Multivariate Regressionsverfahren

1
Quantitative Methoden in der klinischen
Epidemiologie

• Multivariate Regressionsverfahren

2
Lernziele

• Logistische Regression
• Grundlagen/Einführung/Beispiel
• Datenformate
• Modell der logistischen Regression
• Exkurs Schätzen der Regressionskoeffizienten
• Interpretation
• Cox (Proportional Hazards - PH) Modell
• Grundlagen/Einführung/Beispiel
• Datenformate
• Cox Modell
• Interpretation
• Zusammenfassung
• Vergleichende Übersicht
• Modellannahmen
• Offene Aspekte

3
Multivariate Regressionen

• ZweckBestimmt und quantifiziert den relativen
  Beitrag verschiedener Einflüsse auf ein
  Ereignis.
• Die vier wichtigsten Gründe für multivariate
  Regressionen
• Identifiziere Risikofaktoren bei gleichzeitiger
  Adjustierung für Confounder um eine objektive
  Darstellung ihrer Bedeutung zu erhalten
• Adjustiere für Unterschiede zu den Eigenschaften
  einer Bezugsgruppe
• Ableiten von Aussagen zur Diagnose
• Ableiten von Aussagen zur Prognose

4
Logistische Regression

• Wie wirkt ein Faktor (X) auf einen Outcome (Y) X
  ? Y
• X ist ein prognostischer (Risiko-) Faktor
  (Kondomgebrauch)Y ist eine binäre Statusgröße,
  Krankheit HIV (1) oder HIV- (0) .
• Risikofaktor modifizierbar (Lebensstilfaktor)Kov
  ariablen nicht modifizierbar aber mit Einfluss
  auf das Risiko (Alter)
• Es können auch multiple prognostische Faktoren
  (Vektor X) und Kovariablen (Vector C)
  vorliegenX1,X2,X3,C1,C2 ? Y(Kondomgebrauch,
  Alter) (HIV /-)
• Analysen werden mit zunehmender Anzahl von
  Einflussgrößen komplexer.
• Logistische Regression Beschreibt quantitativ
  den Einfluss unabhängiger Variablen auf einen
  binären Zustand. Wie beeinflussen die
  Ausprägungen verschiedener Variablen die
  Auftretenswahrscheinlichkeit für eine oder die
  Prävalenz einer Erkrankung?

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Fallbeispiel

• Welche Risikofaktoren gibt es neben dem PSA-Wert
  zur Vorhersage eines Prostatakarzinoms?
• Wie beeinflusst der PSA-Wert das Risiko eines
  Prostatakarzinoms?
• Thompson IM, et al. (2006) Screen-based prostate
  cancer risk results from the Prostate Cancer
  Prevention Trial, Journal of the National Cancer
  Institute, 98 529-534.
• Es werden 5519 Patienten aus dem Placeboarm des
  PCPT (Prostate Cancer Prevention Trial)
  betrachtet, bei denen
• durch eine Biopsie der wahre Gesundheitsstatus
  erhoben wurde
• bei denen zeitnahe zur Biopsie (1 Jahr) sowohl
  eine PSA Messung als auch eine rektale
  Tastuntersuchung (DRE - digital rectal exam)
  durchgeführt wurde.
• Weitere wichtige Einflussgrößen Veränderung des
  PSA-Wertes, Familienanamnese zum
  Prostatakarzinom, Alter.

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PCPT
Inzidenz von Prostata- Karzinomen
Finasteride
18882 Männer, 55 Jahre, normales DRE und
unauffällige PSA-Werte
Studienfollow-Up7 Jahre
Inzidenz von Prostata- Karzinomen
Placebo
Aus der Placebogruppe kann Information über den
natürlichen Krankheitsverlauf des
Prostatakarzinoms gewonnen werden. Hieraus
Ableitung von Screening-Empfehlungen,
Diagnoseleitlinien, . Ausschlaggebend für die
Analyse sind die Faktorwerte, die zeitnah zur
Biopsie erhoben wurden.
7
Fragen zu den Daten

1. Wie viele Männer gehen in die Analyse ein?
2. Was sind die Einschlusskriterien für die Auswahl
   der Männer?
3. Welche Raten von Prostatakarzinomen würde man in
   der ausgewählten Population erwarten?
4. Welche Raten an Prostatakarzinomen wurden
   beobachtet?
5. Welche Faktoren haben einen prognostischen
   Effekt?
6. Welche Richtung der Wirkung würden Sie für den
   Faktor Familienanamnese erwarten? Führt eine
   positive Familienanamnese zu einem erhöhten
   Karzinomrisiko?
7. Welche Faktoren hatten keinen prognostischen
   Effekt?

