Matematyk bada regulacje gen

1
Matematyk bada regulacje genów

• Winfried Just
• Department of Mathematics
• Ohio University

2
Nowy mikroskop i nowa fizyka

• W 2004 ukazal sie w PLoS Biology artykul Joel E.
  Cohena pt.
• Mathematics Is Biology's Next Microscope, Only
  Better
• Biology Is Mathematics' Next Physics, Only
  Better.
• Czyzby?
• Czym sie rózni ten nowy mikroskop od dobrze nam
  znanych?
• Jak sie nim poslugiwac?
• I dlaczego matematycy zaczeli sie powaznie
  interesowac
• biologia?

3
Wiecej dobrych wiadomosci

• NSF i NIH ostatnio przeznaczaja duze dotacje na
  biomatematyke.
• Np. w 2002 powstal Mathematical Biosciences
  Institute, pierwszy i dotad jedyny instytut NSFu
  specjalizujacy sie wylacznie w zastosowaniach
  matematyki do jednej dziedziny.
• Powstaly niedawno równiez inne instytuty
  biomatematyczne, sfinansowane ze srodków
  prywatnych.
• Powstaje sporo nowych czasopism specjalizujacych
  sie w biomatematyce.
• Rynek pracy jest bardzo korzystny dla
  biomatematyków szukajacych zatrudnienie, badz na
  uczelniach, badz w przemysle, zwlaszcza w
  przemysle farmaceutycznym.

4
Skad ten trend?

• I dlaczego obserwujemy ten rozwój teraz, a nie 30
  lat temu, lub
• za 30 lat? Skladaja sie na to dwa glówne powody
• Wspólczesne badania biologiczne dostarczaja
  olbrzymia ilosc danych. Wyciaganie znaczacych
  wniosków biologicznych z tych danych wymaga
  analizy za pomoca komputerów, opartej na
  odpowiednich modelach matematycznych. Zatem
  matematyka stala sie narzedziem niezbednym.
• Obecne komputery pozwalaja nam na badanie modeli
  matematycznych dostatecznie rozbudowanych by
  wyciagac realistyczne wnioski. Matematyka stala
  sie narzedziem pozytecznym.

5
Przyklad zbioru danych Genbank

• Pierwszy genom wirusa zostal opublikowany w
  latach 80-tych,
• pierwszy genom bakterii H. influenzae, 1.83 106
  bp, w 1995,
• pierwszy genom organizmu wielokomórkowego
• C. elegans, 108 bp, w 1998. Szkic naszego
  genomu,
• H. sapiens, p 109 bp, zostal ogloszony w
  czerwcu 2000.
• W lutym 2008 Genbank zawieral 85 759 586 764 bp
  informacji.
• Jak z tej ilosci informacji wyciagnac konkretne
  wnioski?

6
Gdzie sa geny?

• Popatrzmy np. na wlasny genom. Informacja o nim
  jest
• zapisana w Genbank jako dlugi ciag p 109 liter
• ...actggtacctgtatatggacgctccatatttaatgcgcgatgcagga
  tctaaa...
• Mniej niz 1,5 tego ciagu koduje bialka. Jak
  znalezc te geny?
• Oczywiscie zaden czlowiek nie moze przeczytac
  tego ciagu.
• Komputer robi to z latwoscia. Wiec moze komputer
  nam
• powie w jakim miejscu zaczyna sie gen, a gdzie
  sie konczy?
• Ale co wlasciwie ten komputer ma policzyc?

7
Kasyno Poczciwego Craiga

• Jest to kasyno w stanie Nevada gdzie sie gra w
  ruletke
• 64-liczbowa. W kazdej rundzie gracz stawia
  zetony na
• trzy z tych 64 liczb. Jesli kulka wpada na jedna
  z tych
• trzech wybranych liczb, poczciwy Craig wyplaca
• odpowiednia sume. Jesli nie, gracz traci swoje
  zetony.
• Latwo policzyc ze przecietny czas oczekiwania na
• pierwsza wygrana wynosi 64/3 21,33 rundek.

