R

1
RÚDSZERKEZETEK KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEI
2
DEFINÍCIÓK, MEGFONTOLÁSOK

• RÚD olyan egyenes tengelyu tartószerkezet,
  melynek egyik mérete a másik kettonél lényegesen
  nagyobb (Lgtgth, b)
• RÚDSZERKEZET rudakból csomóponti kapcsolatokkal
  és támaszokkal összeállított tartószerkezet
• MEGJEGYZÉS szukített értelemben (RÁCS)RÚDnak
  azokat a rudakat nevezzük, amelyekben CSAK
  normálero muködik, azokat a rudakat pedig,
  amelyek a terhelést jellemzoen nyíróerokkel és
  nyomatékokkal veszik fel, GERENDÁknak nevezzük.
• A görbe tengelyu rúdszeru szerkezeteket
  poligonálisan egyenes tengelyu darabokból
  összeállítottnak tekinthetjük.

3
DEFINÍCIÓK, MEGFONTOLÁSOK

• KERESZTMETSZET a rúd tengelyére MEROLEGESEN
  FELVETT metszet
• A rúd PRIZMATIKUS (a km. alakja-mérete a hossz
  mentén nem változik)
• TENGELYEK
• a rúd tengelye x
• a keresztmetszet síkjában a vízszintes tengely y
  a függoleges tengely z (ezek nem feltétlenül
  tehetetlenségi foirányok!)
• a km. síkjában az eros tengely (1. foirány) u,
  a gyenge tengely (2. foirány) v

4
DEFINÍCIÓK, MEGFONTOLÁSOK

• ANYAGTULAJDONSÁGOK a rúd anyaga
• HOMOGÉN (az anyagjellemzok HELYfüggetlenek)
• IZOTROP (az anyagjellemzok IRÁNYfüggetlenek)
• (ideálisan) RUGALMAS (F/e ill. s/e konstans)
• lokálisan RUGALMAS-KÉPLÉKENY

5
DEFINÍCIÓK, MEGFONTOLÁSOK

• VISELKEDÉSI TULAJDONSÁGOK
• A RÚD alakváltozása ELÉG KICSINY ahhoz, hogy
  hatását az igénybevételek számítása során
  elhanyagolhassuk (megmerevítés elve, I. rendu
  számítás)
• az alakváltozás során a rúd KERESZTMETSZE-TEI
  SÍKOK maradnak és a hossztengellyel párhu-zamos
  ELEMI SZÁLAK a keresztmetszeti síkokra
  MEROLEGESEK maradnak (ez utóbbi feltevés nem
  minden esetben tartható!)

6
DEFINÍCIÓK, MEGFONTOLÁSOK

• IGÉNYBEVÉTELEK térbeli rúd egy
  kereszt-metszetében elofordulható igénybevételek

Nx normálero Tz vagy Tv nyíróero Ty vagy Tu
nyíróero Mx csavarónyomaték My vagy Mu
hajlítónyomaték Mz vagy Mv hajlítónyomaték
My Mu
Ty Tu
Mx
y(u)
Mz Mv
Nx
x
Tz Tv
z (v)
7
DEFINÍCIÓK, MEGFONTOLÁSOK

• Az igénybevételek FÜGGETLENSÉGE
• A számítások során arra törekszünk, olyan
  közelítéseket alkalmazunk, hogy az egyes
  igénybevételekbol származó feszültségek a többi
  igénybevételtol FÜGGETLENÜL legyenek számíthatók.
• MEGJEGYZÉS a Tz nyíróerovel egyidejuleg MINDIG
  van My hajlítónyomaték, ill. a Ty nyíróerovel
  egyidejuleg MINDIG van Mz hajlítónyomaték!!!!

d(My(x)/dx-Tz(x) ill. d(Mz(x)/dx-Ty(x)
8
DEFINÍCIÓK, MEGFONTOLÁSOK

• Az igénybevételek FÜGGETLENSÉGE
• Alapállapotban a megfeleloséget a normál- ill. a
  nyírófeszültségekre KÜLÖN-KÜLÖN ellenoriz-zük, a
  különbözo hatásokból származó, de azonos jellegu
  (normál- ill. nyíró-) feszültségeket
  (vekto-riálisan) összegezve.
• Eros kihasználtság esetén e kétfajta, ugyanazon
  pontban egyidejuleg muködo feszültség EGYÜTTES
  hatását is vizsgálni kell (összehasonlító
  feszültségvizsgálat, törési feltételek,
  fofeszültségvizsgálat).

9
TISZTA HÚZÁS (NYOMÁS)
Nx Ty Tz Mx My Mz

• Tiszta húzás (nyomás) esetén
  CSAK tengely- irányú, centrikus (a
  teher- bírási középponton támadó)
  ero terheli a keresztmetszetet. Az ébredo
  p(x,y,z) keresztmetszeti feszültségeknek biztosan
  lesz x irányú, azaz s feszültségkomponense, vagy
  másként ez a normálero a keresztmetszeti s
  feszültségrendszer eredojeként értelmezheto.

10
TISZTA HÚZÁS (NYOMÁS

• Ha a keresztmetszetben általános állású
  feszültségvektorokat tétele-zünk fel, akkor az
  egyes pontok-ban a nyírófeszültségek a két
  csat-lakozó darabon ellentétes kereszt-irányú
  deformációkat okoznának, és emiatt az átvágott
  keresztmet-szetben a két tartódarab végmetsze-tei
  nem illeszkedhetnének, ami vi-szont sérti az
  anyag folytonosságát.

EZ A FELTEVÉS TEHÁT HIBÁS!
11
TISZTA HÚZÁS (NYOMÁS)

• Ha a keresztmetszetben csak normál-feszültséget
  tételezünk fel, de annak eloszlását nem
  egyenletesnek tekint-jük, akkor az egyes
  pontokban az el-téro normálfeszültségi értékek
  miatt a fajlagos nyúlások is különbözok
  len-nének, és emiatt az átvágott
  kereszt-metszetben a két tartódarab végmet-szetei
  nem illeszkedhetnének, ami viszont sérti az anyag
  folytonosságát.

EZ A FELTEVÉS TEHÁT HIBÁS!
12
TISZTA HÚZÁS (NYOMÁS

• A centrikusan húzott rúd közbenso
  ke-resztmetszeteiben az anyag folytonos-sága csak
  úgy biztosítható, ha a ke-resztmetszetekben CSAK
  ex fajlagos nyúlás keletkezik és ennek eloszlása
  a teljes keresztmetszetben EGYENLE-TES azaz a
  keresztmetszetben CSAK sx normálfeszültség ébred,
  és ennek eloszlása a teljes keresztmetszetben
  (szintén) EGYENLETES.

sxNx/A
13
TISZTA NYÍRÁS
Nx Ty Tz Mx My Mz

• A keresztmetszeti igénybevételek differenciális
  összefüggése miatt a keresztmetszeti nyíróero
  léte meg-kívánja a (vele azonos síkban mukö-do,
  azonos terhelésbol származó) nyomatéki
  igénybevétel létét.
• A tiszta (más igénybevételektol mentes) nyírás
  tehát tényleges rúd-keresztmetszetekben valójában
  NEM FORDULHAT ELO!!!

d(My(x)/dx-Tz(x) ill. d(Mz(x)/dx-Ty(x)!
14
TISZTA NYÍRÁS
Nx Ty Tz Mx My Mz

• Az elméleti lehetetlensé-get elismerve mégis
  adó-dik olyan terhelési eset, amelyben a
  keresztmetszet pontjaiban a nyíróero ha-tása
  dominál. Ezekre a (kapcsolatokban, kötoele-mekben
  eloforduló) ese-tekre (közelíto megoldás-ként)
  alkalmazhatónak elfogadjuk a TISZTA NYÍRÁSi
  igénybevételt.