8
Beschreibung der Population
9
Explorative Analyse
10
Datenformat

• ID Y PSA DRE Family History ...
• 0 2.1 0 0
• 1 4.3 0 0
• 732 1 2.6 1 1
• 001 0 1.5 0 0
• Wie viele Karzinomfälle gibt es in diesem
  Datensatz?
• Wie viele Karzinomfälle haben einen positiven
  DRE-Befund?
• Haben Karzinomfälle höhere PSA-Werte als
  Nicht-Karzinomfälle?
• Y - Karzinomfall (1), kein Karzinom (0)
• Y kann ebenfalls ein fortgeschrittenes Karzinom
  kodieren (Beide Untersuchungen werden
  durchgeführt)

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Wahrscheinlichkeit

• PY1 beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass
  eine 0, 1-codierte Variable Y den Wert 1
  annimmt.
• Beispiel Prostatakarzinom PY1
• Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig
  ausgewählte Person einer Bezugspopulation ein
  Prostatakarzinom hat(individuelles Risiko)
• Anteil von Prostatakarzinomen in einer
  Bezugspopulation(Prävalenz)
• Kann die Zufallsgröße Y nur die Werte 0 und 1
  annehmen, so gilt PY0 1-PY1

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Odds

• Eine Odds beschreibt das Verhältnis von
  günstigen zu ungünstigen Ausgängen (einer
  Wette). Somit ist es eine Chance "Die Chance
  steht 1 zu 3".
• Formal ist die Odds ein Quotient aus
  Wahrscheinlichkeit zur Gegenwahrscheinlichkeit
  in einer Situation mit binären Ereignismöglichkeit
  en.
• OY1 PY1 / PY0 PY1 /
  (1-PY1)
• OY0 1 / OY1
• PY1 OY1 / (1OY1)
• Beispiel In der Bezugspopulation ist die
  Prävalenz für ein Prostatakarzinom 21.9. Was
  ist die Odds für ein Prostatakarzinom? Wie stehen
  die Chancen?
• OProstatakarzinom PProstatakarzinom /
  (1- PProstatakarzinom ) 0.219 / 0.771
• 0.284
• Wahrscheinlichkeiten nehmen Werte zwischen 0
  und 1 an 0,1. Eine Odds kann einen Wert
  zwischen 0 und Unendlich annehmen 0,8.

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Logits

• Der natürliche Logarithmus einer Odds wird
  Logit genannt.
• LY1 ln(OY1) OY1 exp(LY1)
  PY1 exp(LY1) / (1 exp(LY1)) 1 /
  (1 exp(-LY1)
• Wertebereich eines Logits -8,8
• Der Schritt zur multivariaten Regression
  Beschreibe den Logit eines Ereignisses durch
  einen Score, der sich additiv aus gewichteten
  Komponenten ergibt ? linearer Prädiktor