8
Prawdopodobienstwo dlugich czasów oczekiwania

• Zalózmy ze Craig jest taki poczciwy jak twierdzi.
  Wtedy
• prawdopodobienstwo P(k) ze nasz gracz ciagle
  przegrywa przez
• pierwsze k rund wynosi (61/64)k. W
  szczególnosci, zaczynajac
• od k 50 otrzymujemy prawdopodobienstwa
• P(50) 0,0907 P(51) 0,0864 P(52) 0,0824
  P(53) 0,0785 P(54) 0,0748
• P(55) 0,0713 P(56) 0,0680 P(57) 0,0648
  P(58) 0,0618 P(59) 0,0589
• P(60) 0,0561 P(61) 0,0535 P(62) 0,0510
  P(63) 0,0486 P(64) 0,0463
• P(65) 0,0441 P(66) 0,0421 P(67) 0,0401
  P(68) 0,0382 P(69) 0,0364
• P(100) 0,0082 P(200) 0,000064 P(300)
  0,00000055

9
Troche terminologii statystycznej

• Zalózenie, ze Craig jest taki poczciwy jak
  twierdzi jest nasza
• hipoteza zerowa. Podejrzenie, ze jednak oszukuje
  jest hipoteza
• alternatywna. Hipoteze zerowa nalezy odrzucic
  jesli ona
• implikuje ze prawdopodobienstwo obserwowanych
  wartosci
• jest ponizej poziomu istotnosci, który sie w
  nauce na ogól
• przyjmuje jako 0.05.
• Bledne oskarzenie poczciwego Craiga o oszustwo
  byloby
• bledem pierwszego rodzaju, podczas gdy ufanie mu
  kiedy
• naprawde oszukuje byloby bledem drugiego rodzaju.

10
Laboratorium Craiga Ventera

• W 1995 zespól Craiga Ventera sekwencjonowal genom
  bakterii
• H. influenzae. W celu odkrywania pozycji 1740
  kodujacych
• bialka genów w tym ciagu 1 830 140 par zasad DNA
  mozna
• rozumowac tak W bakteriach prawie caly genom
  koduje bialka.
• Zaczynajmy od pozycji n i odczytujmy literki
  trójkami
• (n, n1, n2), (n3, n4, n5), Jesli jestesmy
  we wlasciwym
• reading frame, to daje nam to sekwencje kodonów
  konczaca
• sie kodonem STOP, czyli TAA, TGA, lub TAG taki
  kodon STOP
• wystepuje przecietnie raz na ok. 300 trójek.
  Jesli jestesmy w
• jednym z pieciu niewlasciwych reading frames, to
  czytamy
• galimatius, czyli ciag mniej wiecej losowy, i
  jedna z trójek
• TAA, TGA, TAG powinna wystepowac przecietnie raz
  na
• 64/3 21.33 pozycji.
• Skad my to znamy?

11
To ten sam problem!

• Z drobnymi modyfikacjami Hipoteza zerowa teraz
  bedzie ze
• czytamy w niewlasciwym reading frame, hipoteza
  alternatywna
• bedzie ze czytamy ciag kodujacy w poprawnym
  reading frame.
• Jesli przez kolejne 63 trójki nie spotykamy
  kodonu STOP, to
• mozemy hipoteze zerowa odrzucic na poziomie
  istotnosci 0.05
• i uznac, ze znalezlismy gen kodujacy bialko,
  którego koniec juz
• latwo ustalic.
• Troche trudniej znalezc poczatek genu, gdyz ATG
  jest zarówno
• kodonem START i kodonem na metionine, a promotor
  tez jest
• czescia genu. Ale ten promotor sie na ogól
  zaczyna kilka
• pozycji od konca poprzedniego genu.
• Co prawda galimatius w niewlasciwych reading
  frames nie
• jest zupelnie losowy i pozostaje jeszcze problem
  znalezienia
• genów kodujacych RNA i genów kodujacych bardzo
  krótkie
• bialka, ale w zasadzie to podejscie pracuje.
  