T
t
t
t
t
Ddz
Ddz
dx
dx
A tiszta nyírásban a nyíróerobol csak t
feszültségekre számítunk.
15
TISZTA NYÍRÁS
Nx Ty Tz Mx My Mz

• A tiszta nyírás igénybevétele a
  ke-resztmetszeteket a tartótengelyre MEROLEGESEN
  mozdítja el, és így az elemi szálaknak a
  keresztmetsze-tekkel bezárt (eredetileg
  meroleges) állása megváltozik. Az elemi hasáb
  tengelyre meroleges elmozdulásának a
  tartótengely mentén mért hosszhoz viszonyított
  értékét a nyírásra jellem-zo deformációnak, g
  NYÍRÁSI SZÖGTORZULÁSnak nevezzük.

t
t
T
g
t
t
Ddz
dx
Ddz
dx
Általános esetben az elemi hasáb torzulása
szimmetrikus, így a g/2 jelenik meg az ábránkon.
16
TISZTA NYÍRÁS
Nx Ty Tz Mx My Mz

• A rúd oldalfelületén, az érintosíkokban (a
  VALA-MI és SEMMI határfelü-letén) SEMMILYEN
  IRÁNYÚ NYÍRÓFE-SZÜLTSÉG NEM ÉB-REDHET. Emiatt a
  ke-resztmetszet SÍKJÁBAN a kerület mentén CSAK
  ÉRINTOIRÁNYÚ NYÍ-RÓFESZÜLTSÉG kelet-kezhet.

t0
A dualitás miatt tehát a keresztmetsze-ti
nyírófeszültségek pontról-pontra mind állásukban,
mind nagyságukban ELTÉROK lesznek.
17
TISZTA NYÍRÁS
Nx Ty Tz Mx My Mz

• MÉGIS
• a gyakorlat számára a kapcsolóelemekben egy
  ÁTLAGOSÍTOTT, FIK-TÍV nyírófeszültséget veszünk
  figyelembe, amelynek IRÁNYÁT a nyíróero irányával
  azo-nosnak, ELOSZLÁSÁT pedig egyenletesnek
  vesszük.

Az egyenletes fiktív nyírófeszültség alkal-mazása
a tiszta nyírású metszetekben rész-ben a
képlékeny kiegyenlítodés, részben pedig az
anyagellenállás hasonló módon történt
meghatározása miatt elfogadható.
18
TISZTA NYÍRÁS - alkalmazás

• A húzott-nyomott acéllemezek csava-rozott-szegecse
  lt kapcsolatában a kö-toelemek nyíródó felületein
  TISZTA NYÍRÁSI igénybe-vételi állapotot
  tételezhetünk fel.

A lemezek a csavarok palástjára támaszkodnak.
19
TISZTA NYÍRÁS - alkalmazás

• A húzott-nyomott acéllemezek csava-rozott-szegecse
  lt kapcsolatában a kö-toelemek nyíródó felületein
  TISZTA NYÍRÁSI igénybe-vételi állapotot
  tételezhetünk fel.

A lemezek a csavarok palástjára támaszkodnak.
Az ellenkezo irányba mozdulni akaró lemezelemek
közötti sík(ok)ban a kötoelemek igénybevétele
TISZTA NYÍRÁS, a lyuk és a hengeres kötoelem
csatlakozó felületein pedig PALÁSTNYOMÁS alakul
ki.
20
TISZTA NYÍRÁS - alkalmazás

• Más egyszerusítések
• A valós palástnyomá-si feszültségek helyett (is)
  fiktív, az átméro mentén egyenletes, a húzóerovel
  párhuza-mos feszültségeket alkalmazunk. A
  kö-toelemek között az erot egyenletesen
  el-osztottnak tekintjük.

A palástnyomási (fiktív!) feszültségeket az egy
irányban dolgozó lemezek (összegzett) vastagsága
mentén (is) állandónak vesszük.
21
TISZTA NYÍRÁS - alkalmazás

• Más egyszerusítések
• A teljes húzóerot a nyírásvizsgálat során (is) a
  kötoelemek kö-zött egyenletesen el-osztottnak
  tekintjük.
• (A kimért eroeloszlás a végelemekre nagyobb
  ér-téket ad, de ha az egymás mögött álló elemek
  szá-mát korlátozzuk, a kép-lékeny kiegyenlítodés
  alapján az egyenletesség elfogadható.)

A kötoelemek nyírás-számát a tönkremene-telhez
(a szabad mozgáshoz) egyidejuleg elnyíródni
kényszerülo felületek száma adja.
22
LYUKAS LEMEZ HÚZÁSA

• Más egyszerusítések
• A húzott elemekben a lyukgyengítések
  ke-resztmetszetében ki-alakuló normálfe-szültségek
  eloszlását (is) egyenletesnek tekintjük.
• A mérések szerint a lyu-kak mellett (az
  erovona-lak összesurusödése mi-att) a feszültség
  lényege-sen nagyobb, de a képlé-keny átrendezodés
  itt is segít.

A húzott lemez ill. a heveder mértékadó
gyengített keresztmetszete(i)
A gyengített keresztmetszet (számítási!)
fe-szültségeit mind a keresztirányú (hatékony)
szélesség, mind az egy irányban dolgozó le-mezek
(összegzett) vastagsága mentén állan-dónak
vesszük.
23
LYUKAS LEMEZ HÚZÁSA
A fenti ábrán egy, mindkét végén egyenletesen
megoszló erovel hú-zott acéllemez számított
hosszirányú normálfeszültségeinek eloszlá-sát
mutatjuk be. Látható, hogy a feszültségeloszlás
egyenletes, csak a lyukak közvetlen környezetében
van anomália a lyukak szélessé-gében a lyuk
elott-mögött a hosszirányú normálfeszültség
lecsökken, a lyuk mellett viszont jelentosen
megno.
24
LYUKAS LEMEZ HÚZÁSA
A kinagyított ábrán látható, hogy a lemezre
jellemzo 200 N/mm2 (itt 20 kN/cm2) értéku
normálfeszültség a lyuk mellett több, mint
kétsze-resére ugrik fel, de az is látható, hogy
ez a túlfeszültség csak rövid szakaszon alakul
ki, azaz a képlékeny átrendezodés elfogadható.
25
LYUKAS LEMEZ HÚZÁSA
A feszültségeloszlás térbeli képe
26
LYUKAS LEMEZ HÚZÁSA
A számított feszültségeloszlás a keresztirányú
metszetekben
(a feliratok a normálfeszültség számított értékei
kN/cm2-ben)
egy általános helyen lévo keresztmetszet
a gyengített keresztmetszet (a lyuktengelyben)
27
TISZTA (EGYENES) HAJLÍTÁS

• Ha a rúd keresztmetszeteit CSAK nyomaték terheli,
  TISZTA HAJLÍTÁSról beszélhetünk. Ha e nyomaték
  VEKTORA a keresztmetszeti síkidom valamelyik
  tehetetlenségi foirányában áll, a hajlítás
  EGYENES HAJLÍTÁS.

