N

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Números Complexos
Definição Um número complexo z pode ser definido
como um par ordenado (x, y) de números reais x e
y, z (x, y) (1) sujeito às regras e
leis de operações
dadas a seguir (2) a (5). (2) (x, 0) x o par
(x, 0) é identificado como o número
real x (0, 1) i é chamado
de unidade imaginária (x, y)
representam a parte real e a parte imaginária,
isto é, R(z) x e Y(z) y.
2
(3) (x1, y1) (x2, y2) ltgt x1 x2 e
y1 y2 Se z1 (x1, y1) e z2
(x2, y2) então (4) z1 z2 (x1 x2 , y1
y2) (x1, y1) (x2, y2) (5) z1 z2 (x1 y1)
x (x2 y2) (x1 x2 - y1 y2, x1 y2 x2 y1) (6)
Cada número complexo (não real) pode ser escrito
como a soma de um número real e um número
complexo puro z (x, y) x yi Como
consequencia da equação (6), pode se escrever a
fórmula (5) como (x1 y1i) x (x2 y2i) x1 x2
- y1 y2 (x1 y2 x2 y1)i
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Exemplo Dados os números z1 (2,1) e z2
(3, 0) Calcular z1 z2 , z1 x z2 e
z12 Solução z1 z2 (2, 1) (3, 0) (2
3, 1 0) (5, 1) z1 z2 (2, 1) x (3, 0)
(2 x 3 - 1 x 0, 2x03x1) (6, 3) z12 (2, 1) x
(2, 1) (2 x 2 - 1 x 1, 2x12x1) (3, 4)
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2 - Propriedades Subtração (inverso da adição) z1
- z2 z3 z1 z2 z3 ou (x2 , y2) (x3
, y3) (x1 , y1) Assim, z1 - z2 (x1 - x2,
y1- y2) (x1 - x2) (y1- y2)i Divisão
(inversa da multiplicação) (z1 / z2) z3 se
z1 z2 z3, (z2 ? 0) ou (x2 x3 - y2
y3 , x2 y3 x3 y2) (x1 , y1)
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Logo, igualando os pontos correspondentes e
resolvendo em relação a x3, y3, temos z1/ z2
(x1 x2 y1 y2)/ (x22 y22 ) (x2 y1 - x1
y2)i / (x22 y22 ), z2 ? 0. Assim z1/ z2
z1(1/ z2), 1/(z2 z3) (1/z2) (1/z3), ( z2
? 0 z3 ? 0) Exemplo Determine o valor da
expressão (-13i)(12i) / (2-i) 2i (-1-
6i) / (2 - i) 2i (-7 i) / (2 -i) 2i
(- 14 -1) / (4 1) (2 -7)i /5 2i -3
i
6
Leis para adição e subtração a) z1 z2
z2 z1 (comutativa) b) z1
(z2 z3) (z1 z2) z3 (associativa) c)
z1 (z2 z3) (z1 z2) z3
(associativa) d) z1 (z2 z3) z1 z2 z1z3
(distributiva)
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3 - Representação gráfica
Cada número complexo corresponde a um único
ponto, e reciprocamente, no plano cartesiano
xy. Exemplo O número z -2 i é
representado por
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(No Transcript)
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4 - Conjugados complexos
Chama-se conjugado do número complexo z (x, y)
x yi ao complexo z x - yi (x, -y) Se
z1 (x1, y1) e z2 (x2, y2), então z1
z2 x1 x2 - (y1 y2)i (x1- y1i) (x2 -
y2i) z1 z2 Ou seja o conjugado
da soma é igual a soma dos conjugados.
-
-------
--
--
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E também valem z1 - z2 z1 - z2 z1 z2
z1 z2 (z1 / z2) z1 / z2
e ainda z z 2x
2R(z) -- a soma de um complexo com o seu
conjugado é um
real z - z 2yi 2I(z)i -- a diferença entre
um complexo e seu
conjugado é um imaginário puro Usando conjugado,
pode-se fazer a divisão de dois complexos
multiplicando o numerador e o denominador pelo
seu conjugado.
