Fuzziness: sorellastra dell

1
Fuzziness sorellastra dellincertezza o
primadonna ?

• Pietro Baroni
• Dip. di Elettronica per lAutomazione
• Università di Brescia

2
Un termine fuzzy

• Vaghezza
• Gradualità
• Verità parziale
• Logica multivalore
• Incertezza ?

3
Fuzzy storia

• Intuizioni sparse e isolate da circa un secolo
• Sistematizzazione by Zadeh (1965-...)
• Resistenze e scetticismo dagli inizi ai giorni
  nostri
• Salvata dai giapponesi ...
• Successo applicativo e commerciale
• Maturazione scientifica e tecnologica tuttora in
  corso

4
Fuzzy malintesi

• Fuzzy pensiero (B. Kosko)
• Fuzzy logic come tuttologia
• Tutto quello che si fa con i fuzzy si può fare
  con tecniche più tradizionali (e allora cosa
  avete aspettato fino adesso ?)
• La fuzzy logic non ha fondamenti
  teorici(centinaia di articoli teorici di
  illustri studiosi)

5
Fuzzy applicazioni

• Lavatrici
• Camcorder
• Cambio automatico
• Cementificio
• Metropolitana
• .............

6
Crisp set su dominio discreto
7
Crisp set su dominio discreto
1
0
Rossi
Bianchi
Verdi
Baroni
8
Crisp set su dominio continuo
9
Crisp set

• Definizione tramite un predicato booleanot t
  gt 0 AND t lt 100
• La funzione caratteristica e una funzione
  discontinua con soli due possibili valori

1
0
100
10
Inadeguatezza dei crisp set

• Non sempre i predicati booleani (e le funzioni
  discontinue) sono un buon modello della realtà
• Insieme delle temperature confortevolit t gt
  18 AND t lt 28 ??

1
0
28
18
11
Fuzzy set

• Alcuni insiemi sono meglio definiti da funzioni
  di appartenenza continue, quindi anche il
  relativo predicato non è più booleano ma fuzzy

1
0
28
18
15
35
12
Fuzzy set su dominio continuo
13
Fuzzy set su dominio discreto
14
Fuzzy set su dominio discreto
1
0
Rossi
Bianchi
Verdi
Baroni
15
In una parola ...

• Crisp set C ?C D ? 0, 1 ?C(x) è booleana
• Fuzzy set F ?F D ? 0...1 ?F(x) ha valori
  reali
• Un piccolo salto formale, un enorme salto
  concettuale

16
Operatori base sui fuzzy set

• Intersezione ?A ? B(x) min (?A(x) , ?B(x))
• Unione ?A ? B(x) max (?A(x) , ?B(x))
• Complemento ?Ã(x) 1 - ?A(x)

17
Relazioni tra fuzzy set

• Equivalenza A B ? ?A(x) ?B(x) ?x?D
• Inclusione A ? B ? ?A(x) lt ?B(x) ?x?D

18
Casi limite

• Appartenenza booleana alluniverso
• ?x, ?D(x) 1
• Definizione di insieme vuoto
• ?x, ??(x) 0
• Vale che D ? ?

19
Conferme e novità

• La doppia negazione rimane idempotente
• Rimangono le leggi di De Morgan
• ma
• A ? Ã ? D
• A ? Ã ? ?
• Sparisce il principio del terzo escluso (e di non
  contraddizione)

20
Che altro sui fuzzy set ?

• Fuzzy numbers (circa 3 per circa 2 ?)
• Fuzzy relations (1DM vale poco meno di 1000 )
• Fuzzy matrici
• Fuzzy grafi
• Fuzzy regressione
• .....
• Fuzzy logic
• Fuzzy control

21
Il mondo del vero e del falso

• E un modello del nostro modo di ragionare tra i
  più antichi ed influenti
• E palesemente inadeguato rispetto alla maggior
  parte dei problemi che quotidianamente affrontiamo

