ELEC 2670cours n

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ELEC 2670 cours n 13 MHD
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Principe
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• La Magnéto-Hydro-Dynamique (MHD) est la filière
  la plus proche de la conversion électromécanique
  classique. La différence fondamentale vient de ce
  que la matière en mouvement nest pas un corps
  solide mais un fluide.
• Un fluide na pas de saillance magnétique (?).
• Donc, il faut quil y ait passage dun courant
  dans le fluide pour quil y ait conversion
  dénergie.
• Le fluide doit donc être conducteur. Cela élimine
  les gaz non ionisés.
• On distingue
• La MHD en phase liquide
• La MHD à plasma (gaz ionisé)

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Les équations de base sont celles du magnétisme
quasistatique. Pour rappel, ces équations sont
associées au changement de référentiel de
Galilée. On retiendra
E est le champ électrique dans le référentiel du
laboratoire, E le champ électrique dans un
référentiel propre à la matière, v la vitesse de
la matière (par rapport au référentiel du
laboratoire) B le champ dinduction magnétique, F
la densité de force, J la densité de courant. Les
trois dernières grandeurs sont les mêmes dans
tous les référentiels galiléens.
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Note le fait davoir un canal divergent dans la
figure ci-dessus vient de ce que le fluide se
dilate au fur et à mesure que sa pression
diminue. Il faut donc une tuyère divergente si
lon veut une vitesse constante dans le
convertisseur MHD.
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Dans léquation
le champ E se réduit souvent à une chute ohmique
où s est la conductivité électrique du milieu. Il
y a un écart significatif dans le cas de la MHD à
plasma parce que, dans ce cas, leffet Hall joue
un rôle non négligeable. Ceci vient du fait que
le libre parcourt moyen des porteurs de charge
est plus long dans ce cas.
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Comme dans le cas des convertisseurs
électromécaniques, le phénomène à la base de la
MHD est réversible la MHD convient aussi bien
pour réaliser des pompes que des générateurs
électriques. On notera que, en supposant E
purement résistif,
donc
La puissance électrique correspond à la puissance
mécanique aux pertes ohmiques près !
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Tesla aurait déjà eu lidée dun dispositif
capable dextraire lénergie de lair.
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La conversion électrique vers mécanique est
largement utilisée pour pomper des fluides
conducteurs. Elle est envisagée pour la
propulsion de navires et de torpilles en
profitant de la conductivité électrique de leau
de mer. Les sites Internet dédiés aux OVNI
citent souvent la propulsion MHD comme une
explication de certains phénomènes.
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Les fluides conducteurs
Les liquides qui ont la résistivité électrique la
plus basse sont les métaux liquides (mercure déjà
à température ambiante, sodium ou potassium
fondus). La MHD à métal liquide est utilisée
sous la forme de pompes MHD. Ces pompes sont
utilisée notamment pour faire circuler le sodium
liquide utilisé pour le refroidissement des
réacteurs nucléaires surgénérateurs. Pour
utiliser ces convertisseurs en générateur, la
difficulté est de mettre le fluide en mouvement.
Les liquides se dilatent peu en fonction de la
température, et ne sont donc pas adaptés à la
réalisation de cycles thermodynamiques. Nous
citons pour mémoire une tentative de mettre du
mercure en oscillation par effet thermoacoustique
le mouvement oscillant peut alors être utilisé
dans un générateur MHD. Les recherches se sont
(sétaient ?) plutôt orientées vers lutilisation
démulsions formées dun métal liquide (phase
continue) et dun gaz inerte, comme largon,
(phase discontinue).
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Plusieurs expressions ont été proposées dans la
littérature pour calculer la résistivité
électrique  macroscopique  dune émulsion en
fonction du taux a (en volume) de la phase
dispersée. En fait, les formules récentes ne sont
pas meilleures que la plus ancienne, due à
Maxwell. Si nous désignons par lindice 1 la
phase continue et par lindice 2 la phase
dispersée, la formule de Maxwell sécrit
Jai montré que la formule de Maxwell peut
sobtenir par un calcul dhomogénéisation à
lapproximation sphérique. E. Matagne, La
correspondance entre modèles microscopiques et
macroscopiques, Portugaliae Physica, 9,4 (1975)
141-176 Dans le cas qui nous intéresse, s2 0 .
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• Les émulsions ont des propriétés
  thermodynamiques. A noter que, lors de la
  dilatation du gaz, le métal liquide sert de
  réservoir de chaleur.
• Pour la production délectricité à grande
  échelle, les générateurs MHD pourraient être
  intéressant comme premier étage (entre la
  température de la chaudière et la température du
  générateur de vapeur dun cycle classique).
• Mais
• La température des réacteurs nucléaires est trop
  basse pour que le dispositif soit intéressant
• Le processus est difficile à gérer
• fuites
• agressivité des oxydes de sodium et de
  potassium
• difficultés pour éviter la séparation des
  constituants de lémulsion
• Cette loge économique est actuellement prise par
  les turbines à gaz (centrales TGV) !