_____
__ __
____
_ _
__
__
____
_
_
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5 - Valores absolutos
Se x e y são reais, chama-se valor absoluto ou
módulo de um número complexo z x yi ao real
não negativo
Assim,
Associado a cada número complexo z há 3 números
reais já definidos z, R(z) e I(z) que
resultam
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z2 R(z)2 I(z)2 e as condições z ?
R(z) ? R(z) e z ? I(z) ?
I(z) e que zz x2 y2 z2 z
z z1 z2 z1 z2 z1 / z2 z1
/ z2, z2 ? 0 e as desigualdades z1 z2
? z1 z2 z1 - z2 ? z1 - z2
__
_
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Exemplo Dados os complexos z1 3 4i e z2
12- 5i Calcule
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6 - Forma polar
Sejam r e ? as coordenadas polares do ponto
representado z, Figura a seguir, onde r ? 0.
Então x rcos ? e y rsen ? e z pode ser
escrito como z r (cos ? i sen ?) onde
Isto é r z e ? é o argumento de z denotado
por argz. Quando z ? 0, ? pode ser determinado
por tg ? y/ x.
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Exemplo Seja
Então
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7 - Produto, Potência e Quociente
O produto de dois números complexos z1 r1
(cos ?1 i sen ?1) e z2 r2 (cos ?2 i
sen ?2) é z1 z2 r1 r2 cos (?1 ?2 ) i sen
(?1 ?2 ). Logo, arg(z1 z2 ) arg(z1)
arg(z2) Assim, z1 z2 ...zn r1 r2 ...rn cos
(?1 ?2 ...?n ) i sen ( ?1 ?2 ...?n
). Se z r (cos ? i sen ?) e n ? Z,

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zn r n (cos n? i sen n?). Se r 1 temos o
Teorema De Moivre (cos? i sen?) n cos n?
i sen n?. O quociente de dois números complexos é
dado por (z1/ z2) (r 1/ r2) cos (?1- ?2) i
sen (?1- ?2), r2 ? 0. Que pode ser obtida pelo
inverso da multiplicação (1/ z) (1/ r) cos
(- ?) i sen (- ?) (1/ r) cos (?) - i sen
(?) (caso particular). Logo z-n (1/ z)n
(1/ rn) cos (-n?) i sen (-n?)
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Exemplos Dados os números
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8 - Extração de raizes
Extrair as raizes n-ésimas z1/n de um complexo z
é resolver a equação zon z.
Podemos escrever z0 r0 (cos ?0 isen ?0)
ou r0n (cos n?o isen n?0) r (cos ? i sen
?) Se os ângulos são dados em radianos,
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Onde k 0, 1, ...(n-1). São os valores de
z1/n. Exemplo Calcular as raizes cúbicas de
8. Neste caso temos os valores z 8, r 3 e
? 0. Para k 0, z0 81/3 (cos 0 i sen 0)
2 k 1, z0 81/3 cos (2?/3) i sen (2?/3)
-1 31/2i k2, z0 81/3 cos (4?/3) i sen
(4?/3) 1 - 31/2i
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9 - Regiões no plano complexo
A origem z 0, bem como cada ponto do círculo
unitário z 1, é um ponto de fronteira de
qualquer um dos seguintes conjuntos 0 lt z lt 1
ou 0 lt z ? 1
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Funções Analíticas
1- Funções de uma variável complexa. Se para
cada z ? S, o valor de uma segunda variável
complexa w é determinado, então w é uma
função da variável complexa z no conjunto S
w f(z). Uma função é dita univalente em
S se ela tem um valor correspondente a cada
valor de z em S. Exemplo Quais os domínios de
cada uma das funções a seguir f1(z) z3 2zi -
2 Neste caso é o plano complexo
inteiro.
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f2(z) z. Aqui também é o plano complexo
inteiro. f3(z) 1/(z21). Neste caso f3 não
está definida em z ? i. Se u e v são funções
representando a parte real e a imaginária
respectivamente, então f(z) u(x,y)
iv(x,y) Exemplo Se f(z) z2 (xyi)2, então u
x2 - y2 e v 2xy. Se n é um inteiro não
negativo e se a0 a1... an são constantes
complexas, a função P(z) a0 a1z ... anzn,
an ? 0 é um polinômio em z, de grau n.
