ricavabile dai principi della Meccanica
Statistica)
numero totale di particelle del gas
costante di normalizzazione fissata dalla

condizione
massa della molecola
costante di Boltzmann
frazione di particelle del gas con velocità con
modulo compreso tra v e vdv
velocità probabile
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Velocità probabile
Derivando la F(v) e ponendo
si ottiene il valore della velocità probabile
Il valor medio della distribuzione, ossia la
velocità media, è
La velocità quadratica media
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Distribuzioni maxwelliane a diverse temperature
di equilibrio
A diverse temperature di equilibrio T1ltT2ltT3...
le corrispondenti distribuzioni maxewlliane si
estendono a valori maggiori delle velocità
TT1
TT2gtT1
velocità quadratica media
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Distribuzione canonica
La distribuzione maxwelliana delle velocità
è un caso particolare della distribuzione
canonica delle probabilità, dimostrabile sotto
ipotesi molto generali nellambito della
Meccanica Statistica
per un sistema termodinamico in equilibrio alla
temperatura T, la probabilità di una particella
di possedere un energia compresa tra E ed EdE,
è data da
costante di Boltzmann
volume nello spazio delle variabili dinamiche
(spazio delle fasi, vedi seguito) che compete
allenergia E numero di stati dinamici della
particella aventi energia compresa tra E e EdE


Nel caso di un gas di molecole di massa m
ed inoltre
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Spazio delle fasi
Lo stato dinamico microscopico di una particella
è definito dalla posizione, compresa tra (x,y,z)
e (xdx, ydy, zdz), e le componenti della sua
velocità comprese tra (vx , vy , vz ) e (vx dvx
, vy dvy , vz dvz ). Se supponiamo di non poter
misurare le posizioni e le velocità al di sotto
di una data risoluzione sperimentale dxdydz e
dvx dvy dvz , particelle le cui
coordinate differiscono per meno di dx,dy e dz e
le cui componenti delle velocità differiscono
per meno di dvx , dvy e dvz sono nello stesso
stato dinamico.
z
V
stato dinamico 1
vz
zdz
vzdvz
z
vz
y
ydy
vy
vydvy
x
xdx
y
vx
vy
vxdvx
vx
stato dinamico 2
x
Un ipercubo nello spazio a 6 dimensioni (x, y,
z, vx , vy , vz ), spazio delle fasi, è
rappresentativo di un dato stato dinamico. Il
numero di stati dinamici a disposizione di una
particella è proporzionale al volume V in cui
essa può muoversi
(ad es. il volume in cui il gas
è contenuto)
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Numero di stati dinamici
Il numero di stati dinamici a disposizione di una
particella di velocità in modulo compresa tra v
e vdv è proporzionale al quadrato del modulo
delle velocità
Ad es., gli stati 1, 2, 3 con velocità di eguale
modulo v (e quindi di eguale energia cinetica
E(v) )

dv
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1
3
sono tutti nel guscio sferico dello spazio
delle fasi compreso tra i raggi v e vdv .
Il numero di stati dinamici (ossia di cubetti
delliperspazio) che hanno la stesso modulo v
della velocità è proporzionale al volume del
guscio sferico
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Stato microscopico di un sistema termodinamico
E linsieme degli stati dinamici assunti da
ciascuna particella del sistema uno stato
termodinamico macroscopico (definito dai valori
dei parametri termodinamici macroscopici p,V,
T,.) corrisponde ad un numero molto grande di
diverse configurazioni microscopiche
accessibili alle particelle del sistema (ossia
compatibili con lenergia totale del sistema)
La Meccanica Statistica postula che lo stato
termodinamico (macroscopico) di equilibrio è lo
stato che rende massimo il numero di stati
microscopici accessibili al sistema, compatibili
con la sua energia totale.
Esempio sistema di N particelle in cui lo stato
dinamico di ciascuna di esse è definito dall
essere nella cella 1 o 2 in cui è suddiviso il
volume V del sistema
stato microscopico A
stato microscopico B
n
N-n
n
N-n
b
b
c
a
1
2
1
2
c
a
gli stati A e B corrispondono allo stesso stato
termodinamico macroscopico (caratterizzato da
avere n particelle nella cella 1 e n-N particelle
nella 2)
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Stato termodinamico macroscopico
Sistema termodinamico con N4 particelle,
ciascuna delle quali può essere in due stati
dinamici 1 e 2
numero di stati microscopici M
stato termodinamico
n1
n2
n1 4, n20
a b
M1
c d
b c
a c
a
b
n1 3, n21
d
d
b a
b c
c
d
d
a
M4
b,c,d
a
n1 2, n22
3 stati
b
2 stati
stato di equilibrio
c,d
1 stato
c
d
M7
n1 1, n23
M4
n1 0, n24
M1
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Stato di equilibrio e probabilità della
configurazione microscopica
Sistema con N 10 particelle
numeri di stati dinamici
stato termodinamico
n
N-n
0 10 1 9 2 8 3
7 4 6 5 5 6
4 7 3 8 2 9
1 10 0
1 10 45 120 210 252 210 120 45 10
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stato di equilibrio
lo stato termodinamico 5-5 è 252 volte più
probabile dello stato termodinamico 0-10
Per un sistema macroscopico come un gas, in cui N
1023, lo stato di equilibrio con densità
uniforme è enormemente più probabile ( ossia ha
un numero di modi microscopici di realizzarsi
enormemente maggiore ) di uno stato con anche
piccole

disomogeneità.
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Evoluzione verso lo stato di equilibrio
Analogamente, dati due sistemi a diverse
temperature posti a contatto termico, lo stato
termodinamico in cui l energia cinetica media
del sistema 1 sia 3/2kT1 e del sistema 2 sia
3/2kT2 si realizza in un numero di stati dinamici
molto minore di quelli che realizzano lo stato
termodinamico in cui lenergia cinetica media di
tutte le molecole sia 3/kTe, con Te temperatura
di equilibrio intermedia tra T1 e T2.
Il sistema evolve naturalmente verso tale stato
di equilibrio (che massimizza Il numero di
possibili stati dinamici microscopici in cui può
essere realizzato)
Viceversa, se due sistemi a contatto termico
hanno la stessa temperatura, non è
energeticamente proibito che, a seguito degli
urti casuali , le molecole di uno dei due sistemi
si portino mediamente ad unenergia leggermente
piu alta di quelle dellaltro tuttavia, il
numero di stati dinamici che compete a questa
configurazione è enormemente più piccolo di
quello della configurazione di equilibrio, ed
immediatamente il sistema ritorna nella
configurazione col numero massimo di stati
dinamici possibili.