Nx Ty Tz Mx My Mz
My
A (tiszta) egyenes hajlítás esetén a
keresztmetszetet terhelo hajlítónyomaték SÍKJA a
tartó tengelye és a keresztmetszet másik
tehetetlenségi foiránya határozza meg.
28
TISZTA (EGYENES) HAJLÍTÁS

• Ha a rúd keresztmetszeteit CSAK nyomaték terheli,
  TISZTA HAJLÍTÁSról beszélhetünk. Ha e nyomaték
  VEKTORA a keresztmetszeti síkidom valamelyik
  tehetetlenségi foirányában áll, a hajlítás
  EGYENES HAJLÍTÁS.

Nx Ty Tz Mx My Mz
A (tiszta) egyenes hajlítás esetén a
keresztmetszetet terhelo hajlítónyomaték SÍKJA a
tartó tengelye és a keresztmetszet másik
tehetetlenségi foiránya határozza meg.
29
TISZTA (EGYENES) HAJLÍTÁS
A keresztmetszetek torzulás-mentessége miatt a
nyomaték hatására elforduló keresztmet-szet
pontjai egy SÍKRA illesz-kednek, azaz a keletkezo
e faj-lagos nyúlások-összenyomódá-sok a semleges
tengelytol mért távolság lineáris függvényei.

• (Vizsgálatunkat egy x-z síkra szimmetrikus
  tartón, a szimmetriasíkban muködo My nyomatékra
  végezzük. Ez esetben az y tengellyel
  párhuza-mosan a (szimmetria miatt) az e fajlagos
  nyúlások értéke állandó.)

30
TISZTA (EGYENES) HAJLÍTÁS
Az anyag ideális rugalmassága miatt (s E e) a
nyomaték hatására elforduló keresztmet-szet s
feszültségvektorainak végpontjai (is) egy SÍKRA
il-leszkednek, azaz a keletkezo s
normálfeszültségek a semleges tengelytol mért
távolság line-áris függvényei.

• (Vizsgálatunkat egy x-z síkra szimmetrikus
  tartón, a szimmetriasíkban muködo My nyomatékra
  végezzük. Ez esetben az y tengellyel
  párhuza-mosan (a szimmetria miatt) a s
  normálfeszültségek értéke állandó.)

31
TISZTA (EGYENES) HAJLÍTÁS
A km. nyomatéki igénybevéte-le valójában az elemi
felületda-rabokon ébredo (fajlagos) bel-so erok
nyomatékainak össze-ge. Az egy pontban ébredo
ele-mi ero (dF) a pont z koordiná-tájával, az
általa kifejtett nyo-maték (dM) a pont z
koordiná-tájának négyzetével arányos.

• Az ábrán a P ponthoz tartozó dAdydz elemi
  felületet a láthatóság végett nagyra rajzoltuk,
  de ez a határátmenet képzésekor tart a zérushoz,
  azaz a dF elemi ero helye tart a P pont y-z
  koordinátáihoz.

32
TISZTA (EGYENES) HAJLÍTÁS
dFsxdydzsxdAEedAEemax/zmaxzdA
dMzdFzsxdAzEedA zEemax/zmaxzdA E
emax/zmaxz2dA
Mbelso?dM?Eemax/zmaxz2dA Eemax/zmax?z2dA
Eemax/zmaxJysmax/zmaxJy
Mbelso Mkülso
smax/zmaxJy Mkülso
smax Mkülso/Jy zmax
ssmax/zmax z

• A P pontban ébredo s feszültségbol származó elemi
  ero nyomatékát fel-írva és a teljes felületen
  összegezve a külso nyomatékot kell kapnunk.

33
TISZTA (EGYENES) HAJLÍTÁS
dFsxdydzsxdAEedAEemax/zmaxzdA
dMzdFzsxdAzEedA zEemax/zmaxzdA E
emax/zmaxz2dA
Mbelso?dM?Eemax/zmaxz2dA Eemax/zmax?z2dA
Eemax/zmaxJysmax/zmaxJy
Mbelso Mkülso
smax/zmaxJy Mkülso
smax Mkülso/Jy zmax
ssmax/zmax z

• A P pontban ébredo s feszültségbol származó elemi
  ero nyomatékát fel-írva és a teljes felületen
  összegezve a külso nyomatékot kell kapnunk.

34
TISZTA (EGYENES) HAJLÍTÁS

• A tiszta egyenes hajlítással terhelt
  keresztmetszetben tehát a normál-feszültségek a
  nyomatékkal egye-nes arányban, a keresztmetszet
  (nyomatékvektorral megegyezo állású semleges
  tengelyére vett) inercianyomatékával fordított
  arányban alakulnak, és a vizsgált pontnak csak a
  semleges tengelytol mért z távolságától függnek
  (egyenes arányban).

s(z) Mkülso/Jy z
(Jy foirány!)
s(x,y,z) Mkülso (x) /Jy (x) z
35
TISZTA (EGYENES) HAJLÍTÁS

• A tiszta egyenes hajlítás ese-tében feltételeztük
  a sík ke-resztmetszetek és a tengely-lyel
  párhuzamos elemi szá-lak merolegességének
  állan-dóságát. Emiatt a pontok környezetében
  felvett elemi hasábokban szögtorzulás nem léphet
  fel, azaz a txz feszültség a keresztmetszet
  minden pontjában zérus.