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• Une autre catégorie de liquides conducteurs sont
  les électrolytes. Les inconvénients de ces
  liquides sont
• quils sont des conducteurs médiocres,
• que le passage dun courant saccompagne de
  réactions chimiques aux électrodes
• Le second inconvénient peut être contourné en
  utilisant des dispositifs sans électrodes. Les
  seuls courants qui traversent le fluide sont
  alors des courants induits mais la mauvaise
  conductivité des électrolytes rend difficile
  lobtention de courants importants.
• La MHD est utilisée pour pomper des liquides
  électrolytes.
• Elle est envisagée pour la propulsion de navires
  militaires en mer.
• Pourquoi pas pour la production dénergie
  électrique à partir de lénergie des courants
  marins ?

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En ce qui concerne les gaz, ils sont isolants et
ne deviennent des plasmas quà des températures
très élevées. On a pu abaisser ces températures à
2200C 2800C par adjonction de vapeurs
métalliques de césium et de potassium (agents
ionisants). On distingue deux types de
générateurs MHD à plasma, selon que le cycle
thermodynamique est ouvert ou fermé.
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Dans le cas dun cycle ouvert, on introduit dans
la chambre de combustion lair préchauffé et
lagent ionisant. Après passage dans le
générateur MHD, les gaz sont utilisés pour
préchauffer lair, puis pour alimenter une
chaudière classique. Ils sont ensuite rejetés.
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Pour éviter la perte dans latmosphère de lagent
ionisant, on peut réaliser un circuit fermé où
circule le fluide ionisé à haute température. Le
fluide est alors un gaz rare (argon ou hélium)
chauffé dans un échangeur à très haute
température. Actuellement, les générateurs MHD à
plasma, tout comme ceux à émulsion dun métal
liquide, ont été supplantés par les turbines à
gaz !
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Aspect circuit du convertisseur
Plutôt que de décrire le fonctionnement du
convertisseur MHD en termes de champ,
lutilisateur préfère une description en termes
de circuit. Si la zone utile était rectangulaire
et si les champs étaient uniformes (champ de
vitesse, champ magnétique et champ électrique),
la correspondance entre champs et circuit serait
triviale.
Avec I J L1 L2 U E L3 Q v L2 L3 Dp F L1

• Ce sont des formules simples analogues à celles
  dune machine DC. Malheureusement,
• les géométries sont plus complexes,
• les champs, notamment le champ de vitesse qui
  doit être nul contre les parois, ne sont pas
  uniformes,
• pertes dues à la viscosité du fluide.