12
Laboratorium Craiga Ventera w roku 2000

• Ale teraz popatrzmy na genom eukariota, H.
  Sapiens
• Geny kodujace bialka stanowia tylko drobna czesc
  naszego genomu.
• Ciagi kodujace, czyli egzony, sa przeplatane
  intronami.
• Dany kodon moze byc przeciety intronem.
• Egzony nie musza wystepowac w tym samym reading
  frame.
• Introny wygladaja raczej jak ciagi losowe.
• Wiec mamy duzo trudniejszy problem. Istnieja w
  tej chwili
• dosc dobre algorytmy znajdujace geny w
  eukariotach, ale
• Zaden algorytm przystosowany do prokariotów nie
  bedzie tu
• pracowal.

13
Wnioski z tej historyjki

• Matematyka jest swietnym narzedziem do
  dostrzegania wspólnej strutury w pozornie
  zupelnie róznych problemach.
• Model matematyczny moze pomóc w sformulowania
  hipotezy, czesto w postaci prawdopodobienstwa.
• Ostateczna interpretacja tej hipotezy i jej
  potwierdzenie za pomoca eksperymentu nalezy do
  biologa.
• Matematycy maja tendencje do mówienia o zawilych
  teoriach w swoim zargonie zamiast dac proste i
  konkretne odpowiedzi. Kluczem do skutecznej
  wspólpracy jest znalezienie wspólnego jezyka.
• Mikroskopy matematyczne czesto przychodza bez
  instrukcji obslugi. By skutecznie uzywac
  matematyczne narzedzia w biologii trzeba w pewnym
  stopniu rozumiec, jak one pracuja. Wybór
  odpowiedniego miskroskopu czesto wymaga aktywnej
  wspólpracy miedzy biologami i matematykami.

14
Znalezlismy gen. Co on robi?

• Bialka o podobnej sekwenji aminokwasów czesto
• ewoluowaly ze wspólnego przodka. Bialka ze
  wspólnym
• przodkiem czesto spelniaja podobna role w
  organizmie.
• Wiec jesli odkrylismy nowe bialko, to mozemy
• sformulowac dobra hipoteze o jego funkcji na
• podstawie znanych funkcji bialek o podobnej
  sekwencji.
• Do wyszukiwania tych ostatnich w bazie danych
• Genbank mozemy uzywac programu BLAST
• (Basic Local Alignment Search Tool).

15
Matematyka BLASTu

• Jak zdefiniowac podobienstwo sekwencji?
• Nie wszystkie mutacje sa równie pradopodobne.
  Trzeba
• konstruowac odpowiednie macierze (np. PAM120,
  BLOSUM62)
• które reprezentuja te prawdopodobienstwa.
• Mutacje jednego kodonu na drugi sa malo
  klopotliwe, ale jak
• sobie poradzic z deletions and insertions?
• Poza tym, im wieksza baza danych, tym wiecej
  bedzie zupelnie
• przypadkowych podobienstw. Jak wyrazic stopien
• podobienstwa ciagów w liczbach tak, by biolog
  mógl latwo
• odróznic przypadkowe podobienstwa od znaczacych?

16
Informatyka BLASTu

• Jak zaprojektowac algorytm który przeszukuje
  Genbank
• dostatecznie szybko?
• Jesli chcemy, zeby komputer o szybkosci 4GHz
  patrzyl na
• kazda z 85 miliardów liter z Genbank choc raz i
  porównal z
• dana litera, potrzeba na to przynajmniej 42,5
  sekund. A BLAST
• musi jeszcze wykonac duzo wiecej operacji.
• Wynik BLASTu który za chwilke pokaze dostalem po
  30
• sekundach. To podejrzanie szybko. Jak to sie
  dzieje?