h
dz
dx
dx
36
KÉPLÉKENY TEHERBÍRÁSI TÖBBLET
Ha egy igénybevételi állapot a keresztmetszetben
változó nagy-ságú feszültségeket ébreszt
(haj-lítás, nyírás, csavarás), a legna-gyobb
feszültségu pontok képlé-keny alakváltozása a
keresztmet-szet elmozdulásának növelésével újabb
pontokban-elemi szálak-ban teszi lehetové a
maximális szilárdság elérését és ezzel a
ke-resztmetszetet többletigénybevé-tel
felvételére teszi alkalmassá.
37
KÉPLÉKENY TEHERBÍRÁSI TÖBBLET
A lokális képlékeny alakváltozásokat megengedo
teherbírásnövelo folyamat (elvileg) addig
folytat-ható, míg a keresztmetszet minden pontja,
elemi szála eléri a képlékenységi határt, hiszen
ekkor már a keresztmetszetelmozdulások további
igény-bevételnövekedés nélkül is folytatódnak, a
kereszt-metszet képlékeny teherbírása (is)
kimerült. Ehhez az állapothoz a keresztmetszet
derékszögu elfordulása tartozna, tehát ez az
(elvi) állapot a gyakorlatban sohasem érheto el!
38
KÉPLÉKENY NYOMATÉKBÍRÁS
Ha a mértékadó hajlítónyomaték nem éri el a
rugalmas határértéket, a keresztmetszetben ébredo
normálfeszültségek a magasság mentén (a z
koordináta függvényében) lineárisan változnak, de
még maximális értékük is kisebb az anyagra
jellemzo rugalmas határfeszültségnél.
Ha a mértékadó hajlítónyomaték a rugalmas
határnyomatékkal megegyezo értéku, a
keresztmetszetben ébredo normálfeszültségek a
magasság mentén (a z koordináta függvényében)
lineárisan változnak, és maximális értékük az
anyagra jellemzo rugalmas határfeszültséggel (az
anyag folyási határszilárdságával) azonos.
39
KÉPLÉKENY NYOMATÉKBÍRÁS
Ha a mértékadó hajlítónyomaték a rugalmas
határnyomatékot meghaladja, a keresztmetszet azon
(szélso) elemi szálai, amelyekben a
megnyúlás-összenyomódás már elérte a folyási
határt, a feszültség változatlan értéke mellett
tovább alakváltoznak. Az ennek folytán kialakuló
keresztmetszetelfordulás-növekmény a belso elemi
szálak (rugalmas) feszültségeit is megnöveli. A
belso ero-növekmény (egyre csökkeno erokarral) a
keresztmetszet nyomatéki ellenállását is növeli.
Határesetben már minden elemi szál képlékeny
állapotba került, és a keresztmetszet nem tud
további nyomatékot felvenni, képlékeny csuklóvá
alakul. A képlékeny határállapotban a
keresztmetszet pontjaiban csak a srugalmas, határ
léphet fel.
40
TÉGLALAP KM. KÉPLÉKENY NYOMATÉKI TÖBBLETE
RUGALMAS ÁLLAPOT
KÉPLÉKENY TÖBBLET
41
TÉGLALAP KM. KÉPLÉKENY HATÁRNYOMATÉKA
A keresztmetszet teljes képlékeny határnyomatéka
A képlékeny többlet a nyomaték növekedésének
függvényében egyre lassabban no, a modellünkben
bemutatott képlékeny határállapotot a
keresztmetszet csak végtelen nagy alakváltozások
árán érheti el. A gyakorlati szerkezetekben tehát
ez az elméleti teherbírási tartalék nem érheto
el.
42
KÉPLÉKENY CSUKLÓ
A keresztmetszetben a képlékeny teherbírási
növekmény lokális folyási-morzsolódási hatás
révén mobilizálódik, és visszafordíthatatlan
többlet alakváltozást okoz a szerkezetben.
MH,rug
MH,rug DMképl
Képlékeny nyomatéki határállapot elérésekor a
keresztmetszet (képlékeny) csuklóvá alakul, a
további terheléssel szembeni nyomatéki merevsége
zérusra csökken, így a statikailag határozott
szerkezeteink teherbírása megszunik, a
szerkezetek mozgási mechanizmussá alakulnak.
43
KÉPLÉKENY TARTALÉK
A statikailag határozatlan szerkezeteknek
legalább egy külso vagy belso többletmerevsége
van, így egy keresztmetszet nyomatéki
merevségének elvesztése csak eggyel csökkenti a
szerkezet belso merevségét, de a szerkezet
állékony, teherbíró marad. Az ilyen szerkezetek a
képlékeny csukló(k) kialakulása után is
terhelhetok, mégpedig a képlékeny csuklót valós
csuklóként megjeleníto statikai vázon. A
szerkezet csak akkor tekintendo tönkrementnek, ha
a képlékeny csuklók száma meghaladja a statikai
határozatlanság fokszámát.
44
KÜLPONTOSAN NYOMOTT KM. KÉPLÉKENY TARTALÉKA
Ha a keresztmetszetünket csak hajlítónyoma-ték
terheli, akkor a képlékeny határállapot-ban a
húzott és a nyomott felületek terüle-tének meg
kell egyeznie, azaz a képlékeny ha-tárállapothoz
tartozó hajlítási semleges tengely a húzott és a
nyomott felületek területazonossá-ga alapján
számítható.
h
Hajlítónyomaték és normálero együttes muködése
esetén az egyensúlyi egyenletek a következoképpen
alakulnak
A nyomatéki egyenletet a szelvény alsó szélso
szálára felírva
45
KÜLPONTOSAN NYOMOTT KM. KÉPLÉKENY SZÁMÍTÁSA
A két egyenletbol két ismeretlen határoz-ható
meg. A képlékeny határállapotban tehát ismert
normálerohöz meghatároz-hatjuk a nyomott zóna
magasságát és az egyidejuleg muködtetheto
nyomatékot, vagy fordítva ismert nyomatékhoz
meg-határozhatjuk a nyomott zóna magassá-gát és
az egyidejuleg muködtetheto nor-málerot. Ha a
keresztmetszetben mind a normálero, mind a
nyomaték ismert, ak-kor nem biztos, hogy a
keresztmetszetben kialakul a képlékeny
határállapot.
MkülsoMbelso
NkülsoNbelso
46
HAJLÍTÁS ÉS EGYIDEJU NYÍRÁS

• A hajlítással egyidejuleg muködo nyírás esetén a
  kereszt-metszeti síkok és a tengellyel párhuzamos
  elemi szálak merolegessége NEM tartható, hiszen
  akkor nem ébred-hetne nyírófeszültség, ami
  viszont a nyíróero léte miatt nem lehetséges.
  Ennek ellenére (a tapasztalatok szerint) a
  nyomatékból származó normálfeszültségek értékének
  és eloszlásának meghatározására jó közelítéssel
  elfogad-ható a tiszta egyenes hajlítás
  összefüggése. Ugyancsak elfogadható az a
  feltevés, hogy a hajlítónyomatékból CSAK
  normálfeszültség, a nyíróerobol CSAK
  nyíró-feszültség keletkezik.

47
HAJLÍTÁS ÉS EGYIDEJU NYÍRÁS
A tartó x koordinátájú kereszt-metszetében muködo
igénybe-vételek My(x) és Tz(x). Az xdx
koordinátájú metszetben muködo igénybevételek
My(xdx) és Tz(xdx). A tar-tószeletre a
véglapokon mukö-do nyomatékok nem egyenlí-tik ki
egymást, és így az ezek-bol származó
normálfeszültsé-gek sem.
dx
My(xdx)
y
x
yP

• Az x irányú egyensúlyt csak a szelet belsejében
  (a z normá-lisú síkon) ébredo tzx
  nyírófeszültségek révén biztosítható.

48
HAJLÍTÁS ÉS EGYIDEJU NYÍRÁS
A tartó x koordinátájú keresztmetszetében muködo
igénybevételek My(x) és Tz(x). Az xdx
koordinátájú keresztmetszetben muködo
igénybevételek My(xdx) és Tz(xdx). Az My(x)
és a Tz(x) függvényeket sorba fejtve, az elsofokú
tagokat megtartva
dx
xdx
x
x
F(x)
F közelíto,1 fok (xdx) F(x)F(x)dx
F közelíto,0 fok (xdx) F(x)
F(xdx)
egy F(x) függvény sorbafejtésének 0-adfokú és
elsofokú tagjai
49
HAJLÍTÁS ÉS EGYIDEJU NYÍRÁS

• A fentiek szerint a tartó dx vastagságú szeletére
  az x koor-dinátájú (vég)keresztmetszetben My(x),
  az xdx koordiná-tájú keresztmetszetben
  My(x)dMy(x) nyomaték muködik. Ennek alapján a
  tartó dx vastagságú szeletének két oldalán muködo
  s normálfeszültségeknek az My(x) nyomatékból
  származó része x irányú vetületben kiegyenlíti
  egymást, x irányú kiegyenlítetlen ero csak az
  xdx koordinátájú met-szetet terhelo dMy
  nyomatéki többletbol származik. Ha a
  tartószeletet egy z koordinátájú magasságban
  vízszintesen (is) elvágjuk, a megmaradó (alsó
  vagy felso) elemre felírva a SFix0 vetületi
  egyenletet, a dMy nyomatékból származó
  kiegyenlítetlen normálfeszültségeket csak a
  vízszintes met-szetben keletkezo
  nyírófeszültségek kompenzálhatják.