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Logit und Wahrscheinlichkeit
Es gibt noch weitere Möglichkeiten den
Zusammenhang zwischen linearem Prädiktor und
Wahrscheinlichkeit herzustellen z.B. probit.
15
Logistische Regression
Zusammenhang zwischen der individuellen
Erkrankungswahrscheinlichkeit und ihren
Einflussfaktoren Linearer Prädiktor a0a1x1
amxm Regressionskoeffizienten ai i 0,,
m Kennt man die Ausprägung der Einflussfaktoren
und die Werte der Regressionskoeffizienten, so
kann man für einen beobachteten Satz von
Einflussfaktoren die damit zusammenhängende
Erkrankungswahrscheinlichkeit berechnen. Konstrukt
ionsprinzip für klinische und epidemiologische
Scores!
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Linearer Prädiktor
Der lineare Prädiktor fasst die verschiedenen
Einflussgrößen zu einer Zahl zusammen
Risikoscore. Je höher der Wert des linearen
Prädiktors für einen Patienten, desto höher ist
die Wkeit, an der interessierenden Erkrankung
erkrankt zu sein. Negative Werte des linearen
Prädiktors stehen für geringere
Erkrankungswkeiten. Falls im Risikomodell nur
die Familienanamnese (XFA 1 ja, 0 nein) Einfluss
hätte, so wäre der lineare Prädiktor a0
a1XFA. a0 Quantifiziert den Logit für die
Erkrankung bei Personen ohne familiäre
Belastung a1 Quantifiziert die
Logitveränderung für die Erkrankung bei Personen
mit familiärer Belastung gegenüber Personen
ohne familiäre Belastung.
17
Linearer Prädiktor
Berechnen Sie den linearen Prädiktor für eine
Person mit positiver Familienanamnese und deren
Erkrankungswkeit, wenn die beiden
Regressionskoeffizienten folgende Werte haben
a0-1, a12. Machen Sie die analoge Rechnung auch
für eine Person mit negativer Familienanamnese.
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Linearer Prädiktor
linearer Prädiktor a0 a1XFAa0-1, a12
XFA 0 linearer Prädiktor -1 20 -1,
individuelle Wkeit PY1XFA0
exp(-1)/1exp(-1) 0.269 XFA 1 linearer
Prädiktor -1 21 1, individuelle Wkeit
PY1XFA1 exp(1)/1exp(1) 0.731
19
Linearer Prädiktor
Eine etwas komplexere Situation Linearer
Prädikor a0 a1XFAa2XPSA XFA 0 negative
Familienanamnese, 1 positive
Familienanamnese. XPSA PSA Wert a0-1, a11,
a22 Berechne den Wert des linearen Prädiktors
für eine Person, die Neg. Familienanamn. und
einen PSA-Wert von 2 hat? Neg. Familienanamn.
und einen PSA-Wert von 4 hat? Pos.
Familienanamn. und einen PSA-Wert von 3 hat?
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Linearer Prädiktor

• Berechne den Wert des linearen Prädiktors für
  eine Person, die
• Neg. Familienanamn. und einen PSA-Wert von 2
  hat. -11022 3Neg. Familienanamn. und einen
  PSA-Wert von 4 hat. -11024 7Pos.
  Familienanamn. und einen PSA-Wert von 3 hat.
  -11123 6
• a0-1, a11, a22
• Wer von diesen Personen hat das höchste Risiko
  für ein Prostatakarzinom?
• Was erhöht das Risiko mehr eine positive
  Familienanamnese oder die Zunahme des PSA-Wertes
  um eine Einheit?
• Wie soll die Veränderung gemessen werden?
• In Differenzen Logit-Skala
• Multiplikative Veränderung Odds-Skala ?
  Odds-Ratio (OR)

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Regressionskoeffizienten und Odds Ratio
Odds für die Erkrankung bei Faktorkonstellation
X O(X) PY1X/PY0X Um wie viel ist es
wahrscheinlicher bei Konstellation X zu
erkranken als nicht zu erkranken Die Ausprägungen
der Konstellationen X und X sind in allen
Variablen identisch, bis auf die Variable i. Der
Wert der Variablen i in X ist um eine Einheit
größer als der Wert der Variablen i in X. Dann
gilt ORi O(X)/O(X) exp(ai)Die exponierten
Regressionskoeffizienten können somit als Odds
Ratios interpretiert werden. Die Wirkung eines
Einflussfaktors auf das Risiko wird durch das
Vorzeichen des Regressionskoeffizienten
ausgedrückt a 0 kein Einfluss des Faktorsa lt
0 Faktor senkt die Wahrscheinlichkeita gt
0 Faktor erhöht die Wahrscheinlichkeit
22
Odds Ratio
XFA 0 negative Familienanamnese, 1
positive Familienanamnese.XPSA PSA
Wert Linearer Prädikor -1 1XFA2XPSA Kovaria
blenvektor pro Patient (XFA, XPSA) X (0, 3) und
X (0, 4) Patient X hat keine familiären
Belastungen und PSA Messung 3, LP 5Patient X
hat keine familiären Belastungen und PSA Messung
4, LP 7 Berechne das OR für den Faktor
PSA PY1X exp(5)/(1exp(5)) 0.9933
O(X) PY1X/PY0X 0.9933/0.0067
148.254PY1X exp(7)/(1exp(7))
0.9991 O(X) PY1X/PY0X
0.9991/0.0009 1110.111 OR O(X) / O(X)
1110.111/ 148.254 7.487899 exp(2)
23
Odds Ratio
Odds für die Erkrankung mit (X1) OR
------------------------------------------
exp(logOR) exp(a) Odds für die Erkrankung mit
(X0) OR gt 1 a gt 0 (positiver
Zusammenhang - Risiko wird erhöht)OR lt 1 a lt 0
(negativer Zusammenhang - Risiko nimmt ab)OR
1 a 0 (kein Zusammenhang) Berichte des OR in
Artikeln 95-Konfidenzintervall für OR, p-Wert
für OR falls plt0.05, so bedeutet dies, dass das
OR signifikant von 1 verschieden ist und der
Risikofaktor einen Effekt auf die Erkrankungsodds
hat. Oft werden auch die Regressionskoeffizienten
berichtet, die in OR umgerechnet werden können -
oder umgekehrt.
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Schätzen der Koeffizienten in der log. Reg.

