Conjuntos de puntos en el plano complejo

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Conjuntos de puntos en el plano complejo
Un conjunto S de puntos en el plano complejo es
cualquier colección finita o infinita de puntos
en el plano complejo. Por ejemplo las soluciones
de una ecuación cuadrática, los puntos de una
línea, los puntos del interior de un círculo,
etc.
Qué lugares geométricos describen las siguientes
ecuaciones?
La ecuación Arg z ? define una semirecta
infinita de pendiente ?. Entonces la desigualdad
anterior define un sector infinito comprendido
entre las semirectas infinitas Arg z ? y Arg z
?.
(...)
2
Un conjunto de puntos S se llama abierto si cada
punto de S tiene un vecindad constituida
enteramente por puntos que pertenecen a S. Por
ejemplo los puntos del interior de un círculo o
un cuadrado. El complementario de un conjunto de
puntos S es el conjunto de todos los puntos que
no pertenecen a S. Un conjunto de puntos S se
llama cerrado si su complementario es abierto.
Ej. los puntos sobre y dentro de un círculo o
un cuadrado, puesto que sus complementarios (los
puntos exteriores al círculo o al cuadrado) son
abiertos.
3
La distancia entre dos puntos z y a es z-a. De
modo que un círculo C de radio ? y centrado en
a, puede expresarse como z-a ?
z
C es abierto o cerrado?
En particular, el círculo de radio unidad
centrado en el origen puede escribirse como
z 1
4
Los puntos dentro del círculo C vienen
representados por z-a lt ? (un entorno abierto
centrado en a).
0 lt z-a lt ? define un entorno punteado.
z
define un entorno circular cerrado centrado
en a.
z
y
?1
a
El anillo abierto de radios ?1 y ?2, viene dado
por ?1 lt z-a lt ?2
?2
x
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(1) Determina la región en el plano complejo dada
por z-3-i 4
y
4
3i
Es la región circular cerrada de radio 4 con
centro en 3i.
x
(2) Determina las regiones (a) zlt1 (b) z
1 (c) z gt1
(a) Círculo unidad abierto (b) Círculo unidad
cerrado (c) Exterior del círculo unidad.
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Qué lugar geométrico describe la siguiente
ecuación?
Una elipse de focos en -2 y 2 (suma de distancias
a los focos igual a 5) con semieje mayor igual a
5/2).
Ejercicio Qué representan las siguientes
ecuaciones?
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• Un punto interior de un conjunto S es un punto
  para el que
• podemos encontrar un entorno o vecindad cuyos
  puntos
• pertenecen todos a S. Por ejemplo, el centro de
  un círculo.
• Un punto frontera de un conjunto S es un punto
  tal que
• todo entorno alrededor de él contiene puntos que
  pertenecen a
• S y que no pertenecen a S. Por ejemplo los puntos
  que forman
• la frontera de un círculo.
• Si un punto no es interior ni frontera de un
  conjunto de
• puntos S, entonces es un punto exterior a S.
• Entonces, si S es abierto no posee puntos
  frontera, solo
• puntos interiores. Si S es cerrado posee también
  a sus puntos
• frontera.
• Algunos conjuntos no son ni abiertos ni cerrados.
  Contienen
• algunos puntos frontera. Por ejemplo un entorno
  punteado.
• El plano complejo C es abierto y cerrado a la
  vez. No posee puntos frontera.

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Conjuntos conexos
Un conjunto S se llama conexo si cualquier par de
sus puntos pueden conectarse mediante un camino
formado por puntos que pertenecen a S. Un
abierto conexo se denomina dominio. P.ej. todo
entorno es un dominio.
Son los siguientes conjuntos de puntos dominios?
?
?
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• Una región es un conjunto formado por un dominio,
  más,
• quizás, algunos o todos sus puntos frontera
  (Cuidado
• algunos autores usan región para indicar
  dominio).
• Un conjunto es acotado si todo punto de S está
  dentro de
• algún círculo z R. En caso contrario es no
  acotado.
• Un punto de S se dice que es de acumulación si
  cada
• entorno punteado del mismo contiene al menos un
  punto de S.
• Entonces, si S es cerrado contiene a todos sus
  puntos de
• acumulación.
• Un punto no es de acumulación si existe un
  entorno
• punteado del mismo que no contenga puntos de S.
  P.ej.
• Todos los puntos del conjunto S i/n (n
  1,2,...) no son de
• acumulación a excepción del cero.

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Semiplanos infinitos
Semiplano superior el conjunto de todos los
puntos z xiy tales que y gt 0 o Im(z) gt 0.
Inferior z xiy tales que y lt 0 o Im(z) lt 0.
Derecho z xiy tales que x gt 0 o Re(z) gt
0.
Izquierdo z xiy tales que x lt 0 o Re(z)
lt 0

• Qué regiones describen?
• Im(z) 0, (b) Im(z) a,
• (c) Re(z) 0, (d) Re(z) a

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Funciones complejas
Sea S un conjunto de números complejos z
xiy. Una función f definida sobre S es una regla
que asigna a cada z en S un número complejo w
llamado valor de f en z.