50
HAJLÍTÁS ÉS EGYIDEJU NYÍRÁS
a dx vastagságú szeletet a vizsgálandó pont
magasságában vízszintesen (is) elvágjuk
SFix0
yP

• A s feszültségek itt már csak a nyomaték
  növekményébol származnak, dM/dx pedig a (negatív)
  nyíróerot adja.

51
HAJLÍTÁS ÉS EGYIDEJU NYÍRÁS
A hajlított-nyírt tartó egy pontjában a
nyíróerobol származó és vele párhu-zamos vektorú
nyírófeszültség tehát egyenesen arányos a T
nyíróerovel, az elcsúszni akaró rész-nek a
hajlí-tási semleges tengelyre vett statikai
nyomatékával, fordítottan arányos a
keresztmetszeti síkidomnak a hajlítási semleges
tengelyre vett inercianyo-matékával és a
keresztmetszetnek a pontban, a hajlítási
tengellyel párhu-zamosan mért szélességével.

• A t feszültségekre a víz-szintes síkú metszeten a
  keresztirányú eloszlást a szimmetria miatt, a
  hossz-irányú eloszlást a határát-menetben 0-hoz
  tartó vas-tagság miatt konstansnak tekinthetjük.

52
FERDE HAJLÍTÁS

• Ha a keresztmetszetre muködo eredo
  hajlítónyomaték vek-tora nem foirányban áll, a
  keresztmetszet igénybevételét ferde hajlításnak
  nevezzük.

2. alapeset a kereszt-metszet szimmetrikus, de
mindkét foirány síkjában terhelt
1. alapeset a keresztmetszet szimmetrikus, de
állása miatt a terhelés síkja nem foirányban áll
3. alapeset a keresztmetszet nem szimmetrikus, a
teher az oldalélekkel párhuzamo-san muködik
53
FERDE HAJLÍTÁS

• Ha a keresztmetszetre muködo eredo
  hajlítónyomaték vek-tora nem foirányban áll, a
  keresztmetszet igénybevételét ferde hajlításnak
  nevezzük.

a terhelés síkja
a terhelés síkja
a terhelés síkja
2. alapeset a kereszt-metszet szimmetrikus, de
mindkét foirány síkjában terhelt
1. alapeset a keresztmetszet szimmetrikus, de
állása miatt a terhelés síkja nem foirányban áll
3. alapeset a keresztmetszet nem szimmetrikus, a
teher az oldalélekkel párhuzamo-san muködik
54
FERDE HAJLÍTÁS

• Ha a keresztmetszet tehetet-lenségi foirányai
  ismertek, a nyomatékvektor mindig fel-bontható
  foirányokba eso összetevokre, amelyek
  kü-lön-külön egyenes hajlítás-ként kezelhetok. A
  kereszt-metszet pontjaiban a két e-gyenes
  hajlításból származó normálfeszültségeket
  skalá-risan összegezve kapjuk a ferde hajlításból
  adódó nor-málfeszültség-eloszlást.

Mz
a semleges tengely átmegy a súlyponton, de nem
esik egybe a nyomatékvektorral!
55
FERDE HAJLÍTÁS

• Ha a keresztmetszet csak az egyik tehetetlenségi
  fo-irányban álló nyomaték terheli, a semleges
  tengely a nyomatékvektorral egybe- esik, a
  normálfeszültségek a semleges tengellyel
  párhu-zamos metszetekben kons-tans értékuek, a
  semleges tengelyre meroleges met-szetekben
  lineárisan válto-zó értékuek lesznek.

a semleges tengely átmegy a súlyponton, és
egybeesik a nyomatékvektorral!
56
FERDE HAJLÍTÁS

• Ha a keresztmetszet csak az egyik tehetetlenségi
  fo-irányban álló nyomaték terheli, a semleges
  tengely a nyomatékvektorral egybe- esik, a
  normálfeszültségek a semleges tengellyel
  párhu-zamos metszetekben kons-tans értékuek, a
  semleges tengelyre meroleges met-szetekben
  lineárisan válto-zó értékuek lesznek.

a semleges tengely átmegy a súlyponton, és
egybeesik a nyomatékvektorral!
57
FERDE HAJLÍTÁS

• Ha a keresztmetszetet mind-két tehetetlenségi
  foirány körül terheli nyomaték, ak-kor a két
  (külön-külön egye-nes hajlításként kezelt)
  nyo-matékból származó normál-feszültségeket
  pontonként rendre elojelhelyesen ösz-szadva
  rajzolódik ki a ke-resztmetszet
  normálfeszült-ségeinek eloszlása.

My
zv2
a semleges tengely átmegy a súlyponton, de nem
esik egybe a nyomatékvektorral! a
feszültségvektorok végpontjai egy, a súlyponton
átmeno ferde síkra illeszkednek!
58
FERDE HAJLÍTÁSNYÍRÁS

• Ha a keresztmetszetet csak az egyik
  szimmetriatengelyben álló nyíróero terheli, a
  nyíró-feszültségek a(z egyidejuleg muködo
  nyomatékhoz tarto-zó) semleges tengellyel
  pár-huzamos metszetekben kons-tans értékuek, a
  semleges ten-gelyre meroleges metszetek-ben
  (téglalap keresztmetszet esetén) parabolikusan
  válto-zó értékuek lesznek.

a parabola csak az eloszlást mutatja, a
nyí-rófeszültségek a nyíróerovel párhuzamosak
59
FERDE HAJLÍTÁSNYÍRÁS

• Ha a keresztmetszetet csak az egyik
  szimmetriatengelyben álló nyíróero terheli, a
  nyíró-feszültségek a(z egyidejuleg muködo
  nyomatékhoz tarto-zó) semleges tengellyel
  pár-huzamos metszetekben kons-tans értékuek, a
  semleges ten-gelyre meroleges metszetek-ben
  (téglalap keresztmetszet esetén) parabolikusan
  válto-zó értékuek lesznek.

txy,P
zv2
a parabola csak az eloszlást mutatja, a
nyí-rófeszültségek a nyíróerovel párhuzamosak
60
FERDE HAJLÍTÁSNYÍRÁS

• Ha a keresztmetszetet mind-két szimmetriatengelybe
  n nyíróero terheli, a nyírófe-szültségek
  pontonként a kü-lön-külön meghatározott
  nyí-rófeszültségek vektoriális összegzésével
  határozhatók meg. (Ha a keresztmetszet határoló
  élei a nyíróerokkel párhuzamosak, keresztirányú
  nyírófeszültség egyik nyíró-erobol sem származik.)

x
txy,P
txz,P
a parabola csak az eloszlást mutatja, a
nyíró-feszültségek a nyíróerokkel párhuzamosak
61
FERDE HAJLÍTÁS

• Ha a keresztmetszeti síkidom tehe-tetlenségi
  foirányai az oldalélekkel nem párhuzamosak,
  egyetlen (akár y vagy z tengelyu) nyomaték is
  fer-de hajlításként kezelendo. Az u-v koordináták
  az y-z koordinátákból a fenti transzformációval
  elojelhe-lyesen kaphatók.

(u y cos a z sin a v -y sin a z
cos a)
62
FERDE HAJLÍTÁS

• Ha a keresztmetszeti síkidom tehe-tetlenségi
  foirányai az oldalélekkel nem párhuzamosak,
  egyetlen (akár y vagy z tengelyu) nyomaték is
  fer-de hajlításként kezelendo. Az u-v koordináták
  az y-z koordinátákból a fenti transzformációval
  elojelhe-lyesen kaphatók.