On obtiendrait
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Quelle topologie pour le convertisseur ?
Entrefer cylindrique La solution la plus proche
des machines classiques consiste à utiliser un
entrefer cylindrique. Dans ce cas, il ny a pas
deffet dextrémité (le champ tournant se mord la
queue), mais il y a des effets de bord. Le
conduit ne peut pas être purement longitudinal
le tube contenant le fluide en mouvement est
enroulé en spirale dans lentrefer. Le courant
doit donc traverser plusieurs fois le tube on
prend un tube rectangulaire pour offrir une plus
grande surface de contact entre les boucles de la
spirale. Chercher une image !
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Entrefer plan Comme dans le cas des moteurs
linéaires, on peut  dérouler  la structure
cylindrique pour donner à lentrefer la forme
dun plan.
Dans ce cas, il y a à la fois des effets
dextrémité (le champ glissant ne peut pas être
parfait) et des effets de bord. Le conduit peut
être purement longitudinal !
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J.P. Hansen, Contribution à létude de la
production magnétohydrodynamique dénergie
électrique en veine liquide, Thèse Paris VI, 1974
La partie inférieure de ce dispositif doit être
insérée dans lentrefer dun stator produisant un
champ glissant (analogue du champ tournant dans
les machines rotatives). Il sagit dune variante
du moteur à induction (asynchrone) à cage. Les
barres de fermeture du courant sont analogues aux
anneaux de court-circuit dont sont munis les
rotors des machines asynchrones à cage.
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Entrefer annulaire Il existe en MHD une topologie
qui na pas son correspondant parmi les machines
classiques. On lobtient en repliant le plan
dentrefer de façon à réunir les deux bords. Dans
ce cas, on garde les effets dextrémité, mais on
supprime leffet de bord. Cette géométrie est
particulièrement intéressante dans le cas des
convertisseurs à induction (analogue de la
machine asynchrone à cage) car les courants
induits se referment sans avoir besoin
délectrodes ni de bague de court circuit.
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E. DE COSTER, Étude dun convertisseur
magnétohydrodynamique à sodium liquide, TFE UCL,
1977
La forme des pièces magnétiques vient du fait
quelles doivent être feuilletées dans la
direction longitudinale. A noter le peu despace
occupé par la veine fluide.
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Autre vue de la même machine. A noter la forme
très simple des bobines.
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On peut aussi utiliser la topologie annulaire
avec des électrodes, ce qui permet de réaliser un
convertisseur à courant continu (et surtout
dutiliser des aimants permanents pour obtenir un
champ magnétique sans dépense dénergie).
Rapport du stage en LEI de Nedjoua Bennecib, 2007
Communication ELECTRIMACS en 2011
Sur cette figure, le circuit magnétique extérieur
à la veine liquide nest pas représenté. Puisque
le champ va partout du centre vers lextérieur,
il faut un autre tronçon où le champ va de
lextérieur vers lintérieur.
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Ici, on a un tronçon principal équipé
délectrodes, deux tronçons inactifs sous les
bobines et deux tronçons de retour, qui peuvent
être ou non équipés délectrodes.
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Études analytiques

• En toute généralité, le problème de lanalyse de
  tels dispositifs est 4D (3D temps).
• On peut réduire la dimension du problème dune
  unité en supposant
• le mouvement stationnaire,
• ou la symétrie de rotation (champs indépendants
  de j ),
• ou la symétrie dans le sens longitudinal (champs
  indépendants de z).
• Nous allons utiliser les trois approximations
  simultanément pour obtenir un problème à une
  seule dimension ! Le problème est traité en
  coordonnées cylindriques r, j et z .
• Pour cela, il faut négliger les effets de bord
  aux frontières entre les différents tronçons du
  canal. On doit aussi supposer que le fluide
  nadhère pas aux électrodes ainsi que
• soit que les paires délectrodes sont infiniment
  minces,
• soit que le courant électrique circulant dans le
  fluide na pas deffet sur le champ magnétique B
  (donc que ce dernier est dû uniquement à lapport
  du flux F par larmature centrale).

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• On suppose aussi
• que le fluide est incompressible,
• quil est caractérisé par une viscosité
  dynamique h et une conductivité électrique s
  constantes,
• que le mouvement est laminaire.

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• On suppose que les limites r r1 et r r2 sont
  isolantes. Compte tenu de la symétrie, il ne peut
  y avoir de courant radial, donc la composante
  radiale du champ électrique na pas deffet et
  na pas besoin dêtre calculée.
• La composante azimutale du champ électrique vaut
• soit

où U est la tension et m le nombre de paires
délectrodes, donc le nombre de subdivision du
canal.
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Par ailleurs, puisque le champ magnétique ne
dépend pas de z, la symétrie cylindrique et la
loi de Gauss nous donnent lexpression du champ
dentrefer radial
où F est le flux qui traverse lentrefer dans le
tronçon considéré et L sa longueur. Pour que
cette approximation soit valide, il faut que le
champ de réaction dinduit (celui qui est associé
au courant circulant dans le fluide) soit
négligeable.
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A cause de la symétrie cylindrique du problème,
les forces électromagnétiques ne dépendent ni de
j ni de z . Le seul résultat des forces radiales
sera lapparition dun gradient de pression dans
la direction radiale, sans influence sur le
mouvement. On peut donc supposer que la seule
composante de la vitesse est vz - v(r) où le
signe a été introduit pour tenir compte du fait
que, pour un fonctionnement normal en pompe avec
I et F positifs, vz est négative. La loi dOhm
permet décrire
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Les forces radiales ne pouvant produire de
mouvement, nous ne nous intéressons quà la force
dans la direction longitudinale

• Cette densité de force doit, en régime permanent,
  être égalée à la densité de force mécanique.
  Cette dernière est la divergence du tenseur de
  contrainte. Celui-ci comporte comme éléments
• la pression p ,
• et le cisaillement