22
Il mondo del vero e del falso
Proposizione Valore di verità
Soggetto Attributo Valore attributo (qualit
ativo o quantitativo)
TRUE, FALSE
23
Lo schema base dellinferenza
Conoscenza universale Gli uomini sono mortali
Conoscenza particolare Socrate è uomo
Regola di inferenza Sillogismo
Conclusione Socrate è mortale
24
Limprecisione
Proposizione Valore di verità
TRUE, FALSE
Soggetto Attributo Set di valori
ammissibili (qualitativi o quantitativi)
25
La vaghezza (fuzziness)
Proposizione Valore di verità
Soggetto Attributo Valore attributo
(qualitativo)
0, 1
(o un altro set ordinato con più di due elementi)
26
Lincertezza
Proposizione Valore di verità Grado di
convinzione

• Il grado di convinzione è una proprietà della
  coppia proposizione-valore di verità
• Esso rappresenta uno stato mentale (Quanto ci
  credo) e non uno stato del mondo (Quanto è
  vero)

27
Fuzziness vs. Probabilità
Bicchiere dacqua di montagna ?Potabile(B)
1 P(Potabile, B) 1
28
Fuzziness vs. Probabilità
Bicchiere dacqua di mare ?Potabile(B) 0.4 (o
comunque minore di 1) P(Potabile, B) 1
29
Fuzziness vs. Probabilità
?
Estrazione
Bicchiere dacqua estratto ?Potabile(B) chi lo
sa ? (dubbio tra 0 o 1 in questo
caso) P(Potabile, B) 0.9
30
Fuzziness vs. Probabilità
?
P(Potabile, B) 0.4
?Potabile(B) 0.4
31
Fuzziness vs. Probabilitàil caso più generale
?
Estrazione
?Potabile(B) chi lo sa ? (potrebbe essere 0,
0.4 o 1 in questo caso) P(?Potabile(B) 1)
0.5 P(?Potabile(B) 0.4) 0.2 P(?Potabile(B)
0) 0.3
32
Fuzzy logic

• Narrow vs. broader sense
• Broader sense tutto e niente
• Narrow sense una logica multivalore che
  rappresenta il ragionamento in presenza di verità
  parziali (non di incertezza)

33
Un tipico schema
Valori Input
Valori Output
Fuzzificatore
Defuzzificatore
Fuzzy inference
Fuzzy set
Fuzzy set
Regole Fuzzy
34
Nel cuore della fuzzy logic

• IF varI IS attrI AND varJ IS attrJ OR varK IS
  attrk .....THEN outZ IS attrZ

35
Proposizioni fuzzy

• Sono proposizioni il cui valore di verità è
  definito sullintervallo 0 1
• Tipicamente sono proposizioni di natura
  qualitativa Mario è vecchio, Giorgio è furbo
  ...
• Il valore di verità può essere attribuito
  direttamente (per giudizio incondizionato)
  oppure ...

36
Definizione delleproposizioni fuzzy

• varJ IS attrKun caso molto comune è quello in
  cuivarJ è una grandezza continua misurabile,
  mentre attrK è un attributo qualitativo.
• Es. la temperatura è alta, la velocità è media,
  la tensione è bassa, Giorgio è alto

37
Definizione delleproposizioni fuzzy

• Definizione di una scala di valori qualitativi
• Definizione di ? per ciascun valore

Bambino
Giovane
Adulto
Anziano
1
18
16
14
25
30
50
65
0
38
Definizione delleproposizioni fuzzy

• La definizione delle ? è un passaggio totalmente
  arbitrario che traduce una visione soggettiva del
  mondo

Adolescente
Bambino
Giovane
Maturo
Attempato
Vecchio
1
18
40
16
14
55
65
70
30
0
39
Modificatori linguistici

• ?moltoA (x) (?A(x))2
• ?piùomenoA(x) (?A(x))1/2
• ???

