Problemas Cl

1
Problemas Clásicos y Paradojas en laTeoría de
Probabilidades
2

• El Rig Veda, entre 1400 y 1100 años A.C.
  menciona el juego de dados.
• La mitología griega atribuye su invención a
  Palamedes, para entretenimiento de los soldados
  durante el sitio de Troya, en el siglo X u XI
  A.C.

3
OBJETO

• La teoría de probabilidad estudia los fenómenos
  llamados aleatorios (similares al juego de dados)
  en los que el conocimiento de las condiciones
  iniciales no permite predecir con exactitud la
  evolución y el resultado final del fenómeno.
• Sólo estudia aquellos fenómenos que pueden
  repetirse ilimitadamente en las mismas
  condiciones iniciales.

4
LOS PIONEROS

• Galileo, Considerazione sopra il giuoco dei dadi,
  1612
• Pierre Fermat, correspondencia con Pascal, 1654
• Blas Pascal, Traité du triangle arithmétique,
  1654
• Huygens, Libellus de ratiocinii in ludo aleae,
  1656
• Jakob Bernouilli, Ars conjectandi, 1705 y 1718
• Nikolau Bernouilli, De usu artis conjectandi in
  jure, 1709
• Pierre Rémond de Montmort, Essay danalyse sur
  les jeux de hazard, 1708 y 1713
• Abraham De Moivre, Doctrine of chances, 1718
• P.S. Laplace, Théorie analytique des
  probabilités, 1812

5

• Galileo (1564-1642)
• Fermat (1601-1665) Pascal (1623-1662)
  Huygens (1629-1695)
• Newton_________________________________
• 1642 1727
• Leibniz______________________
• 1646
  1716
• Jakob Bernouilli_________
• 1654 1705
• Johan Bernouilli________________
  __________
• 1667
  1748
• Nikolaus I
  Bernouilli___________________
• 1687
  1759
• Montmort________________

6
ESPACIO MUESTRAL DE 2 DADOS
1-1 1-2 1-3 1-4 1-5 1-6
2-1 2-2 2-3 2-4 2-5 2-6
3-1 3-2 3-3 3-4 3-5 3-6
4-1 4-2 4-3 4-4 4-5 4-6
5-1 5-2 5-3 5-4 5-5 5-6
6-1 6-2 6-3 6-4 6-5 6-6
A S 5 (1,4), (2,3), (3,2), (4,1)
7
DEFINICIÓN CLÁSICA
Probabilidad de un suceso es la razón entre el
número de casos favorables y el número total de
casos posibles, siempre que nada obligue a creer
que alguno de estos casos debe ocurrir con
preferencia a los demás, lo que hace que todos
sean, para nosotros, igualmente
posibles. Pierre-Simon Laplace, Essai
philosophique sur les probabilités
8
PROBLEMA DE GALILEOJuego del pasadiez
9
CASOS FAVORABLES
Suma 9 Combinac. Casos Suma 10 Combinac. Casos Suma 11 Combinac. Casos Suma 12 Combinac. Casos
1-2-6 6 1-3-5 6 1-4-4 3 2-2-5 3 2-3-4 6 3-3-3 1 Total 25 1-3-6 6 1-4-5 6 2-2-6 3 2-3-5 6 2-4-4 3 3-3-4 3 Total 27 1-4-6 6 1-5-5 3 2-3-6 6 2-4-5 6 3-3-5 3 3-4-4 3 Total 27 1-5-6 6 2-4-6 6 2-5-5 3 3-3-6 3 3-4-5 6 4-4-4 1 Total 25
10
LAS PROBABILIDADES EN EL PROBLEMA DE GALILEO
11
CHEVALIER DE MÈRÈ1607-1684

• Antoine Gombaud -Caballero de Mèrè- fue un
  escritor y matemático aficionado francés. Famoso
  por haber planteado a Blas Pascal dos problemas
  que dieron origen a la teoría de probabilidades.

12
PROBLEMA I

• Probabilidad de obtener (al menos) un doble 6 en
  24 lanzamientos de 2 dados
• Cálculo de de Mèrè p 24(1/36) 2/3
• Cálculo de Pascal

13
Problema II (de los puntos)

• AAAA AABB BBBA
• AAAB ABAB BBAB
• AABA BAAB BABB
• ABAA BABA ABBB
• BAAA BBAA BBBB
• ABBA

14
GENERALIZACIÓN PROBABILIDADES DISTINTAS(DE
MONTMORT, 1708)
Problema de las coincidencias
15
JEU DU TREIZE
Fórmula de inclusiones y exclusiones
16
Pierre Rémond de Montmort (1678-1719)

• En correspondencia y amistad con Nicolás
  Bernouilli y otras personalidades científicas de
  su época.
• Miembro de la Royal Society y de la Académie
  Royal des Sciences.
• Hizo reeditar la obra póstuma de Jacobo
  Bernouilli Ars Conjectandi (1713).
• Obra propia Essay danalyse sur les jeux de
  hazard (1708)
• Dueño del Château de Montmort.

