Deriv

1
DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS ALKALMAZÁSA
2
A differenciálszámítás alkalmazása
A gyakorlati életben eloforduló mennyiségi
változások, fizikai mozgások, szélsoérték-problémá
k stb tanulmányozásának folyamata

• a vizsgált folyamatban szereplo változók között
  keresünk
• függvénykapcsolatot ? a jelenséghez
  matematikai modellt
• rendelünk

• a függvény tulajdonságainak vizsgálata
  (menete, görbülete,
• szélsoértéke stb)

fontos szerepe van a deriváltnak
3
Függvények menetének vizsgálata
A függvény menetének és a derivált elojelének
kapcsolata

1. Vizsgáljuk meg az függvényt
   

x ? 0 esetén
- a függvény szigorúan monoton növekvo
- bármely pontban az érinto irányszöge pozitív ?
iránytangens pozitív ? derivált elojele pozitív
x ? - 0 esetén
- a függvény szigorúan monoton csökkeno
- bármely pontban az érinto irányszöge negatív ?
iránytangens negatív ? derivált elojele negatív
A megfigyelés általánosítható
4
Függvények menetének vizsgálata
Tétel
Ha az ab intervallumban differenciálható f(x)
függvény az intervallumban
monoton csökken,
monoton no
akkor a derivált az intervallum minden pontjában
nemnegatív
nempozitív
Megjegyzés
a függvény szigorú monotonitásából is csak az
következik, hogy a derivált nemnegatív illetve
nempozitív
pl.
a többi helyen
pontban
5
Függvények menetének vizsgálata
2. A függvényvizsgálatkor általában a derivált
elojelébol következtetünk a függvény menetére
Tétel
Ha f (x) az ab intervallumban nemnegatív
(nempozitív), akkor az f(x) függvény monoton
növekvo (monoton csökkeno).
Ha f (x) az ab intervallumban pozitív
(negatív), akkor az f(x) függvény szigorúan
monoton növekvo (szigorúan monoton csökkeno).
f(x) monoton no
f(x) szigorúan monoton no
f(x) monoton csökken
f(x) szigorúan monoton csökken
6
Függvények menetének vizsgálata
A függvény szélsoértékének és a deriváltnak
kapcsolata
1. Egy differenciálható f(x) függvény lokális
szélsoérték helyén a görbéhez tartozó érinto
párhuzamos az x tengellyel
az érinto iránytangense nulla
Megfordítva nem mindig teljesül, a derivált
zérushelyén a függvénynek nincs mindig
szélsoértéke
7
Függvények menetének vizsgálata
1. Példa
pontban
- a görbéhez húzott érinto az x tengely
- az érinto az érintési pontban a görbét átmetszi
- az pontban a függvénynek nincs
szélsoértéke, mert az minden más
pontban, tehát a függvény mindenütt szigorúan
monoton növekvo
- az pont környezetében a
derivált nem vált elojelet
Az ilyen tulajdonságú grafikonpontot inflexiós
pontnak, a grafikont az érintési pontban átmetszo
érintot inflexiós érintonek nevezzük.
8
Függvények menetének vizsgálata
2. Példa
pontban
- a görbéhez húzott érinto az x tengely
- Ha , akkor az a
függvény szigorúan monoton csökkeno
- Ha , akkor az a
függvény szigorúan monoton növekvo
- az pont környezetében a
derivált elojelet vált ? a függvénynek lokális
szélsoértéke van
Általánosan
9
Függvények menetének vizsgálata
Tétel
Az ab intervallumban differenciálható f(x)
függvénynek az intervallum x0 pontjában csak
akkor lehet lokális szélsoértéke, ha f (x0
) 0. Ez a szélsoérték létezésének szükséges
feltétele.
Ha emellett az x0 pont környezetében a derivált
még elojelet is vált, akkor az f(x) függvénynek
az x0 pont környezetében lokális szélsoértéke
van.
A derivált elojelváltásának módjából a
szélsoérték jellegére is következtethetünk.
x x lt x0 x x0 x gt x0
f (x) 0 -
f(x) lokális maximum
10
Függvények menetének vizsgálata
vagy
x x lt x0 x x0 x gt x0
f (x) - 0
f(x) lokális minimum
11
Függvények menetének vizsgálata
A függvény deriváltjának és az inflexiós pont
létezésének kapcsolata
Bebizonyíthatók a következo tételek
Tétel
Ha az f(x) függvény az ab intervallum x0
pontjában kétszer differenciálható, és f (x0
) 0, valamint a második derivált elojelet
vált, akkor az f(x) függvénynek az x0 helyen
inflexiós pontja van.
Tétel
Ha az f(x) függvény az ab intervallum x0
pontjában háromszor differenciálható, és
, akkor az f(x) függvénynek az x0
helyen inflexiós pontja van.
12
Függvények menetének vizsgálata
Tétel
Ha az f(x) függvény az ab intervallumban
kétszer differenciálható, és f (x ) gt 0,
akkor az f(x) függvény konvex, ha f (x ) lt 0,
akkor az f(x) függvény konkáv.
13
Függvények menetének vizsgálata
A függvényvizsgálat célszeru lépései

• értelmezési tartomány meghatározása

• zérushelyek kiszámítása

• a derivált meghatározása

• a derivált zérushelyeinek kiszámítása

• a táblázat elkészítése

• megvizsgáljuk, hogy páros-e, páratlan-e,
  periodikus-e stb

• a függvény grafikonjának felvázolása

14
Példák függvényvizsgálatra
1. Példa
Zérushely
Deriváltfüggvény
Inflexiós pont
inflexiós pont
15
Példák függvényvizsgálatra
Páratlan függvény
a függvény grafikonja szimmetrikus az origóra
Az függvény vázlatos
képe
16
Példák függvényvizsgálatra
2. Példa
Zérushely
Deriváltfüggvény
Szélsoértékhelyek
Inflexiós pont
inflexiós pont
17
Példák függvényvizsgálatra
Az függvény
vázlatos képe
18
Példák függvényvizsgálatra
3. Példa
Zérushely
Deriváltfüggvény
Inflexiós pont
inflexiós pont
19
Példák függvényvizsgálatra
Az függvény vázlatos
képe
20
Példák függvényvizsgálatra
4. Példa
Zérushely
Deriváltfüggvény
Szélsoértékhelyek
21
Példák függvényvizsgálatra
Az függvény
vázlatos képe
22
Példák függvényvizsgálatra
5. Példa
Zérushely
Deriváltfüggvény
Szélsoértékhelyek
23
Példák függvényvizsgálatra
Inflexiós pont
inflexiós pont
Az függvény vázlatos
képe
24
Példák függvényvizsgálatra
6. Példa
Zérushely
Deriváltfüggvény
Szélsoértékhelyek
25
Példák függvényvizsgálatra
Az függvény vázlatos
képe