Theoretische Informatik und Algorithmen

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Theoretische Informatik und Algorithmen

• Post und Kleene

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Agenda

• Einleitung
• Post
• 2.1 Biographie
• 2.2 Wissenschaftliche Tätigkeit
• 2.3 Bekannte Theorien
• 2.4 Bedeutung für die Informatik
• Kleene
• 3.1 Biographie
• 3.2 Wissenschaftliche Tätigkeit
• 3.3 Bekannte Theorien
• 3.4 Bedeutung für die Informatik

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Ausgangslage

• Ende der 20 er Jahre
• Weltweite Kontroversen zwischen Mathematikern
• Grund Begriff des Algorithmus
• Axiomatischer Ansatz (Church, Kleene)
• Maschinen-Ansatz (Turing)
• Semiotischer Ansatz (Markov, Post)
• Beweistheoretischer Ansatz (Gödel)

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EMIL LEON POST

• ? 11. Februar 1897 in Augustów, Polen
• 21. April 1954 in New York, USA
• 1904 Emigration in die USA
• Studium am City College, New York
• Postgraduate Research an der Columbia
  University
• 1920 Promotion
• 1-jähriger Aufenthalt als Proctor Fellow in
  Princeton, dann Rückkehr nach Columbia
• 1932 Anstellung am City College

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Wissenschaftliche Tätigkeit (Post)

• Die bekanntesten Veröffentlichungen
• Introduction to the General Theory of Elementary
  Propositions (1920)
• Finite Combinatory Processes (1936)
• Recursively Enumerable Sets of Positive Integers
  and their Decision Problems (1944)

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Wissenschaftliche Tätigkeit (Post)

• Die bekanntesten Theorien
• Fließbandarbeiter
• Postsches Korrespondenzproblem Klassiker der
  Unendscheidbarkeit
• Untersuchung der Systeme der mehrwertigen
  Aussagenlogik

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Postscher Fließbandarbeiter

• Bewegung in Symbolraum ( unendliche Folge von
  Feldern, sind leer oder enthalten Markierung)
• Arbeiter führt in (auf) diesem Band folgende
  Anweisungen (Operationen) aus
• Marking the box he is in (assumed empty)
• Erasing the mark in the box he is in (assumed
  marked)
• Moving to the box on his right
• Moving to the box an his left
• Determining whether the box he is in, is or is
  not marked

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Bedeutung für die Informatik (Post)

• 1936 unabhängig von Turing ? Entwicklung der
  gleichen Idee, auf Basis der Beobachtung und
  Abstraktion der Realität
• Beide verbinden mit einem Algorithmus etwas
  Mechanisches
• Einziger Unterschied
• Turing Maschine
• Post Fließbandarbeiter
• Idee Postsche Papierfabrik Gedankenexperiment

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Postsches Korrespondenzproblem

• Beweis der Unentscheidbarkeit
• Einführung einer Klasse von konkreten Problemen ?
  nach dem Turing-Berechenbarkeitsmodell nicht
  lösbar
• PKP ist entschieden für P 1 und P 2
• Für P gt 7 ist die Unentscheidbarkeit bewiesen
• Offen ist die Entscheidbarkeit für 3 lt P lt 6

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Stephen Cole Kleene

• ? 5. Januar 1909 in Hartford, Conneticut, USA
• 25. Januar 1994 in Madison, Wisconsin, USA
• Studium am Amherst College, 1930 BA
• 1934 Promotion in Princeton
• 1935 University of Wisconsin, Madison
• 1948 Status eines full professor in Madison,
  bleibt dort bis
• 1979 Rente

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Wissenschaftliche Tätigkeit (Kleene)

• Die bekanntesten Veröffentlichungen
• Introduction to Metamathematics (1952)
• Mathematical Logic (1962)
• The Foundations of Intuitionistic Mathematics
  (1965, zusammen mit Richard E. Vesley)

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Wissenschaftliche Tätigkeit (Kleene)

• Die bekanntesten Theorien
• Reguläre Ausdrücke
• Definition des Algorithmusbegriffs,
  Algorithmentheorie
• Berechenbarkeit ? Entscheidbarkeit

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Weitere bekannte Theorien

• Theorie rekursiver Funktionen ? partielle
  rekursive Funktionen
• Kleenes Theorem
• Begründete Hierarchie der arithmetischen Mengen
• Behandelt Probleme der klassischen Interpretation
  intuitionistischer Logik Mathematik
• Automatentheorie Kalkül der regulären Ereignisse

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Algorithmus

• An algorithm is a finitely described procedure,
  sufficient to guide us to the answer to any one
  of infinitely many questions, by finitely many
  steps in the case of each question. (Kleene)
• ? Beinhaltet alle Eigenschaften des intuitiven
  Algorithmusbegriffs
• Eindeutigkeit
• Endlichkeit
• Determiniertheit
• Unterscheidbarkeit
• Allgemeinheit

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Berechenbarkeit vs Entscheidbarkeit

• 1. Yes-or-no Questions
• Algorithmus ist entscheidbar
• 2. What-Questions
• Algorithmus ist berechenbar

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Lambda-Definierbarkeit

• Von Kleene und Church in den 30er Jahren
  entwickeltes Konzept
• Kleene bewies 1936 die Äquivalenz von
  allgemein-rekursiven und Lambda-berechenbaren
  Funktionen
• ? Jede algorithmisch berechenbare Funktion ist
  intuitiv. (Church)

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Schlussbemerkung

• Post und Kleene sind weniger bekannt als Turing
  und Church, sie sind jedoch genauso wichtig wie
  ihre bekannteren Kollegen.