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Léquation déquilibre sécrira donc
Soit, en remplaçant p et J par leur expression
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Solution exacte (du modèle simplifié !)
Il sagit dune équation différentielle du
premier ordre. La solution sobtient en
superposant une solution générale de léquation
homogène et une solution particulière. La partie
homogène de léquation peut être mise sous la
forme dune équation dEuler-Cauchy
Sa solution générale est
où C et D sont des coefficients à déterminer et
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En ajoutant à la solution générale une solution
particulière de léquation initiale, on obtient
Le calcul des coefficients C et D devient
incommode lorsque F est faible. Nous allons donc
étudier léquation directement dans le cas F 0 .
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Cas particulier
Nous cherchons un cas particulier plus simple à
résoudre afin de pouvoir par la suite introduire
des hypothèses simplificatrices supplémentaires
de façon rationnelle. Nous étudions pour cela le
cas F 0 en détail, bien que ce cas ne soit
directement applicable que pour létude des
tronçons inactifs du convertisseur. Léquation
différentielle devient simplement
La solution de cette équation est très simple,
puisquil suffit pour la trouver dintégrer deux
fois léquation. On trouve successivement
puis
où C et D sont deux constantes dintégration.
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En imposant la nullité de la vitesse en r1 et r2
, on a un système déquations linéaires en C et
D. En réintroduisant les expressions de C et D
dans lexpression de la vitesse, on a finalement
En fait, ce qui intéresse lutilisateur est le
débit Q . On lobtient en intégrant le profil de
vitesse sur la section de la veine liquide, soit
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Après quelques simplifications, on obtient
soit
avec comme expression de la résistance
hydraulique dun conduit annulaire
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Test Si r1 tend vers 0, on retrouve lexpression
bien connue de la résistance hydraulique dun
tube (expérience de Poiseuille)
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Lorsque F est nul, le calcul de la densité de
courant devient également simple. En effet, il
ny a pas de force électromotrice due au
mouvement, de sorte que la répartition de courant
se réduit à
Lintégrale de cette densité de courant fournit
le courant
soit
avec
40
En utilisant la relation entre Q et Dp, on peut
exprimer la répartition de vitesse en fonction de
Q
De même, en utilisant la relation entre I et U,
on peut exprimer la répartition du courant en
fonction de I, soit
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Correspondance avec un modèle  circuit 
Le nombre de degrés de liberté des variables de
type champ (champ de vitesse, champ de densité de
courant) est infini. On peut obtenir une
solution approchée en supposant connue la forme
des répartitions de vitesse et de courant. On
peut ainsi réduire le nombre de degrés de liberté
(infini dans le modèle de départ) à un nombre
fini (Q, I ). On peut obtenir des répartitions
de vitesse et de courant  réalistes  en prenant
celles correspondant au cas particulier où F 0
. On définit ainsi un  circuit hydraulique  par
une  densité de filets de débit 
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On définit de même un  circuit électrique  par
une  densité de filets de courants 
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Pour trouver léquation électrique du
convertisseur, on commence alors par écrire
lexpression du champ électrique en terme de I et
Q . Léquation
devient, compte tenu des expressions précédentes,
Cette expression étant approchée, lintégrale de
ligne de E entre deux électrodes dépend du chemin
dintégration choisi. On évite ce problème en
utilisant la notion de  densité de filets de
courant  introduite aux transparents précédent
pour obtenir une valeur  moyenne .
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Pour obtenir une expression de U en fonction de I
et Q, on peut en effet appliquer une procédure
 standard  consistant à multiplier lexpression
de E par la densité de filets de courants Nelec
et effectuer lintégrale sur tout le volume de la
veine concernée. On obtient ainsi une équation
analogue à léquation électrique dune machine DC
où lon a retrouvé pour Relec lexpression déjà
introduite plus haut, et où
Lexpression de k est aussi celle que lon
obtiendrait en faisant lhypothèse dune vitesse
uniforme sur toute la section de la veine. Nous
lavons obtenue ici sans faire cette
approximation.
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Léquation hydraulique approchée sobtient de
façon similaire. On commence par exprimer le
gradient de pression en fonction de Q et I. On
obtient
En multipliant cette expression par la densité de
filets de débit, puis en intégrant sur le volume
de la veine liquide, on obtient
redécouvrant ainsi les expressions déjà connues
de Rhy et k ! Cette expression est similaire à
celle du couple dune machine DC avec un terme de
frottement visqueux.