• w f(z)
• z es una variable compleja.
• S es el dominio de definición de f.
• El conjunto de valores de la función f se llama
  rango de f.

• Como w es complejo (w ui v con u y v reales)
  podemos escribir
• w f(z) u(x,y) i v(x,y)
• Una función compleja f(z) es equivalente a un par
  de funciones reales u(x,y) y v(x,y), cada una
  dependiente de dos variables reales x e y.

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Ejemplos
Función de variable compleja
Cuáles son los dominios de definición de
estas funciones?
Parte real Parte imaginaria
Cuál es el valor de en
?
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• Ejemplos
• Polinomios de grado n
• donde c0, c1...cn son constantes complejas y cn
  es distinto de
• cero.
• Funciones racionales (cocientes de polinomios)
• Si en f(z) uiv, v v(x,y) 0, entonces f
  es una función de variable compleja con valores
  reales. P.ej. f(z) z2 x2 y2 .

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Representación geométrica cartesiana
Funciones de variable real
Variable real
Asignación
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Funciones de variable compleja
Cómo representarlas geométricamente?
Parte imaginaria
Imagen
Preimagen. Cuál es la otra?
Parte real
Asignación
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Representación mediante dos planos z y w.
Plano z
Plano w
Cómo transforman
?
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Transformaciones mediante funciones
lineales Existen muchas situaciones prácticas
donde podemos simplificar un problema mediante
una transformación en el plano complejo.
Translación
Rotación alrededor del origen y
alargamiento/contracción
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Funciones lineales
Ejemplo
Esta función transforma el cuadrado A en el
cuadrado B.
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La función/transformación
Observemos que la transformación no es biyectiva.
Los puntos z y z se transforman en el mismo w.
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Curva en el plano z
Transformación f(z)
Curva en el plano w
En qué curva se transforma el círculo de radio
unidad centrado en el origen a través de la
función f(z)z2?
La imagen traza una circunferencia dando dos
vueltas.
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(No Transcript)
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(No Transcript)
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(No Transcript)
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En qué curvas se transforman rectas verticales
en el plano z a través de la función f(z)z2 en
el plano w?
La ecuación de un parábola abierta hacia la
izquierda con vértice en (k2, 0) y foco en el
origen. Idem para rectas horizontales (pero
serán parábolas hacia la derecha)
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Tomemos como dominio un rectángulo con esquinas
en 3/23/2i. Observa
como las líneas verticales, formadas por
complejos de parte real constante, se
convierten en parábolas abiertas hacia la
izquierda. Y las líneas horizontales,
formadas por números complejos de parte
imaginaria constante, en parábolas
abiertas a la derecha. Observa también como los
ángulos entre rectas amarillas y
rosas siguen siendo rectos la transformación es
conforme.
.
Douglas N. Arnold
http//www.ima.umn.edu/arnold/complex.html
26
(No Transcript)
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(No Transcript)
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(No Transcript)
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Observa que puesto que la transformación w
f(z) z2 es
Los puntos z sobre la hipérbola x2 y2 k se
transforman en lineas u k. Los puntos z sobre
la hipérbola 2xy k se transforman en lineas v
k.
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(No Transcript)
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(No Transcript)
32
Transformación w f(z) 1/z En este caso la
transformación si es biyectiva excluyendo al
origen. En coordenadas polares la transformación
es
Una inversión en el círculo unidad (lo de fuera
pasa adentro y al contrario) seguida de una
reflexión respecto al eje x. Los puntos del
círculo unidad permanecen invariantes. Los
círculos se convierten en círculos. Las líneas
que pasan por el origen se convierten en líneas
que pasan por el origen.
33
(No Transcript)
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(No Transcript)
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Veamos con más detalle la transformación f(z)
1/z.

• a y d distintos de 0 círculos que no pasan por
  el centro
• se transforman en círculos que no pasan por el
  centro.
• (2) a distinto de 0 y d 0 círculos que pasan
  por el centro
• se transforman en rectas que no pasan por el
  centro.
• (3) a 0 y d distinto de 0 rectas que no pasan
  por el centro
• se transforman en círculos que pasan por el
  centro.
• (4) a d 0 rectas que pasan por el centro se
  transforman
• en rectas que pasan por el centro.