• Es wird ein Modell für die Wkeit der
  Erkrankung in einer spezifischen Teilgruppe
  formuliert Angabe, welche Faktoren wie codiert
  eine Rolle spielen.
• Somit gilt für individuelle Wkeiten in einer
  durch den Vektor X beschriebenen Teilmenge das
  Modell
• Durch die Kombination von Modell und
  beobachteten individuellen Krankheitszuständen
  lässt sich die Likelihood der vorliegenden Daten
  berechnen. Die Likelihood ist eine Funktion der
  nicht spezifizierten Regressionskoeffizienten
  a1, , am.
• Die Maximierung der Likelihood ergibt die
  Schätzung der gesuchten Parameter. Weiterhin
  können Konfidenzintervalle berechnet werden,
  sowie p-Werte für die Nullhypothese, dass ai0
  ist.

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Fragen an die Daten

1. Was ist das OR für die Familienanamnese des
   Prostatakarzinoms?
2. Erhöht oder erniedrigt eine positive
   Familienanamnese die Odds für ein
   Prostatakarzinom.
3. Um wie viel verändert sich die Odds?
4. Ist dieser Effekt statistisch signifikant? Warum?
5. Ist der Effekt eines positiven DRE-Befundes
   größer als der einer pos. Familienanamnese?
6. In welchem Bereich liegt der Effekt einer
   positiven DRE?
7. Wird durch eine vorherige Biopsie (auch wenn
   negativ ausgefallen) die Odds für ein
   Prostatakarzinom erhöht?
8. Wird durch den logPSA-Wert die Odds für ein
   Prostatakarzinom erhöht oder erniedrigt?
   Interpretieren Sie den Wert des OR für die logPSA
   Messung.
9. Ist PSA der einzige Risikofaktor, den ein Arzt in
   Betracht ziehen soll, wenn er einen Patienten
   über sein Prostatakarzinomrisiko berät und die
   Durchführung einer Biopsie in Betracht zieht?