17
Biologia BLASTu

• Jak czytac i interpretowac wynik BLASTu?
• Kiedy znalezione podobienstwo ma znaczenie
  biologiczne?
• Jakie podobienstwa moze BLAST latwo przeoczyc?
• Jak najlepiej wybrac parametry w tym programie?
• Im lepiej biolog zna matematyke i informatyke
  BLASTu, tym
• skuteczniej bedzie mógl z tego programu
  korzystac.

18
Jak geny ze soba wspólpracujaRegulacja
ekspresji genów

• Ekspresja genu zalezy od obecnosci pewnych
  czynników
• transkrypcji.
• Dla ilustracji zalózmy ze ekspresja genu x
  nastepuje tylko
• wtedy, kiedy czynnik A i przynajmniej jeden z
  czynników B lub
• C sa obecne, a czynnik D nie jest obecny. Wtedy
  czynniki
• A, B, C stymuluja ekspresje genu x, a czynnik D
  ja inhibuje.
• Zauwazmy ze czynniki A, B, C, D tez sa produktami
  pewnych
• genów i ulegaja degradacji. Zatem ich obecnosc
  wymaga
• stosunkowo niedawnej ekspresji odpowiednich
  genów.
• Mozemy wiec traktowac regulacje ekspresji genów
  jako uklad
• dynamiczny gdzie poziom ekspresji sie zmienia w
  czasie i geny
• nawzajem sie reguluja.

19
Przyklady dynamiki tego ukladu

• Najprostsza dynamika to zbieganie do punktu
  stalego.
• Obserwujemy taka dynamike np. kiedy organizm
  wraca do
• równowagi po zazywaniu malej dawki trucizny. Po
  zazywaniu
• zbyt duzej dawki organizm tez osiaga punkt staly,
  ale inny.
• Dynamike cykliczna obserwujemy np. w cyklu
  komórkowym.
• Poszczególne fazy tego cyklu róznia sie poziomem
  ekspresji
• pewnego zespolu genów.
• Normalny rozwoju organizmu wielokomórkowego
  podlega
• scislej regulacji ilosci podzialów i apoptozy
  pewnych komórek.
• Bledy w tej regulacji moga doprowadzic do
  deformacji lub
• nowotworów.

20
Cele matematycznego modelowania dynamiki genów

• Modele matematyczne ukladu regulacji genów moga
  nam
• pomóc w lepszym rozumieniu mechanizmów rzadzacych
  tego
• typu zjawiskami. Za pomoca takich modeli mozemy
  latwiej
• znalezc odpowiedzi na pytania typu
• Jakie czynniki reguluja ekspresje genu x? Które
  z nich
• stymuluja, a które inhibuja te ekspresje?
• Jaki zespól genów reguluje dany proces, np. cykl
  komórkowy,
• i jak te geny, lub ich produkty, w tym
  wspólpracuja?
• Jakie zaklócenia lub mutacje prowadza do
  nieporzadanej
• dynamiki jaka np. obserwujemy w nowotworach?

21
Skad wziac dane?

• Mikromacierze pozwalaja nam mierzyc zmiany w
  ilosci mRNA w
• czasie albo w róznych warunkach doswiadczalnych,
• dla wszystkich potencjalnych mRNA danego
  organizmu
• równoczesnie.
• Czerwona kropka oznacza zwiekszona ilosc w jednym
  
• doswiadczeniu, zielona kropka zwiekszona ilosc w
  drugim,
• zólta kropka oznacza ekspresje bez zmian,
• a czarna kropka brak ekspresji w obu
  eksperymentach.