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Ejemplo Cuál es la imagen de la recta x c
bajo la transformación f(z) 1/z?
Es decir, un círculo de centro (1/2c, 0) que pasa
por el origen. El semiplano x gt c se transforma
en el interior del círculo.
37
(No Transcript)
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Transformaciones bilineales o de Moebius
La transformación inversa es también bilineal
Observemos que la transformación no está definida
para z -d/c. Y lo mismo ocurre con w a/c en
el caso de la inversa. El conjunto de posibles
transformaciones bilineales forman un grupo.
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Cómo transforma la bilineal?
De modo que cualquier transformación bilineal
puede obtenerse como una composición de
transformaciones lineales y la transformación
1/z.
Así que para las transformaciones bilineales
transforman el conjunto de círculos y líneas en
si mismo.
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Ejemplo Sea a una constante compleja tal que
Im(a) gt 0. Encontrar la imagen del semiplano
infinito superior bajo la transformación
bilineal
Consideremos primero el borde. Para los puntos z
sobre el eje x, tenemos
De modo que el eje x se transforma en el
círculo unidad con centro en el origen. z a
se transforma en w 0 (un punto interior del
círculo).
La transformación es continua, y de aquí podemos
deducir que la imagen del semiplano superior es
el interior del círculo.
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La transformación de Zhukovsky
Más general
Nikolai Egorovich Zhukovskii (1847-1921) (o
Zhukovsky o Joukowski)
La imagen de un círculo que pasa por z 1 o z
-1 es una curva similar a la sección transversal
de un ala de avión.
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Límite
Una función f(z) se dice que tiene límite w0
cuando z tiende a z0, y se escribe
si f está definida en un entorno de z0 (a
excepción tal vez de z0 mismo) y si ? real ? gt
0, ? un real ? gt 0 ? z ? z0 , y z - z0 lt ?,
entonces f(z) - w0 lt ?.
y
v
?
?
En general ??(?, z0) Si el límite existe, es
único.
z0
w0
f(z)
z
u
x
Es decir si dado un entorno de radio ? alrededor
del límite, podemos determinar un entorno de
radio ?(?, z0) alrededor de z0.
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Observemos que como en el caso de variable real,
la definición de límite no nos dice cómo
encontrarlo. Demostremos que
Utilizando la notación anterior, tenemos en este
caso
Tomando ? ?, por ejemplo, siempre se cumple.
Ejercicio Demostrar que si el límite existe, es
único. (Nota Suponer dos valores distintos para
el límite, aplicar definiciones y demostrar
entonces que ambos valores han de ser, a la
fuerza, el mismo).
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Cuál es el equivalente a límite por la derecha y
por la izquierda de variable real en el caso de
variable compleja? En el plano complejo podemos
acercarnos al límite a través de una infinidad
de trayectorias. Por ejemplo
Toda vecindad de z0 contiene valores de Arg z en
el segundo cuadrante arbitrariamente cerca de
, pero también del tercer cuadrante
arbitrariamente cerca de . Acercándonos
por C1 y por C2 obtenemos dos valores distintos
del límite.
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Ejemplo
Esta función no está definida para z xiy 0,
(x 0, y 0). Veamos que no existe el límite de
la función cuando z tiende a 0.

• Nos aproximamos al origen a lo largo del eje y.
  Tomando
• x0 en f(z), tenemos

Que se aproxima a i, a medida que nos acercamos
al origen.
(2) Tomando y0 nos aproximamos a lo largo del
eje x
Que tiende a 1. Como el límite por ambos caminos
no coincide, el límite no existe.
46
Ejercicios (1) Sean
Entonces
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Propiedades de los límites Sean w0 y w'0
los límites, cuando z tiende a z0, de f(z) y g(z)
respectivamente. Entonces En particular si
f(z) g(z) z y por inducción Como
además Entonces, para un polinomio P(z)
a0a1z...anzn, tendremos
Nota Es fácil demostrar estas propiedades a
partir de u(x,y) y v(x,y).
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• Punto del infinito
• El número complejo infinito o punto del infinito,
  
• denotado por , no posee signo ni argumento.
• Su módulo es mayor que z para todo z complejo.
• Es un punto del plano complejo? No es
  localizable,
• pero sí alcanzable a través de cualquier
  trayectoria
• en la que z sea creciente.
• Se opera como en los reales. Por ejemlo
• z / 0, z/0 , etc.
• Cuando el plano complejo incluye al punto del
  infinito ,
• hablamos de plano complejo extendido.

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Esfera de Riemann
Esfera de radio unidad centrada en el cero del
plano complejo. Proyección estereográfica
hacemos corresponder cada punto del plano con
un punto de la esfera como muestra la gráfica.
El polo norte N de la esfera corresponde al
punto del infinito.
Bernhard Riemann (1826 - 1866)
50

• Ahora ya podemos definir
• límites al infinito. Si
• para todo real ? gt 0, ? un real
• gt 0 f(z) - w0 lt ? para todo
• z zgt 1/?.