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Darstellung eines komplexen Ergebnisses
Unsicherheit aufgrund der SchätzungKonfidenzbände
r für Risikoschätzer
Risiko für fortgeschrittenes Prostatakarzinom
Risiko für Prostatakarzinom
27
Überlebenswahrscheinlichkeiten
Wie verändert sich die Überlebenswahrscheinlichkei
t (Kaplan-Meier-Kurve) in Abhängigkeit von
Kovariablen und prognostischen Faktoren? Proportio
nal-Hazards-Modell von D. R. Cox (1972) S(tx)
S0(t)exp(a1x1 akxk) S0(t)
Baseline-Überlebenskurve S0(t)
exp-?0(t) ?0(t) Kumulierte Baselinehazard,
Patienten sammeln mit fort- schreitender Zeit
immer mehr Sterberisiko (Hazard), positive,
monotone Funktion Kumulativer Hazard einer
Patientengruppe mit Kovariablenstruktur x ?(tx)
?0(t)exp(a1x1 akxk)
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Überlebenswahrscheinlichkeiten
Linearer Prädiktor a1x1 akxk Linearer
Prädiktor lt 0 - Überlebenswahrscheinlichkeit
erhöht sich 0 - Überlebenswahrscheinlichkeit
identisch mit Baselinegruppe gt 0 -
Überlebenswahrscheinlichkeit erniedrigt
sich Beispiel Linearer Prädiktor - 0.5Klinik_B
1Prognosestadium Klinik_B 0 falls Patient
in Klinik A behandelt wurde 1 falls Patient
in Klinik B behandelt wurde Prognosestadium 0
gute Prognose 1 schlechte Prognose 5-Jahres
Überleben in Gruppe (0,0) 0.7Wie sieht das
5-Jahres Überleben in den anderen Gruppen aus?
29
Überlebenswahrscheinlichkeiten
Linearer Prädiktor - 0.5Klinik_B
1Prognosestadium Klinik_B 0 falls Patient in
Klinik A behandelt wurde 1 falls Patient in
Klinik B behandelt wurde Prognosestadium 0
gute Prognose 1 schlechte Prognose 5-Jahres-Übe
rleben in Gruppe (0, 0) LP 0 exp(0) 1
5-Jahres-Rate 0.71 0,7 (0, 1) LP 1 exp(1)
2.72 5-Jahres-Rate 0.72.72 0,379 (1, 0) LP
-0.5 exp(-0.5) 0.61 5-Jahres-Rate 0.70.61
0,804 (1, 1) LP 0.5 exp(0.5)
1.65 5-Jahres-Rate 0.71.65 0,555 Praktische
Konsequenzen?
30
Kurative Resektion des Rektumkarzinoms
Klinik A 309 Pat. Klinik B 196 Pat.
31
Kurative Resektion des Rektumkarzinoms
Patientenzahlen zu den Stadien auf den nächsten
Folien
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Kurative Resektion des Rektumkarzinoms
Unterscheidet sich das Überleben von kurativ
resezierten Patienten mit Rektumkarzinom zwischen
Klinik A und Klinik B?Log-Rank-Test N
Observed Expected (O-E)2/E B 196 45
60.68 4.050 A 309 100 84.32
2.914 Chisq 7 on 1 degrees of freedom, p
0.008278 Sind die Kliniken hinsichtlich ihres
Patientengutes vergleichbar?Chi-Quadrat-Test
Stadium I Stadium 2 Stadium
3 SummeB 33(16.8) 70(35.7)
93(47.5) 196A 84(27.2) 100(32.4)
125(40.4) 309 Chi² 7.3026,
FG 2, p 0.026
33
Kurative Resektion des Rektumkarzinoms
Stadium Klinik Fallzahl D (beobachtet) E (erwartet) SMR D/E RH
I B 33 2 2.59 0.772 0.71
I A 84 7 6.41 1.092
II B 70 8 13.44 0.595 0.45
II A 100 23 17.56 1.310
III B 93 35 52.79 0.663 0.49
III A 125 70 52.21 1.341
SMR Standardisierte Mortalitätsrate Wie ist das
Verhältnis von beobachteten zu erwarteten
Todesfällen, wenn beide Kliniken sich im
Mortalitätsrisiko nicht unterscheiden? RH
relativer Hazard - wie verhält sich die SMR von
Klinik B zu der von Klinik A (Klink A ist
Bezugsgröße)
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Kurative Resektion des Rektumkarzinoms
Klinik Stadium N D E SMR RH
A I 84 7 32.7 0.21
A II 100 23 35.6 0.65 3.02
A III 125 70 31.2 1.97 3.42
B I 33 2 8.47 0.23
B II 70 8 16.89 0.47 2.01
B III 93 35 19.84 1.78 3.70
SMR Standardisierte Mortalitätsrate Wie ist das
Verhältnis von beobachteten zu erwarteten
Todesfällen, wenn die drei Stadien sich im
Mortalitätsrisiko nicht unterscheiden? RH
relativer Hazard - wie verhält sich die SMR zum
nächst besseren Stadium (Für Stadium III ist
Stadium II Bezugsgröße, für Stadium II ist
Stadium I Bezugsgröße Risikoveränderung beim
Wechseln ins nächste Stadium)
35
Kurative Resektion des Rektumkarzinoms
Der Effekt der Klinik auf die Veränderung der SMR
ist homogen über die Stadien. Der Effekt der
Stadien auf die Veränderung der SMR ist homogen
über die Kliniken. Beide Faktoren (Stadium und
Klinik) werden als unabhängige Faktoren in einer
multivariaten Coxregression modelliert und ihre
Effekte aufs Überleben quantifiziert. Hieraus
lässt sich für jede Kombination (Klinik, Stadium)
der Faktor berechnen mit dem die
Überlebensinformation der Bezugsgruppe (Klinik A,
Stadium I) verändert wird.
Hazard Ratio lower .95 upper .95 stage.2
2.799 1.332 5.882 stage.3
3.574 2.390 5.346 klinik_b 0.488
0.343 0.696
Klinik / Stadium I II III
A 1 2.8 2.8?3.6
B 0.5 2.8?0.5 2.8?3.6?0.5
36
Kurative Resektion des Rektumkarzinoms
Vergleich von beobachtetem Überleben mit den
Überlebenskurven, die das Cox-Modell aus den
Daten schätzen würde. Modell und Wirklichkeit
stimmen gut überein. Somit sind auch die aus dem
Modell und der Analyse gezogenen
Schlussfolgerungen ernst zu nehmen.
37
Kurative Resektion des Rektumkarzinoms
Klinik B ist die deutlich bessere Klinik. Wie die
Klinik auf das Überleben wirkt, konnte in einem
multivariaten Proportional-Hazards-Modell
quantifiziert werden Hat ein Patient in Klinik A
die Überlebenswahrscheinlichkeit SA(t), so gilt
für die Klinik B SB(t) SA(t)0.5 Die folgende
Tabelle gibt den formalen Zusammenhang nochmals
an Beispielen wieder Überleben in Klinik A
0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80
0.90Überleben in Klinik B 0.32 0.45 0.55 0.63
0.71 0.77 0.84 0.89 0.95Rel. Risiko
3.16 2.24 1.83 1.58 1.41 1.29 1.20 1.12 1.05 Das
Beispiel macht auch klar, dass der relative
Hazard nicht mit dem relativen Risiko identisch
ist. Während sich das relative Risiko je nach
Sterbewahrscheinlichkeit zwischen den Kliniken
ändert, bleibt der relative Hazard konstant.
38
Zusammenfassung (I)

