SIMULACION DE UN COMPUTADOR CUANTICO

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SIMULACION DE UN COMPUTADOR CUANTICO

• MSc. Jonatan Gómez Perdomo
• Profesor Universidad Nacional

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PROCESO DE SIMULACIÓN

• 1. Escoger el computo que se va a simular
• 2. Representar el computo como un circuito
  construido con compuertas lógicas cuánticas.
• 3. Determinar el tamaño del registro de memoria.
• 4. Calcular el hamiltoniano H alcanzado por el
  circuito.
• 5. Calcular el operador de evolución unitario
  para H.
• 6. Inicializar el registro de memoria.
• 7. Evolucionar el computador por algún tiempo.
• 8. Si el computo no se ha realizado volver al
  paso 7 con el registro de memoria en el estado
  proyectado.
• 9. Leer la respuesta.

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2. REPRESENTAR EL COMPUTO COMO UN CIRCUITO
CONSTRUIDO CON COMPUERTAS LÓGICAS CUÁNTICAS

• Diseñar el circuito cuántico que alcanza el
  computo a simular.
• Especificar las compuertas cuánticas a usar y
  como se conectarán. (No es lo mismo que en los
  circuitos lógicos clásicos, las compuertas
  lógicas se conectan mediante el uso del mismo
  qubit o por interacciones directas de campo).
• Toda compuerta cuántica es un operador unitario,
  es decir, la inversa de la matriz que representa
  el operador debe ser igual a la traspuesta
  conjugada de la misma. (Este hecho garantiza la
  reversibilidad del operador).
• El operador alcanzado por el circuito completo
  también debe ser unitario.

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3. DETERMINAR EL TAMAÑO DEL REGISTRO DE MEMORIA.

• Determinar el número de qubits necesarios para
  simular la operación del circuito diseñado.
• Las partículas (qubits) son divididas en dos
  grupos distintos
• Uno almacena la posición del cursor( cuantos
  pasos del computo se han hecho o como cuantas
  compuertas lógicas cuánticas se han aplicado).
• El otro almacena la respuesta o superposición de
  respuestas, sobre las que se esta realizando el
  computo.
• Si el circuito consta de de k compuertas lógicas
  cuánticas sobre un conjunto de m qubits de
  entrada, el registro de memoria debe tener mk1
  qubits, m para la entrada y k1 para el cursor.
• Si se observan los qubits del cursor y este se
  encuentra en la posición final, es decir, en el
  k1 sitio, se puede asegurar que al medir los
  qubits de respuesta se obtiene una respuesta
  correcta para el computo.

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4. CALCULAR EL HAMILTONIANO H ALCANZADO POR EL
CIRCUITO.

• Un computador cuántico real es un sistema físico
  cuya evolución sobre el tiempo puede ser
  interpretada como la realización de un computo.
• La evolución de un sistema cuántico es descrita
  por la ecuación de Schrödinger. Para el caso de
  un Hamiltoniano independiente del tiempo, la
  solución de dicha ecuación tiene la forma
• ?(t)? exp( -i H t / h )
  ?(0)? U(t) ?(0)?
• El problema entonces es encontrar un operador H
  (independiente del tiempo), tal que U(t) resulte
  ser una operador unitario que remede la acción
  del circuito deseado.
• El Hamiltoniano que logra hacer este acoplamiento
  entre el sistema de cursor y el computo esta dado
  por
• H ?((ci1 ai Mi1)
  (ci1 ai Mi1) para i1,2,...k-1
• donde,

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4. CALCULAR EL HAMILTONIANO H ALCANZADO POR EL
CIRCUITO.

• Mi es la compuerta lógica cuántica i-esima,
• ci es el operador de creación del i-esimo sitio
  del cursor,
• ai es el operador de destrucción del i-esimo
  sitio del cursor.
• denota la transpuesta conjugada.
• El operador de creación actuando sobre un spin
  simple tiene la forma
• c 0 0
• 1 0
• El operador de destrucción actuando sobre un spin
  simple tiene la forma
• a 0 1
• 0 0
• ci I ?...i-1 veces... ? I ? c ? I ? ....k-i
  veces.... ? I
• ai I ?...i-1 veces... ? I ? a ? I ? ....k-i
  veces.... ? I

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5. CALCULAR EL OPERADOR DE EVOLUCIÓN UNITARIO
PARA H.

• Dada la forma del Hamiltoniano, se puede calcular
  el operador de evolución unitaria U(t) como
• U(t) exp(
  -i H t / h )
• La función matriz exponencial calcula la serie de
  potencias de la función exponencial sobre la
  matriz dada.
• 6. INICIALIZAR EL REGISTRO DE MEMORIA.
• Poner en los qubits de respuesta un estado
  inicial sobre el cual se calculará el estado en
  un tiempo futuro t usando la solución de la
  ecuación de Schrödinger.

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7. EVOLUCIONAR EL COMPUTADOR POR ALGÚN TIEMPO.

• Determinar los intervalos de tiempo en los que se
  efectuará una medición de los qubits de cursor.
  Si el intervalo es muy corto la medición puede
  hacer que el computo no sea realizado.
• Usando la solución de la ecuación de Schrödinger
  determinar el estado del registro de memoria
  después del intervalo de tiempo definido a partir
  del estado actual en el que se encuentre el
  mismo.
• Calcular la función de probabilidades de
  encontrar el sistema en cada uno de los estados
  posibles utilizando la función
• Pr(?i? ) w i 2
  con j 1,2, ..., n-1
• ?w j 2
• Cuando el cursor es observado, el estado de los
  qubits de respuesta son proyectados en un estado
  consistente con la posición del cursor observado,
  de esta manera los qubits de respuesta permanecen
  en un estado superpuesto (pero proyectado),
  después de que el cursor es observado.

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8. SI EL COMPUTO NO SE HA REALIZADO VOLVER AL
PASO 7 CON EL REGISTRO DE MEMORIA EN EL ESTADO
PROYECTADO.

• En la práctica, el no predecir con certeza el
  tiempo en el cual el computo estará completo hace
  que periódicamente el cursor sea observado para
  ver si termino.
• Si el cursor se encuentra en el k1 sitio se
  puede asegurar que en los qubits de respuesta se
  encuentra una respuesta valida para el computo.
• Si el cursor no se encuentra en el k1 sitio se
  proyecta el estado del sistema a un estado
  consistente con el estado en el que se encuentra
  el cursor, y se vuelve al paso 7.
• El proceso de lectura

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9. LEER LA RESPUESTA.