(u y cos a z sin a v -y sin a z
cos a)
63
HAJLÍTÁS ÉS EGYIDEJU NYÍRÁS

• A Ty nyíróerobol keletkezo nyírófe-szültségek
  meghatározhatóságához az szükséges, hogy az y
  tengely a ke-resztmetszet szimmetriatengelye
  le-gyen. Ez esetben a nyíróerovel meg-egyezo
  állású txy nyírófeszültség

My
(a szimmetria miatt a txz a pont y
koordinátájának nem függvénye!)
64
HAJLÍTÁS ÉS EGYIDEJU NYÍRÁS

• A keresztmetszet kerülete mentén az
  érintosíkokban (a valami és a semmi
  határfelületén) nyírófeszültség nem ébredhet.
  Emiatt a keresztmetszeti eredo nyírófeszültségek
  a kerületi pontokban érintoirányúak lesznek. Ez
  azonban csak úgy lehetséges, ha a Ty nyíróero
  irányára meroleges nyírófeszültségek is ébrednek

My
(a szimmetria miatt a txy a pont y
koordinátájának lineáris függvénye!)
65
HAJLÍTÁS ÉS EGYIDEJU NYÍRÁS

• A Ty nyíróerobol keletkezo nyíró-feszültségek
  meghatározhatóságá-hoz az szükséges, hogy az y
  ten-gely a keresztmetszet szimmetria-tengelye
  legyen. Ez esetben a nyíróerovel megegyezo állású
  txy nyírófeszültség

y
Ty
Mz
z
(a szimmetria miatt a txy a pont z
koordinátájá-nak nem függvénye!)
66
HAJLÍTÁS ÉS EGYIDEJU NYÍRÁS
A keresztmetszet kerülete mentén az
érintosíkokban (a valami és a semmi
határfelületén) nyírófe-szültség nem ébredhet.
Emiatt a keresztmetszeti eredo nyírófe-szültségek
a kerületi pontokban érintoirányúak lesznek. Ez
azonban csak úgy lehetséges, ha a Ty nyíróero
irányára meroleges nyírófeszültségek is ébrednek
y
Ty
Mz
z
(a szimmetria miatt a txy a pont z
koordinátájának lineáris függvénye!)
67
FERDE HAJLÍTÁS ÉS NYÍRÁS

• Ha mind az y, mind a z tengely szimmetriatengely,
  mindkét ten-gely mentén muködhet kereszt-metszeti
  nyíróero. A kerületi pontokban a Tz és a Ty
  hatására ébredo eredo nyírófeszültségek vektora
  egy egyenesbe esik, értékük tehát skalárisan (is)
  összegezheto.

(az ábra a keresztmetszet negyedét mutatja!)
68
FERDE HAJLÍTÁS ÉS NYÍRÁS

• Ha mind az y, mind a z tengely
  szimmetriatengely, mind- két tengely mentén
  muködhet keresztmetszeti nyíró-ero. A belso
  pontokban a Tz és a Ty hatására ébredo eredo
  nyírófeszültségek vektora nem egy egyenesbe esik,
  értékük tehát csak vektoriálisan összegezheto.

