Fibonacci ja tema arvujada Helki Haavasalu

1
Fibonacci ja tema arvujadaHelki Haavasalu
2
Fibonacci jada on selline arvude jada, mis on
defineeritud algtingimustel F10 ja F21 (või ka
F11 ja F21) rekurrentse valemiga (jada
üldliige esitub talle vahetult eelnevate liikmete
kaudu). Fibonacci jada1)0,1,2,3,5,8,13,21,34,55
,89,või
2)1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144
3
Fibonacci arvud esinevad esimest korda
teadaolevalt matrameru nime all sansritikeelses
käsikirjas Pingala (Chandah-shastra, "Prosoodia
kunst", 450 e.m.a või 200 e.m.a).Aastal 1202
tutvustas seda jada maailmale itaalia matemaatik
Pisa Leonardo ehk Fibonacci.
4
Fibonacci
5
Leonardo Fibonacci (1175-1250)
6
Pisa Leonardo, Leonardo Fibonacci, kõige
sagedamini lihtsalt Fibonacci (nimi Fibonacci
tähendab tõlkes Bonacci poeg), oli Itaalia
matemaatik, keda peetakse "keskaja kõige
andekamaks matemaatikuks.1202. a. tutvustas ta
maailmale arvujada, mida nimetatakse tema järgi
Fibonacci arvude jadaks. Samuti peetakse teda
araabia numbrite Euroopasse toojaks.
7

Kuulus torn Pisa linnas Itaalias
8
Fibonacci elas Itaalias Pisa linnas. Ta oli üsna
osav arvutaja ja tundis hästi igasuguseid
arvudevahelisi seoseid. Aastal 1202 andis ta
välja ladinakeelse raamatu, mis sisaldas kogu
tollal tuntud aritmeetika- ja algebra-alaste
teadmiste hulga. See oli üks esimesi Euroopas
ilmunud raamatuid, mis õpetas kümnendsüsteemi
kasutamist.
9
Leonardo raamat levis laialdaselt ja oli rohkem
kui 2 sajandit kõige autoriteetsemaks teadmiste
allikaks arvude vallas. Vastavalt tolle aja
kommetele võttis Fibonacci osa ka
matemaatilistest turniiridest (avalikest
võistlustest raskete ülesannete parima ja
kiireima lahendaja nimele).
10
Leonardo osavus numbriliste ülesannete
lahendamisel hämmastas kõiki. Fibonacci hea
reputatsioon meelitas 1225. aastal Pisasse ka
Rooma valitseja Friedrich II, kes saabus
matemaatikute rühmaga Leonardo võimeid
kontrollima. Üks turniiril olnud ülesannetest
oli järgmine Leida täisruut, mis jääb selleks
ka pärast viie võrra suurendamist või
vähendamist.
11
Fibonacci leidiski pärast lühiajalist mõtlemist
niisuguse arvu, mis osutus murruks

• Tõepoolest

12
Fibonacci arvude jada omadusi
13
Vaatame Fibonacci jada 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,
89,144, Iga kolmas Fibonacci arv on
paarisarv, s.t, et kolmas, kuues, üheksas,
kaheteistkümnes jne arv on paarisarv
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144, Iga neljas
Fibonacci arv jagub kolmega
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144, Iga viies
Fibonacci arv jagub viiega, kuna F(5)5. Iga
kuues Fibonacci arv jagub kaheksaga, sest
F(6)8... Kehtib üldine reegel iga k-s
Fibonacci arv jagub k-nda Fibonacci arvuga.

