CONTABILOMETRIA EAC-303

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CONTABILOMETRIA EAC-303

• Professor
• Antonio Carlos Coelho

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Modelo de inferência estatística
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Passos na Construção de um Modelo Estatístico
Especificar um modelo estatístico fórmula e
premissas
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Modelo de Regressão

• tipos e técnicas

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Regressão

• TIPOS
• LINEAR
• Simples ?Uma variável independente
• Múltipla ?Duas ou mais variáveis
• NÃO-LINEAR
• ? Curvilínea

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Regressão Linear

• Objetivos
• Encontrar uma equação matemática que permita
• Descrever e compreender a relação entre 2 ou mais
  variáveis aleatórias
• Projetar ou estimar uma nova observação
• Ajustar uma reta a partir dos dados amostrais

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Regressão Linear

• Utilidades
• Busca de relações de Causa e Efeito
• Predição de valores
• Economia em custos de projeção
• Estabelecer explanação sobre uma população a
  partir de uma amostra

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Regressão Linear Simples

• Na análise de regressão linear simples busca-se
  encontrar a equação de uma reta que permita
•  
• ? Descrever e compreender a relação entre duas
  variáveis
• ? Projetar e estimar uma das variáveis em
  função da outra.

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Regressão Linear Simples

• Supondo uma variável X denominada de
  independente e uma variável Y, a qual chamada de
  dependente (de X), diremos que
• Y f(X)

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Regressão Linear Simples

• Dado um conjunto de valores observados de x e y,
  construímos um modelo de regressão linear de y
  sobre x, baseado numa equação de uma reta do
  tipo
• ýi a bxi

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Função Linear

• f(x) se modifica a uma taxa constante em relação
  à sua variável independente
• Gráfico da função linear reta
• Em termos algébricos
• f(x) b.x a
• a e b são constantes
• b coeficiente angular
• a coeficiente linear

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Coeficiente Angular (b) e Linear (a)
variação de y variação de x

• b

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Exercício

• Determine o coeficiente angular e a interseção da
  reta 3y 2x 6 com o eixo dos y. Construa o
  respectivo gráfico.

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Formas de Equação da Reta

• Forma Inclinação-Intersecção
• y b.x a
• Inclinação m (coeficiente angular)
• Intersecção com o eixo dos y é (0,b)
• Forma Ponto-Inclinação
• y y0 b (x x0)
• Passa pelo ponto (x0,y0)
• Inclinação b (coeficiente angular)

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Equação da Reta

• ýi a bxi

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A Reta de Regressão

• Equação ý a bx
• b declividade da reta define o aumento ou
  diminuição da variável y por unidade de variação
  de x
• a intercepto em y define o valor médio de y
  com x0, isto é, sem a interferência de x
• Nesse modelo se verifica que
• para um valor xi podem existir um ou mais valores
  de yi amostrados
• para esse mesmo valor xi haverá um valor
  projetado ý
• para cada valor xi existirá um dado desvio di dos
  valores de ý
• sempre haverá observações que não são pontos da
  reta.

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Método dos Mínimos Quadrados

• Cálculo de a (coeficiente linear) e
• b (coeficiente angular).
• Considera as seguintes condições
• Somatória de todos os desvios verticais dos
  pontos em relação a reta é zero.
• A soma do quadrado destes desvios é mínima.

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Desvio do valor projetado
di yi - ýc
yi
ý a bx
ýc
xi
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• Onde Di (Yi Yc) ? Di 0 ?(Di)2 é
  mínimo

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Diferenciação O que é?

• É uma técnica matemática de excepcional força e
  versatilidade
• Derivada de uma função exprime o coeficiente
  angular da tangente à curva f(x) em função de um
  ponto x de tangência
• Possui grande variedade de aplicações
• Traçado de curvas
• Otimização de Funções
• Análise de Taxas de Variação

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Taxa de Variação

• Função Linear

• Função Não Linear

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Problemas de Otimização

• Exemplo Lucro em função do Preço
• P(x) 400(15-x)(x-2)

Coeficiente angular zero
Coeficiente angular negativo
Coeficiente angular positivo
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Técnicas de Diferenciação
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Regra da Cadeia - Potências

• Seja y em função de u f(u) un
• Seja u em função de x u(x)

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Regra da Cadeia Exemplo

• Calcule f(x) , sendo

• Nesse caso, a função f(x) pode ser derivada de
  três modos distintos
• Desenvolver a fatoração e aplicar a regra da soma
• Aplicar a regra do produto
• Aplicar a regra da cadeia para potências

• Terceira opção possibilita uma derivação mais
  simples e um resultado fatorado!

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Regressão Linear Simples

• Calculando os coeficientes a e b

a
b
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Regressão Linear Simples

• Calculando a e b por medidas estatísticas

a y - bx
Cov (x,y)
b
Var (x)
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Regressão Linear Simples

• Calculando a e b por medidas estatísticas

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Regressão Linear Simples

• a e b servem como estimativas dos dois
  parâmetros populacionais correspondentes a A e B,
  sendo a equação
• ýc a bx
• uma estimativa da relação populacional
• y A Bx e
• onde e representa a dispersão na população.

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Regressão Linear Simples

• Distribuição Condicional
• A análise de regressão supõe que, para cada valor
  de x, há uma distribuição de ys potenciais que
  segue a lei normal.

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Regressão Linear Simples
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Regressão Linear Simples
Hipóteses
Existem dados de mensurações tanto para x
quanto para y. A variável independente é
aleatória. Para cada valor de x há uma
distribuição condicional de ys que é normal.
Os desvios padrões de todas as distribuições
condicionais são iguais.