17
(No Transcript)
18
Regularidad EstadísticaEssai philosophique sur
les probabilités (Laplace, 1814)

• 1. Londres, S.Petersburgo, Berlin, toda
• Francia

• 2. Paris (1745-1784)

19
Ensayos de Bernouilli Ley binomial,Jakob
Bernouilli, sus investigaciones entre 1684 y 1689

• Probabilidad de k éxitos en n ensayos
  independientes

20
Experimento de W. F. R. Weldon 26306
lanzamiento de 12 dadoscontando 5 o 6 como
éxito(carta a Galton, 1894)Distribución teórica
(ley binomial)
21
Weldons dice experiment (26306 lanzamientos de
doce dados)

• Número de Frecuencia
  Frecuencia Desvío
• éxitos observada
  teórica
• __________________________________________________
  _____________
• 0 185
  203
  -18
• 1 1149
  1216 -67
• 2 3265
  3345 -80
• 3 5475
  5576 -101
• 4 6114
  6273 -159
• 5 5194
  5018 176
• 6 3067
  2927 140
• 7 1331
  1255 76
• 8 403
  392
  11
• 9 105
  87
  18
• 10 14
  13
  1
• 11 4
  1
  3
• 12 0
  0
  0

22
ESPACIO MUESTRAL

• Cada evento A está representado por un conjunto
  de resultados posibles (el conjunto de los casos
  favorables al evento).
• El evento A ocurre si y sólo si el resultado e
  pertenece al conjunto A. No ocurre en caso
  contrario.
• Evento imposible Ø Evento seguro O

23
PROBABILIDAD
24
REGLAS BÁSICAS
25
LEY DE LOS GRANDES NÚMEROSJakob Bernouilli
(1654-1705)

• Obra póstuma Ars Conjectandi, 1713

26
El teorema de De Moivre-Laplace
27
PROBABILIDAD GEOMÉTRICA
O
F
28
Paradoja de Bertrand (1)
29
Una cuerda se determina por su punto medio
30
Paradoja de Bertrand (2)
31
Paradoja de Bertrand (3)
32
Elección de un punto al azar (con densidad
uniforme) en el disco unitario z 1
33
Joseph Louis Bertrand1822-1900

• Ingeniero en Minas, matemático y economista
  francés profesor en la École Polytechnique y el
  Collège de France
• Obras
• Traité élémentaire dalgebre,1851
• Traité de calcul differentiel et de calcul
  integral,1864-70
• Théorie des Richesses ,Journal des Savants,
  1883
• Thermodinamique, 1887
• Leçons sur la théorie mathématique de
  lélectricité, 1890

34
Paradoja de Monty Hall
Uno de los gabinetes contiene Un automóvil
35
Diagrama de árbol
36
Probabilidad de A2 dado B3
37
Persistencia de la mala suerte
38
Cálculo del valor medio E(N)
39
OBJECIONES

• Si buscara el primer usuario que tardó menos que
  yo en recibir el servicio, hallaría el mismo
  resultado.
• Réplica en nuestra memoria registramos más
  vivamente cuando nos va mal que cuando nos va
  bien.
• Cualquier otro cliente podría hacer el mismo
  razona-miento.
• Réplica no es frecuente ponerse en el lugar del
  otro

40
Joaquín María Bartrina

• Guarda bien esta máxima en tu mente,
• consuelo del mortal atribulado
• no hay mal como el propio y el presente
• no hay bien como el ajeno y el pasado.

41
SUCESIONES DE DÍGITOS ALEATORIOSTESTS DE
ALEATORIEDADPROBLEMA DEL COLECCIONISTA
42
PROBLEMA DEL COLECCIONISTA

• Una colección C de n figuritas
• Se realizan compras sucesivas hasta lograr la
  colección completa

43
Probabilidad de que sea N rValor medio de N
44
Caso especial n 10

• C 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
• E(N) 10(11/21/3 1/10)
• 29.29 (aprox.)

45
UN EXPERIMENTO CON DÍGITOS AL AZAR

• 04433 80674 24520 18222 10610 05794 37515
• 60298 47829 72648 37414 75755 04717 29899
• 67884 59651 67533 68123 17730 95862 08034
• 89512 32155 51906 61662 64130 16688 37275
• .
• N 29, 22, 25, 32

46

• 29, 22, 25, 32, 32, 20, 35, 22, 30, 27,
• 36, 27, 21, 47, 31, 39, 39, 14, 25, 21,
• 40, 57, 39, 41, 30, 24, 17, 15, 29, 23,
• 24, 42, 27, 14, 17, 36, 36, 30, 21, 30,
• 47, 16, 17, 48, 23, 19, 17, 28, 20, 28

47
Evolución del promedio
n 10 20 30 40 50 60
An 27.6 28.8 29.7 29.2 28.62 28.75
48
Problema de los diez cazadores y las diez palomas

• Cazadores 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
• Palomas 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
• 94620 27963
• Salvadas 1, 5, 8

49
Primer dígito significativo de un número N
elegido al azar en un anuario demográfico o de
producción agraria, industrial o minera
50
(No Transcript)
51
Anomalous numbersBenfords first-digit law
52
RADIOS ORBITALES EN EL SISTEMA SOLAR
53
UN CASO REAL

• En los años 70 la fiebre hemorrágica, también
  conocida como mal de los rastrojos o mal de
  Junín afectaba al 1 de los peones rurales en la
  provincia de Buenos Aires.
• Un equipo de investigadores ensayó una vacuna en
  200 peones escogidos al azar, ninguno de los
  cuales contrajo la enfermedad.
• Es evidencia en favor de la vacuna?

54
Aplicación de la ley binomial
55
Aproximación de Poisson
56
Muchas gracias a todospor haber venido
y en especial al Ing. Fazzini, a quien
corresponde el mérito de la presentación