14
Sellest saame järelduse, et iga algarvulise
Fibonacci arvu järjekorra number peab olema
algarv. Siin on vaid üks erand
järjekorranumber 4ei ole algarv, aga neljas
arv selles reas on 3, mis on algarv.
15
Veel jada liikmete omadusi.12  12  22 
32  52  5 x 812  12  . . . F(n)2  F(n) x
F(n1)Selgita antud seoseid. Kirjuta veel
näiteid.Kehtib ka seosNäited 3x8
52-1,   5x13821
16
Jada 12.liige on võrdne arvu 12 ruuduga.
0, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,
sama ka jadas1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,
89, 144, Fibonacci jadas on ainult 3 arvu, mis
on täisarvu ruudud 0,1,144.  
17
Fibonacci arvud ja muusika
18
Tundub, et Fibonacci arvud on muusikalised arvud.
Üks oktaav klaveri klahvistikul on seotud
arvudega 2 3 5 8 ja 13.Oktaavis on 13
klahvi, millest 8 on valged, 5 mustad. Mustad
jaotuvad igas oktaavis 3-seks ja 2-seks klahvide
grupiks. Kas pole väga huvitav Fibonacci arvude
paigutumise koht?
19
(No Transcript)
20
Fibonacci arvud ja kuldlõige f 1,618033
21
.
22
Geomeetriaparadoks
23
Ühe näitena Fibonacci jada kohta võib tuua tuntud
geomeetriaparadoksi.Järgneval joonisel on 64-st
ühikruudust koosnev ruut jagatud neljaks osaks,
millest seejärel on moodustatud ristkülik
pindalaga 65 ruutu. Ruudu ja ristküliku külgi
moodustavad lõigud on vastavalt 3 5 8 13
ühikut pikad st kujutavad endast Fibonacci jada
liikmeid.
24
(No Transcript)
25
Paradoksaalne olukord tekib sellepärast, et lõik
AC ei ole sirglõik, vaid selle lõigu juurde
moodustub kujund, mille pindala võrdub 1
ühikruuduga. Paradoksi põhjuseks on siin
asjaolu, et kui selliselt defineeritud
rekurrentses jadas järjest edasi minna, siis jada
kahe järjestikuse liikme suhe läheneb kindlale
arvule f.
26
Seega meie jadas 53 85 138 f, millest
53 138 ehk 513 38. Et kolmnurk ABC
oleks täisnurkne peaks 513 38.Kuna aga
kehtib ligikaudne võrdus 53 85 138 f,
siis pole meil tegemist täisnurkse
kolmnurgaga. Ülesanne Kasuta mingit teist
analoogiliselt defineeritud rekurrentset jada ja
joonista detailid sama paradoksi näitamiseks
teiste mõõtmetega lähtekujundite abil.
27
Järgmisel joonisel on tegemist silmapettega,
mille põhjus seisneb jällegi suhtes f.Uuri
tähelepanelikult erinevate täisnurksete
kolmnurkade sarnasusi.Kumb joonisel olevatest
kujunditest on täisnurkne kolmnurk?
28
(No Transcript)
29
Fibonacci arvud ja jänesed
30
Aastal 1202 uuris Fibonacci probleemi jäneste
paljunemisest. Ta eeldas, et alguses on meil
üks paar jäneseid üks emane, teine isane.
Arvestatakse, et jänesed on paljunemisvõimelised
1 kuu vanusest ja siis sellest 1 kuu möödudes
võivad sündida pojad.
31
Fibonacci eeldas, et iga kuu möödudes sünnivad
paaridel pojad (jänesed saavad endale esimesed
jänesepojad, kui nad ise on 2 kuu vanused) ja
paaril sünnib 1emane ja 1 isane jänesepoeg.Ta
küsis Mitu paari jäneseid on sellistel
tingimustel 1 aasta pärast?
32
(No Transcript)
33
Kui kuude arv on n 1 2 3 4 5 610 11 12 13 14
15 ...Siis vastavad jäneste paaride / Fibonacci
arvud on1 1 2 3 5 8 55 89 144 233 377
610Vastus 144 jänest
34
Fibonacci arvud looduses
35
Meid ümbritsevas looduses on näiteks taimede
lehed paigutunud korrapäraselt nii, et nende
ühtlaseks kasvuks oleksid tingimused võimalikult
ühetaolised ja soodsad. Taimelehed puhkevad
matemaatilises jadas algul üks, siis kaks, siis
kolm, seejärel lisandub korraga viis, hiljem
kaheksa jne. Puude oksad hargnevad peenemaks
kindlas rütmis kindlate matemaatiliste vahedega.
Inimkeha proportsioonid on kuldlõikelises suhtes
alates luude liigeste pikkusest, hammastest ja
nende laiusest, meie DNA ahela lõikude
pikkussuhtest jne.
36
Fibonacci jada pole tuttav mitte ainult
matemaatikutele, vaid seda tunnevad hästi ka
botaanikud. Kui lehed asuvad okstel ühekaupa,
siis nad paigutuvad ümber varre mitte
ringjoonekujuliselt, vaid mööda nn kruvijoont, st
iga järgmine leht on eelmisest veidi üleval pool
ja kõrval. Kui vaadata, mitu lehte on kahe
kohakuti lehe vahel, siis on see tavaliselt
Fibonacci arv. Sama toimib ka käbi kihtide puhul.
37
Lehtede jaotus oksa ümber allub Fibonacci e.
kuldsele suhtele 5 lehte 3 pöördega, 8 lehte
5 pöördega.
38
(No Transcript)
39
(No Transcript)
40
Fibonacci arvud esinevad väga sageli lillede
õisikutes, kus väikesed õied asetsevad mööda
spiraale, mis pöörlevad päri- ja vastupäeva.
Spiraalide arv kummaski suunas on Fibonacci
arv. Näiteks Päevakübaral on täpselt 21
päripäeva spiraali ja 34 vastupäeva spiraali.
41
(No Transcript)
42
(No Transcript)
43
Fibonacci spiraalidega mustreid võib kohata
männikäbidel, ananassi koortel, spargel- või
lillkapsal.
44
(No Transcript)
45
Fibonacci spiraal
46
Fibonacci spiraal (kuldne spiraal e logaritmiline
spiraal) on moodustatud kuldlõikes jaotatud
ristkülikute abil. Sellist spiraali järgivat
struktuuri võib leida molluskite kodades,
õhumasside liikumises, spiraalsetes galaktikates
ja mujal.
47