1
Più o menoCaldo
Caldo
Molto Caldo
25
35
40
Connettivi AND e OR

• La logica fuzzy, essendo una logica multivalore
  non incerta è truth-functional il valore di
  verità di una formula composta si può ricavare da
  quello dei componenti
• Al contrario, un teorema dimostra che qualunque
  quantificazione di incertezza non può essere
  truth-functionalAd esempio, P(A AND B)
  P(A)P(B) solo se A è indipendente da B

41
AND, OR, NOT modello base

• AND Intersezione ?(A AND B) min(?(A),
  ?(B))
• OR Unione ?(A OR B) max(?(A), ?(B))?
• NOT Complemento ?(NOT A) 1 - ?(A)

42
Fuzzyficare AND e OR

• Il concetto booleano di AND (tutte le
  componenti devono essere vere) si riflette
  nelloperatore min
• Il concetto booleano di OR (una sola componente
  deve essere vera) si riflette nelloperatore max
• Tra AND e OR booleani ci sono infiniti casi
  intermedi di connettivo quasi tutte le
  componenti, molte, la maggioranza, alcune, poche
  ...
• Quindi, infinite funzioni possibili per AND e OR
  oltre a min e max

43
T-norm

• T-normuna funzione T 0 1 X 0 1 ? 0 1 t.c.
• T(a, b) T(b, a)
• T(a, b) ? T(c, d) IF a ??c AND b ??d
• T(a, T(b, c)) T(T(a, b) , c)
• T(1, a) a
• Min e prodotto sono esempi di T-norm

44
T-conorm (o S-norm)

• S-normuna funzione S 0 1 X 0 1 ? 0 1 t.c.
• S(a, b) S(b, a)
• S(a, b) ? S(c, d) IF a ??c AND b ??d
• S(a, S(b, c)) S(S(a, b) , c)
• S(0, a) a
• Max e (a b - ab) sono esempi di S-norm

45
T-norm e S-norm per AND e OR

• Esistono famiglie di infinite T-norm e S-norm
  legate da relazioni di dualitàT(a, b, ?)
  ab max(a, b, ??S(a, b, ?) a b - ab -
  min(a, b, 1 - ?? ???????????max(1 - a, 1 - b,
  ??
• Fissando ? si sceglie una coppia di operatori AND
  e OR (quasi tutti scelgono min e max)

46
Ma non è finita ...

• Estensione del concetto di mediaOWA operators
  ...

47
Fuzzyficare il NOT

• Anche il concetto di negazione può essere
  sfumato
• Basta una funzione C 0 1 ? 0 1 t.c.
• C(0) 1, C(1) 0
• C(a) ? C(b) IF a lt b
• Anche per la negazione esiste uninfinita scelta
  di operatori

48
Il passo di implicazione

• La regola IF x IS prem THEN y IS cons può essere
  vista come una fuzzy relation R ?R(x,y)
  F(?prem(x) , ?cons(y))
• In pratica per ogni valore di x, passando per
  ?prem(x) si stabilisce una funzione di
  adeguatezza di y (unaltra ?) derivata da ?cons
• Poichè la premessa è fuzzy, lattivazione della
  regola non richiede un matching preciso

49
Operatori di implicazione

• Come per AND e OR ci sono infinite scelte,pure
  limplicazione ha svariate interpretazioni e
  diversi possibili operatori (Zadeh, Godel,
  Lukasiewicz, Mamdani ...)
• Di Mamdani ce ne sono due (molto usati perche
  semplici e ingegneristicamente sensati)
• ?Mam(x,y) min(?prem(x) , ?cons(y))?Mam(x,y)
  ?prem(x) ?cons(y)

50
Fuzzyficazione dellinput

• Il matching di un valore di input con la premessa
  può essere valutato in forma crisp
  (fuzzyficazione banale, la più comune)
• Si può passare dal valore di input a una m
  (tipicamente triangolare o gaussiana) e valutare
  il matching tra ? in input e ? della premessa