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2- Transformação A função z2 pode
ser vista como uma translação de cada ponto z
à posição w z2, duas unidades à direita de
z. A função w z leva cada ponto z na
reflexão z desse ponto no eixo real.
-
-
A função w (x2 y2)1/2 -iy leva os pontos
de cada círculo x2 y2 c, c ? 0, em alguns
pontos da reta u c, pois u (x2 y2)1/2
. 3 - Limites Seja f uma função definida em
todos os pontos de uma vizinhança de um ponto
z0. Lim f(z) w0
z--gtzo
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Isto significa que, para cada número positivo ?,
existe um número positivo ? tal que f(z) - w0
lt ? sempre que z - z0 lt ?, z ? z0.
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Exemplo sobre a determinação de limites. Seja
lim f(z) lim (z2 - 1) / (z - 1) 2
z--gt1
z--gt1
Prova Para z 1, f(z) não existe. Para z ?
1, temos f(z) z 1. Assim, f(z) - 2 z
1 -2 z - 1. Logo f(z) - 2 lt ? sempre
que 0 lt z -1 lt ?. Daí a condição de limite é
satisfeita bastando que ? ?. Quando o limite
de uma função f existe em z0, esse limite tem um
único valor.
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Teorema Sejam f e F funções cujos limites
existem em z0 lim f(z) w0, lim F(z)
W0
z--gt z0
z--gt z0
Então lim f(z) F(z) w0 W0,
limf(z)F(z) w0W0
z--gt z0
z--gt z0
E se w0 ? 0, lim f(z) / F(z) w0 / W0
z--gt z0
O limite de um polinômio P(z) a0 a1z
...anzn é o valor desse polinômio em z0,
para todo z0, lim P(z) P(z0).
z--gt z0
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4 - Continuidade Uma função f é contínua
num ponto z0 se, e somente se, todas as 3
condições a seguir forem satisfeitas a) f(z0)
existe b) lim f(z) existe e c) lim f(z)
f(z0)
z--gtz0
z--gtz0
Como consequencia, se duas funções são contínuas,
sua soma e produto também o são, e o seu
quociente é contínuo, exceto nos pontos z, para
os quais o denominador se anula. Logo a condição
c) acima pode ser escrita como f(z) - f(z0) lt
? sempre que z - z0 lt ?. Para cada número
positivo ? existe um número ? satisfazendo a
condição acima.
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Função contínua de função contínua é contínua.
Assim, se g(z) é contínua e f é contínua em g(z)
então f(g(z)) é contínua em z0. 5 - A
derivada A derivada f , ou df /dz, de f
em z0 é, então, definida por
se o limite existe.
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Exemplo Seja f(z) z2. Mostre que f
(zo) 2z0 em qualquer z0. Sabemos que

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6 - Fórmulas de derivação A diferença
fundamental entre a derivada nos reais e nos
complexos é que nos complexos o lim na definição
de f (z) é de dimensão dois. Assim temos d(c)
/ dz 0, c --gt constante d(z) / dz
1 d(cw) / dz c (dw / dz). Se as derivadas
w1(z) e w2(z) de duas funções w1 e w2
existem, então d(w1 w2 ) / dz d(w1) / dz
d(w2 ) / dz w1(z) w2(z) d(w1 w2 ) / dz
w1(z) w2(z) w1(z) w2(z)
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E, se w2(z) ? 0, d(w1 / w2 ) / dz w2(z)
w1(z) - w1(z) w2(z) / w2(z)2 Para a
função composta w1(w2), com w1(t) existe em t
w2(t) e w2(z) então, dw1(w2) / dz
dw1 / dw2 dw2 / dz Exemplo Se w1
z5 e w2 2z 1, então d(2z1)5 / dz
d(w25) / dz 5w24 dw2 / dz
10(2z1)4.