48

49
(No Transcript)
50
(No Transcript)
51
(No Transcript)
52
Kuldnurk ja Fibonacci jada
53
Kuldnurk kehtib looduses, kui näiteks taimed
moodustavad uusi organeid nagu varsi, lehti ja
õisi. Taimed moodustavad uusi organeid alati
pisikeses tipuosas paiknevast
algkoest, mida kutsutakse meristeemiks.
Enamiku taimede uued kasvud paiknevad
unikaalselt kuldnurga all moodustades
spiraale.Vaata järgneval jooniselt lehti 1 2
3 jne
54
(No Transcript)
55
Iga uus kasv hakkab arenema kuldnurga all eelmise
kasvu suhtes, seega pole kunagi sellist kasvu,
mis areneks välja teisega täpselt samas suunas.
Sellisel viisil ei teki nn raisatud ruumi ja
ükski leht ei jää täpselt teise varju.
56
Kuldnurk on ligikaudu 137,5º. See on f murdosale
vastav osa täispöördest. f murdosale
lähedased murrud 5/8, 8/13, 13/21 jne. Mitte
ükski lihtmurd ei väljenda täpselt parimat
kuldnurgale vastavat osa täispöördest.
57
Kuldnurga leidmine Fibonacci arvude suhte järgi
58
Fibonacci arvud ja inimene
59
A.Düreri joonis
60
(No Transcript)
61
Inimese kõrva ehitus.
62
Loe kindlasti Dan Browni
raamatut Da Vinci kood
või vaata samanimelist
filmi.
63
Lisamaterjale

• http//goldennumber.net/
• http//www.maths.surrey.ac.uk/hosted-sites/R.Knott
  /Fibonacci/fibnat.html (sisaldab ka ülesandeid ja
  uurimisküsimusi)
• You Toube Fibonacci sequence in music, Fibonacci
  Spiral,
• jpm