51
Generalized modus ponens

• input fuzzyficato ?IN(x)
• regola IF x IS prem THEN y IS cons
• risultato ?OUT(y) derivata da ?IN(x), ?prem(x) ,
  ?cons(y) ?OUT(y) sup T?IN(x), ?R(x,y)

x ? X
52
Generalized modus ponens

• In pratica, nel caso semplificato più comune
• ?IN(x) fuzzy singleton k?OUT(y) ?R(k,y)
• A seconda della scelta di ?R
• ?OUT(y) min(?prem(k) , ?cons(y))?OUT(y)
  ?prem(k) ?cons(y)

53
Laggregazione diconclusioni multiple

• Un valore di verità per una proposizione può
  venire derivato tramite più percorsi deduttivi
• Vale di nuovo il discorso di AND e OR
  generalizzati a seconda delle caratteristiche del
  ragionamento nel dominio (percorsi indipendenti
  oppure tutti necessari, che si corroborano ...)
• Una scelta molto comune è il max tra la varie ?
  risultanti

54
Laggregazione diconclusioni multiple

• Un modo alternativo di procedere che previene
  il problema dellaggregazione di conclusioni
  multiple è combinare a priori le ?R delle regole
  con output comuni in un unico regolone globale
• Di nuovo si possono usare AND o OR generalizzati
  a seconda di come si veda la cosa

55
La defuzzyficazione delloutput

• Limplicazione e aggregazione fuzzy non producono
  un valore ma una funzione di appartenenza ? per
  una grandezza
• Dalla ? si può desiderare di ricavare un singolo
  valore di output
• Di nuovo, svariati diversi criteri sono possibili

56
Esempi di defuzzyficatori

• Max
• Media dei max
• Centroide della ? globale risultante
• Media dei centroidi delle ? dei conseguenti
  pesata sullaltezza dei punti centroidi stessi
• Media dei centroidi delle ? dei conseguenti
  pesata come sopra e anche sulla dispersione delle
  ? dei conseguenti

57
Fuzzy control

• Da tentare quando altre tecniche di controllo non
  sono utilizzabili
• Modelli inesistenti, ma conoscenza di esperti
  disponibile
• Non-linearità
• Svariati parametri di ingresso

58
Perchè funziona ?

• Th Qualsiasi funzione nonlineare continua può
  essere approssimata con precisione a piacere con
  un numero finito di variabili e regole fuzzy (per
  certi operatori)
• E un teorema di esistenza garantisce che una
  buona soluzione fuzzy esiste (il che è
  confortante) ma non dà indicazioni su come
  costruirla (il che lascia spazio anche agli
  insuccessi e alle improvvisazioni)

59
Perchè usare proprio i fuzzy ?

• Rispetto ad altri approssimatori universali
  offrono il vantaggio esclusivo di offrire una
  forma naturale di rappresentazione della
  conoscenza empirica degli esperti
• Sono quindi agevoli da usare e decifrabili nei
  comportamenti
• I casi di successo sono numerosi e indiscutibili

60
Troppe scelte arbitrarie ?

• La definizione di un sistema fuzzy comprende un
  elevato numero di scelte soggettive (a volte
  implicite se si usano certe soluzioni scorciatoia
  standard)
• Il meccanismo è tendenzialmente piuttosto robusto
  rispetto a scelte diverse
• In altri approcci apparentemente più rigorosi
  certe scelte sono mascherate o forzate dalle
  ipotesi iniziali

61
Fuzzy diramazioni

• Senza incertezza
• Fuzzy control
• Fuzzy database
• Soft constraints
• Multicriteria decision making

• Con incertezza
• Possibility theory
• Gradual rules
• Fuzzy expert systems
• Fuzzy probability

• Fuzzy clustering
• Neuro-fuzzy