(az ábra a keresztmetszet negyedét mutatja!)
69
HAJLÍTÁS ÉS EGYIDEJU NYÍRÁS
A hajlított-nyírt tartók viselkedése kapcsán
bemutatjuk, hogy a tar-tómagasság/támaszköz arány
hogyan befolyásolja a feszültségek alakulását,
meddig alkalmazhatók a gerendaszerkezetekre
levezetett feszültségszámítási eljárások.
A hajlított-nyírt gerendában az alakváltozás az
alsó és a felso szélso szálban gyakorlatilag
azonos görbületu, a keresztmetszetek az
alak-változás után is síkok maradnak.
70
HAJLÍTÁS ÉS EGYIDEJU NYÍRÁS
Az ábrában a színek határvonalai az azonos
normálfeszültségu ponto-kat mutatják. A
hajlított-nyírt gerendában a keresztmetszeti
normál-feszültségek változása a tartó közbenso
szakaszán a legerosebb.
(Az ábra technikai okokból egy (gerendára
jellemzo geometriai arányokkal rendelkezo)
kéttámaszú tárcsa metszeteroinek eloszlását
mutatja. A támaszok feletti elszínezodések az
alátámasztásokból származó helyi, z irányú
feszültségek lokális hatását jelzik.)
71
HAJLÍTÁS ÉS EGYIDEJU NYÍRÁS
Az ábrában a színek határvonalai az azonos
nyírófeszültségu ponto-kat mutatják. A
hajlított-nyírt gerendában a keresztmetszeti
nyíró-feszültségek változása a tartóvégek
közelében a legerosebb.
(Az ábra technikai okokból egy (gerendára
jellemzo geometriai arányokkal rendelkezo)
kéttámaszú tárcsa metszeteroinek eloszlását
mutatja. A támaszok feletti elszínezodések az
alátámasztásokból származó helyi, z irányú
feszültségek lokális hatását jelzik.)
72
HAJLÍTÁS ÉS EGYIDEJU NYÍRÁS
A hajlított-nyírt gerendában a normálfeszültségek
a magasság mentén lineárisan, a hossz mentén a
nyomatéki ábrának megfeleloen (itt
parabolikusan) alakulnak.
(Az ábra technikai okokból egy (gerendára
jellemzo geometriai arányokkal rendelkezo)
kéttámaszú tárcsa metszet- eroinek eloszlását
mutatja, az irányok emiatt szokatlanok.)
73
HAJLÍTÁS ÉS EGYIDEJU NYÍRÁS
A hajlított-nyírt gerendában a nyírófeszültségek
a magasság mentén parabolikusan, a hossz mentén
a nyíróero ábrá- nak megfeleloen (itt
lineárisan) alakulnak.
(Az ábra technikai okokból egy (gerendára
jellemzo geometriai arányokkal rendelkezo)
kéttámaszú tárcsa metszet- eroinek eloszlását
mutatja, az irányok emiatt szokatlanok.
Ugyancsak emiatt látható a tartóvégeknél az egy
ponthoz kötött nyíróerováltozás helyett a
metszeterokre-feszültségekre jellemzo átmenetes
változás.)
74
HAJLÍTÁS ÉS EGYIDEJU NYÍRÁS
A hajlított-nyírt gerendában a normálfeszültségek
a magasság mentén lineárisan, a hossz mentén a
nyomatéki ábrának megfeleloen (itt lineárisan)
alakulnak.
(Az ábra technikai okokból egy (gerendára
jellemzo geometriai arányok- kal rendelkezo)
kéttámaszú tárcsa metszeteroinek elosz- lását
mutatja, az irányok emiatt szokatlanok. A
koncentrált ero helyén a lokális z irányú
feszültség hatása jelenik meg.)
75
HAJLÍTÁS ÉS EGYIDEJU NYÍRÁS
A hajlított-nyírt gerendában a nyírófeszültségek
a magasság mentén parabolikusan, a hossz mentén
a nyíróero ábrá- nak megfeleloen (itt
konstansként) alakulnak.
(Az ábra technikai okokból egy (gerendára
jellemzo geometriai arányokkal rendelkezo)
kéttámaszú tárcsa metszet- eroinek eloszlását
mutatja, az irányok emiatt szokatlanok.
Ugyancsak emiatt látható a tartóvégeknél és a
koncentrált ero helyén az egy ponthoz kötött
nyíróerováltozás helyett a metszeterokre-feszültsé
gekre jellemzo átmenetes változás.)
76
HAJLÍTÁS ÉS EGYIDEJU NYÍRÁS
A tartómagasságot L/10-rol L/2-re növelve a tartó
(most már faltartó, vagy tárcsa) alsó és felso
szálá-ban látahtóan eltéro a görbület, és emiatt
várható, hogy a keresztmetszetek sem maradhatnak
síkok.
77
HAJLÍTÁS ÉS EGYIDEJU NYÍRÁS
A kéttámaszú faltartóban a az alakváltozás az
alsó és a felso szélso szálban gyakorlatilag
azonos görbületu, a keresztmetszetek az
alak-változás után is síkok maradnak.
78
HAJLÍTÁS ÉS EGYIDEJU NYÍRÁS
79
HAJLÍTÁS ÉS EGYIDEJU NYÍRÁS
A kéttámaszú faltartóban a keresztmetszeti
normál- feszültségek a magasság mentén nem
lineárisak, a támaszok- hoz közeledve
a keresztmet- szet semleges
tengelye egyre alacsonyabbra
kerül.
80
HAJLÍTÁS ÉS EGYIDEJU NYÍRÁS
A kéttámaszú fal-tartóban a kereszt-metszeti
nyírófe-szültségek a ma-gasság mentén nem
szimmetriku-sak a támaszok-hoz közeledve a
maximumhely egyre alacso-nyabbra kerül.
81
TISZTA CSAVARÁS
A tartó tengelyével párhuzamos állású nyomaték
által a kereszt-metszetben kialakuló, a
kereszt-metszetet a rúd tengelye körül elcsavarni
akaró igénybevételi állapotot csavarásnak
nevezzük. Ha a csavarónyomaték egyedüli
keresztmetszeti igénybevétel, tiszta csavarásról
beszélünk.
A csavarási hatás centrális szimmetriája miatt a
csavarásból származó feszültségek vizsgálatát
eloször körszimmetrikus tulajdonságú
keresztmetszeteken végezzük el.
82
KÖRSZIMMETRIKUS SZELVÉNY CSAVARÁSA
A folytonosság, a megelozo-követo
keresztmetszetek illeszkedése csak akkor
biztosítható, ha a csavarónyomatékból származó
nor-málfeszültség a teljes keresztmetszetben
azonosan zérus. A Bernoulli-Navier hipotézisnek
az elso fele, amely szerint a kereszt-metszetek a
bekövetkezo alakváltozások után is síkok
maradnak, a csavarás esetében is igaz.
A csavarásból tehát a keresztmetszetben csak
nyírófeszültség keletkezik, azaz egy dx
vastagságú lamella vastagsága az elcsavaro-dás
nyomán nem változik. Az anyag folytonossága,
szakadás- és torlódásmentessége a csatlakozó
metszetekben csak akkor áll fenn, ha a t
feszültségnek nincs sugárirányú összetevoje, azaz
a csava-rásból származó nyírófeszültség vektora -
a körszimmetrikus keresztmetszetekben - mindig
érinto irányú.
83
KÖRSZIMMETRIKUS SZELVÉNY CSAVARÁSA
Az elcsavarodásból származó g nyírási
szögtorzulás mértéke a pontnak a ten-gelytol mért
távolságával arányos, az-az a g szögtorzulásból
számítható tx nyírófeszültség az r sugár lineáris
függvénye lesz. A dx vastagságú lamellán a
kerület mentén a df elcsavarodásból származó
(ívmenti) eltolódás meg fog egyezni a hossz
mentén a g szögtorzulásból adódó eltolódással.
rdf gdx gr(df/dx)
84
KÖRSZIMMETRIKUS SZELVÉNY CSAVARÁSA
A csavarásból a körszimmetrikus kereszt-metszetu
rúdon keletkezo fajlagos elcsa-varodás tehát az
Mcs csavarónyomatékkal egyenesen, a GJ?
csavarómerevséggel pedig fordítottan arányos.
A körszimmetrikus szelvények csavarási
nyírófeszültségi-fajlagos elcsavarodási képletei
tehát struktúrájukban teljesen megegyeznek az
egyenes hajlítás normálfeszültségi-fajlagos
elfordulási összefüggéseivel, a különbség csak
annyi, hogy a csavarásból nyíró, a hajlításból
normálfeszültségek keletkeznek.
Felhasználva a nyírófeszültségre levezetett
txGgGr(df/dx) összefüggést, és ebbol
kifejezve tx-et
85
CSAVARÁS A GERENDAKAPCSOLATOKBAN
A fióktartó (konzol) végkeresztmetszetén mu-ködo
F erot a fotartó (gerenda) csavarónyoma-tékokkal
(emellett nyíróerokkel és hajlítónyo-matékokkal
is) egyensúlyozza.
86
VÉKONYFALÚ ZÁRT SZELVÉNY CSAVARÁSA (BREDT-KÉPLET)
A fal vékonysága miatt a v falvastagság mentén a
nyírófeszültségeket egyenletes eloszlásúnak
tekinthetjük, így t1v1dxt2v2dx, azaz a
vékonyfalú zárt szelvény csavarása során a
keresztmetszetben ébredo (a falvastagság mentén
állandó) nyírófeszültségek és a falvastagságok
szorzata (a nyírófolyam) állandó.
t1v1t2v2tv
87
VÉKONYFALÚ ZÁRT SZELVÉNY CSAVARÁSA
A falvastagságok felezopontjait összeköto görbén
mért ds hosszúságú szakaszon ébredo
nyírófeszültségek által az x tengelyre kifejtett
elemi nyomaték körintegrálásával a teljes
keresztmetszet nyírófeszültségeinek nyomatékát
kapjuk, aminek a terhelo csavarónyomatékkal kell
megegyeznie.
dMcsdMxr(tv)ds(tv)r2da
McsMx?r(tv)ds2(tv)?rds/22(tv)AK
Mcs(tv)?r2da
88
VÉKONYFALÚ ZÁRT SZELVÉNY CSAVARÁSA
A nyírófeszültségek elemi csavarónyomatékait az a
teljes 2p tartományán integrálnunk kell, de ennek
során a (tv) szorzat állandóként kiemelheto, és
az integrálkifejezés a K középvonal által
határolt terület nagyságát adja.
AK
McsMx?r(tv)ds2(tv)?rds/22(tv)AK
McsMxtv2AK ?txMcs/(2AKvmin)
89
VÉKONYFALÚ ZÁRT SZELVÉNY CSAVARÁSA
A vékonyfalú zárt szelvény csavarásából származó
nyírófeszült-ségek számítási összefüggése igen
egyszeru, de tudnunk kell, hogy közelítés, hiszen
a falvastagság mentén állandó nyírófeszültségek-ke
l számol, pedig a csavarási elcsúszás (az
elcsavarodás) a tengely-tol mért távolsággal
lineárisan növekszik. A közelítéssel elkövetett
hiba a falvastagság növekedésével no. Ugyanakkor
azt is tudjuk, hogy a zárt szelvény csavarási
ellenállása, csavarómerevsége igen nagy, így a
csavarónyomatékokból általában kis értéku
nyírófe-szültségek keletkeznek. A közelítéssel
elkövetett hiba tehát egy (relatíve) kicsiny
feszültségnek (az esetleg magas százalékos)
hányadaként is a teljes nyírófeszültség abszolút
értékében (az egyéb hatásokból származó
nyírófeszültségekkel összevetve) nem okoz nagy
hibát.
90
VÉKONYFALÚ ZÁRT SZELVÉNY CSAVARÁSA
Ide kívánkozik a mérnöki számításoknak egy fontos
elve
a pontos eredménytelenségnél hasznosabb a
pontatlan eredmény
91
ZÁRT SZELVÉNY CSAVARÁSA
A BREDT-képlet lehetové teszi bonyolult
szekrénytartók csava-rási (nyíró-)
feszültségeinek egyszeru meghatározását, igaz,
hibá-val terhelten. Az alternatíva az, hogy vagy
nem tudjuk ezeket a feszültségeket kiszámítani,
vagy igen bonyolult matematikai apparátust kell
alkalmaznunk. A közelíto számítás révén kapott
érték hibáját megbecsülve szerkezeteink
megfelelosége egyszeruen és kielégíto
pontossággal ellenorizheto.
A szekrénytartó valós falvastagsága mellett a
hiba akár 50 is lehet, de megfelelo
rátartással a szerkezet jól kezelheto
92
A BREDT-KÉPLET HIBABECSLÉSE
Körszimmetrikus szerkezeten alkalmazva a pontos
és a BREDT-féle feszültségszámítást, a
falvastagság függvényében adhatunk becslést a
hasonló középvonal-területu, de nem szabályos
idomok feszültségértékeinek hibájára.
93
TÉGLALAP KM-U RÚD CSAVARÁSA
A derékszögu négyszög keresztmetszetek
sarokpontjaiban a dualitás miatt keresztmetszeti
nyírófeszültség sem az y, sem a z irányban nem
ébredhet. Ennek megfeleloen a sarokpontokban
nyírási szögtorzulás sem keletkezhet. Ugyanakkor
a kereszt-irányban kivágott dx vastagságú
lamellán a csavarónyomatékot csak a
keresztmetszet síkjában ébredo, tx
nyírófeszültségek képesek egyensúlyozni. Másként
fogalmazva a csavarónyoma-ték (közvetlenül) a
keresztmetszet síkjában okoz alakváltozáso-kat,
tehát itt kell keletkezniük az alakváltozásokhoz
igazodó fajlagos belso eroknek, feszültségeknek
is.
94
TÉGLALAP KM-U RÚD CSAVARÁSA
A téglalapszelvényben a z tengellyel párhuzamos
oldalélek belso pontjaiban a dualitás már nem
tiltja a txz nyírófeszültségek létét, így e vonal
mentén kell szá-mítanunk z irányú
nyírófeszültségekre. A feszültségekkel
összefüggo, az x-z síkban kialakuló nyírási
szögtorzulás viszont csak a pontok hossztengely
irá-nyú eltolódásai révén valósulhat meg, azaz a
Bernoulli-Navier hipotézisnek már az elso fele (a
keresztmetszetek a bekövetkezo alakváltozások
után is síkok maradnak) sem tartható. A nem
körszimmetrikus szelvények csavarása során a
keresztmetszet pont-jaiban hosszirányú,
rúdtengely-irányú alakváltozások is létrejönnek,
a ke-resztmetszet öblösödik. Ha a rúdvégek
megtámasztottsága olyan (merev), hogy e
hosszirányú alakválto-zások kialakulását meg
tudja akadályozni, gátolt csavarásról beszélünk,
A gá-tolt csavarás esetében x irányú nyúlások nem
ébrednek, a keresztmetszet sík marad, nem torzul,
viszont az x irányú nyúlások-összenyomódások
gátlása mi-att a keresztmetszetben x irányú, azaz
normálfeszültségekkel is számolnunk kell.
95
TÉGLALAP KM-U RÚD CSAVARÁSA
txzMx 0!
Az ábrán a téglalapszelvény kerülete mentén az Mx
csavarónyomatékból ébredo nyírófeszültségek
alakulását mutatjuk be. Megjegyezzük, hogy a
nyíró-feszültségek a keresztmetszet síkjában
keletkeznek, a be-rajzolt görbék csak a
feszült-ségek nagyságának változását jelzik.
txyMx 0!
txz
Mcs
x
y
h
txy
z
b
96
TÉGLALAP KM-U RÚD CSAVARÁSA
A téglalapszelvény csavarása során a hosszabbik
oldal közép-pontjában keletkezo maximális
nyírófeszültség értéke a következo közelíto
összefüggéssel határozható meg
Ebben az esetben az A-B szakaszon kialakuló
elcsavarodás szögét a következo kifejezéssel
közelíthetjük