• Multivariate Verfahren erlauben das
  Zusammenfassen der Wirkung multipler Effekte
  auf einen Outcome.
• Damit ist es möglich, Scores zu erstellen, die
  für Diagnose und Prognose eine schärfere
  Diskriminierung erlauben.
• Multivariate Verfahren erlauben es ebenso, den
  Effekt eines Faktors in einem multivariablen
  Setting zu präzisieren. Dies geschieht durch das
  Herausrechnen des Effektes der anderen
  beteiligten Faktoren Adjustierung.

39
Zusammenfassung (II)
Typ der abhängigen Variablen Beispiele Art der multivariaten Regression
Intervallskaliert Gewicht, Blutdruck Multiple lineare Regression,ANOVA, ANCOVA
Dichotom Überleben eines festen Zeitintervalls (ja/nein),Krankheit liegt vor (ja/nein) Logistische Regression
Zeit bis zu einem Ereignis Zeit bis zum Tod,Zeit bis zum Rezidiv,Zeit bis zur Erkrankung Cox-Modell,Accelerated Failure Time (AFT) Modelle
Seltene Ereignisse,Zählvariablen Inzidenz seltener Erkrankungen,Anzahl von Plaques Poisson-Regression
40
Zusammenfassung (III)
Fragestellung Multiple lineare Regression Multiple logistische Regression Prop. HazardsCox-Modell
Was wird modelliert? Mittelwert der abhängigen Variablen Logarithmus der Odds der abh. Variablen (Logit) Logarithmus des Hazard
Beziehung multipler unabhängiger Variablen zur abh. Variablen Der Mittelwert ändert sich linear mit einer Einheitsänderung der unabhängigen Variablen Der Logit ändert sich linear mit einer Einheitsänderung der unabhängigen Variablen Der Log-Hazard ändert sich linear mit einer Einheitsänderung der unabhängigen Variablen
Verteilung der abhängigen Variablen Normalverteilung Binomialverteilung Nicht spezifiziert,semiparametrisch
Varianz der abh. Variablen Gleichmäßig um den Mittelwert Abhängig von der Wkeitder einzelnen Gruppe Nimmt mit zunehmendem Hazard zu
Zensierte Beobachtungen Kann nicht mit zensierten Beobachtungen arbeiten Kann nicht mit zensierten Beobachtungen arbeiten Zeiten können rechtszensiert sein
Relative Hazards - - Proportional zueinander,faktorielle Zerlegung
Beziehungen der unabhängigen Variablen Möglichst nicht oder nur wenig korreliert Möglichst nicht oder nur wenig korreliert Möglichst nicht oder nur wenig korreliert
Beobachtungen Unabhängig Unabhängig Unabhängig
41
Zusammenfassung (IV)

• Lernziel Umgang mit dem linearen Prädiktor und
  dessen Rolle bei komplexen klinischen und
  epidemiologischen Fragestellungen.
• Nicht behandelt
• Nicht-lineare Zusammenhänge (Wachstumskurven)
• Auswahl der relevanten unabhängigen Variablen
• Vorgehen bei der Verletzung wichtiger
  Modellannahmen
• Interaktionseffekte zwischen Faktoren
• abhängige (geclusterte) Beobachtungen
• Modellanpassung und Residualanalyse
• Hypothesentests und Konfidenzintervalle
• Hintergründe der Schätzverfahren