Otra forma de la esfera de Riemann
O si para todo
real ? gt 0, ? un real ? gt 0 f(z) lt 1/?
siempre que z - z0 lt ?.
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Espirales esféricas de M.C. Escher
La proyección estereográfica tiene dos
propiedades importantes las circunferencias
siempre se transforman en circunferencias y la
transformación conserva ángulos.
Espiral de Arquímedes. Dado que
, la ecuación anterior solo representa
una espira de la espiral.
52
(No Transcript)
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Funciones continuas
Una función f(z) se dice que es continua en z
z0 si f(z0) está definida en z0 y
Decimos que f(z) es continua en una región si es
continua en todo punto de la región.
(Nota si en el límite ? ?(?, z0) no depende
de z0, la continuidad es uniforme).
EjercicioLas sumas, diferencias y productos de
funciones continuas son continuas. El cociente
de dos funciones continuas es continuo salvo en
los puntos en que se anula el denominador. La
composición de funciones continuas es continua.
Sea f(z) u(x,y) iv(x,y), entonces u y v serán
continuas en todo punto en el que f(z) lo sea. Y
a la inversa f(z) será continua en todo punto
en que u(x,y) y v(x,y) lo sean.
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Ejemplo
Sea
Es continua f(z) en z i? (1) f(i) 3i está
definido. (2) Calculemos el límite de la función
cuando z tiende a i
El límite existe pero no coincide con el valor de
la función la función no es continua.
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• Ejercicios
• Demostrar que si f(z) es continua en una región
  cerrada y acotada entonces es uniformemente
  continua.
• (2) Demostrar que si f(z) es continua en una
  región R, entonces la función f(z) también lo
  es.
• (3) Demostrar que si se cumplen las condiciones
  de (2) entonces existe M gt 0 tal que f(z) M
  para todo z de R. Y donde la igualdad estricta es
  al menos válida para un punto de R.

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Complex function revisited
Cuando definimos al principio del capítulo una
función compleja, en realidad lo hicimos para
una función univaluada a cada valor de z le
correspondía un único valor w f(z). Por
ejemplo f(z) z2. Las funciones complejas
pueden ser multivaluadas cuando para algún valor
de z le corresponde más de un valor de f(z), como
ocurre, por ejemplo con f(z) vz. Podemos
considerar una función multivaluada como una
colección de funciones univaluadas. Cada miembro
de esta colección se llama una rama de la
función multivaluada. Es usual tomar una de estas
ramas como la rama principal y el valor f(z) en
esta rama como el valor principal. Para el caso
de funciones reales pasa algo semejante. Por
ejemplo, para f(x) vx tendríamos dos ramas (la
positiva y la negativa). Y solemos tomar como
rama principal a la positiva y como valor
principal a vx. Pero en variable compleja hay
más sutilezas...
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Puntos de Ramificación y cortes de rama
Para univaluar la raíz cuadrada de z hagamos como
en el caso real, tomando arbitrariamente una de
las dos posibilidades
Si giramos siguiendo un camino continuo como
muestra la figura tendremos
f(z) sufre una crisis de identidad!
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Este camino continuo no nos genera
problemas. Cuál es la diferencia? Rodear el
origen z 0 parece ser lo que nos genera la
crisis.
z 0 es en este caso un punto de ramificación
de la función raíz cuadrada. Qué ocurre si
damos dos vueltas alrededor del origen?
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Decimos que z0 es un punto de ramificación de
f(z) si el valor de f(z) no regresa a su valor
original cuando trazamos una curva cerrada
alrededor de él, de manera que f varía de forma
continua a medida que recorremos la
curva. Observación debe ocurrir para cualquier
curva alrededor de z0 (lejana o cercana). La
función no tiene por qué ser continua o existir
en z0.
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Cuál es la región más grande posible sin crisis
de identidad?
Para todos los puntos de la región R la raíz
cuadrada está univaluada.
Deseamos una región, lo mayor posible, tal que
no exista posibilidad de trazar un camino
continuo y cerrado que contenga al origen en su
interior una rama.
Región infinitesimal alrededor del eje x
positivo.
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Univaluamos la función raíz cuadrada
cortando el plano complejo a lo largo del eje
real positivo.
A es un punto infinitesimalmente cercano al corte
por arriba. Y B por abajo. La función es
discontinua a través del corte de rama.
Cortes de rama
Rama
Rama
Nota El corte es totalmente arbitrario.
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Hojas y superficies de Riemann
En la superficie de Riemann la función está
univaluada. Cada rama corresponde a un piso
(hoja de Riemman). Para el caso de la raíz
cuadrada las vueltas impares tocan arriba y
las pares abajo.
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Superficie de Riemann para f(z) z1/3
f(z) z1/n tendrá n hojas de Riemann. En
particular si f(z) no posee puntos de
ramificación, la superficie de Riemann coincide
con el plano complejo C.