97
TÉGLALAP KM-U RÚD CSAVARÁSA
Ha a szelvény kisebbik mérete a nagyobbikhoz
képest lényege-sen (nagyságrenddel) kisebb, a b/h
a zérushoz közelít, így a (mindig a hosszabbik
oldal felezopontjában keletkezo) maximális
nyírófeszültség
Ebben az esetben az A-B szakaszon kialakuló
elcsavarodás szögét a következo kifejezéssel
közelíthetjük

98
TÉGLALAP KM-U RÚD CSAVARÁSA
A b3h/3 kifejezést mind a nyírófeszültség, mind
az elcsavarodás képletében megtalálhatjuk. Ezt a
kifejezést, amely funkcióját tekint-ve a
hajlított keresztmetszet tehetetlenségi
nyomatékával, ill. a csavart körszimmetrikus
szelvény poláris inercianyomatékával egyezik meg,
keresztmetszet csavarási ellenállóképességének,
Jcs csavarási inerciájának nevezzük. A csavarási
inercia felhaszná-lásával a maximális
nyírófeszültség, ill. az állandó
csavaróigény-bevétel esetén az A-B szakaszon
kialakuló elcsavarodás összefüg-gése a
következokre egyszerusödik

99
TÉGLALAP KM-U RÚD CSAVARÁSA
Vegyük észre, hogy a csavaróinercia közelíto
összefüggésében mindig a rövidebbik oldal van a
harmadik hatványon, a maximális nyírófeszültség
viszont mindig a hosszabbik oldalak
felezopontjaiban keletkezik. Összetett
szelvények csavarása esetén a keresztmetszetet
téglalap-elemekre bontva határozhatjuk meg a
csavaróinerciát. Ne feledjük, a közelíto
összefüggésben is mindig a téglalap-elem
rövidebbik oldala van a harmadik hatványon,
függetlenül az elem állásától. A mérnöki
gyakorlatban az ipari termékként kapható
rúdszelvények keresztmetszeti jellemzoi
táblázatosan hozzáférhetok, a szerkezetszámító
programok pedig tetszoleges termék vagy általunk
felvett síkidom-elem felhasználásával képesek
bármilyen összetett szelvény keresztmetszeti
jellemzoit meghatározni. Végül jegyezzük meg,
hogy az elemekbol összeállított zárt szelvény
csavaróinerciája mindig sokszorosa az ugyanazon
elemekbol összeállított, de nem zárt szelvény
csavarási ellenállásának. Ennek megfeleloen ha
egy rúdban csavaróigénybevételekre számítanunk
kell, keresztmetszeti kialakításként igen erosen
ajánlott zárt szelvényt alkalmazni.