22
Jak z tych danych korzystac?

• Najprostszy sposób wykorzystania mikromacierzy
  polega na
• przeprowadzaniu serii eksperymentów i grupowanie
  próbek ze
• wzgledu na profil ekspresji genów. Taka procedura
  moze np.
• pozwolic na odróznianie podtypów nowotworu.
• Drugi najprostszy sposób to grupowaniu genów ze
• wzgledu na profil ekspresji w próbkach. Mozna
  przypuszczac
• ze geny rzadzace tym samym procesem maja podobny
  profil
• ekspresji. W ten sposób np. zidentyfikowano geny
  regulujace
• cykl komórki w drozdzach S. cerevisiae.
• Matematyka tu moze pomóc w sformulowaniu dobrej
  definicji
• podobienstwa profilu ekspresji i w konstrukcji
  algorytmów na
• klasyfikacje profilów dziesiatek tysiecy genów.

23
Reverse-engineering regulacje genów

• Klasyfikacja genów wedlug profilu ekspresji jest
  pozyteczna,
• ale jeszcze nie daje nam modelu dynamiki.
  Konstrukcja takich
• modeli jest znana pod nazwa reverse-engineering
  ukladów
• regulacji genów. Jest to dziedzina w poczatkowym
  stadium
• rozwoju.
• Sa jednak pierwsze sukcesy. Proponowano sporo
  algorytmów
• budujacych, na podstawie danych, modele dynamiki
  malych,
• stosunkowo izolowanych podukladów tego
  gigantycznego
• ukladu wszystkich genów. Czesto sie zdarza ze
  modele w ten
• sposób skonstruowane przewiduja np. ze czynnik
  transkrypcji A
• stymuluje transkrypcje genu x, co sie daje potem
  potwierdzic
• eksperymentalnie.

24
Kiedy algorytm daje dobry wynik?

• Algorytm na reverse-engineering moze nam dac
  tylko hipoteze
• na poprawny uklad dynamiczny.
• Jaki duzy zbiór danych jest potrzebny, by
  algorytm dal nam
• poprawny model z prawdopodobienstwem, powiedzmy,
• wiekszym niz 0.5? Jaki wybór parametrów
  algorytmu daje
• najwieksze szanse na sukces?
• Takie pytania mozna badac jako formalne problemy
• matematyczne.
• A jesli juz mamy czesciowy zbiór danych, jak
  zaprojektowac
• nastepny eksperyment, zeby dal algorytmowi
  maksymalna
• ilosc informacji?

25
Kiedy model jest poprawny?

• Zgrubsza rzecz biorac, mozna uznac model za
  poprawny póki
• przewiduje taka dynamike jaka obserwujemy w
  przyrodzie.
• Jesli model przewiduje inna dynamike niz
  obserwujemy w
• laboratorium, to nalezy model odrzucic.
  Najczestszym
• tego powodem jest, ze model byl zbyt uproszczony.
  
• Np. zdecydowalismy sie ignorowac pewne geny czy
  bialka
• które jednak odgrywaja wazna role w danym
  procesie.
• Ale wlasnie to moze byc waznym odkryciem dajacym
  sie
• potwierdzic doswiadczalnie!

26
Ale o jakiego rodzaju modelach matematycznych tu
mówimy?

• Zmienne w naszych modelach reprezentuja ilosc
  mRNA czy
• kodowanych przez nich bialek. Modelujemy
  dynamike, czyli
• zmiane tych ilosci w czasie.
• Teraz matematyk musi powziac dwie podstawowe
  decyzje
• Jak matematycznie reprezentowac ilosc?
• Jak matematycznie reprezentowac czas?

27
Modele stochastyczne

• Reakcje w komórce zachodza pomiedzy
  indywidualnymi
• czastkami które sie losowo zderzaja z
  dostatecznie wysoka
• energia.
• Mozna zatem reprezentowac ilosc jako liczbe
  czastek danego
• zwiazku i modelowac dynamike jako proces
  stochastyczny z
• czasem dyskretnym lub ciaglym.
• Tego typu modele sa najbardziej szczególowe, ale
  ich analiza
• jest praktycznie niemozliwa jesli liczba czastek
• poszczególnego bialka czy mRNA jest duza. Takie
  modele
• jednak daly ciekawe wyniki o genetyce pewnych
  wirusów.

28
Modele równan rózniczkowych

• Jesli pojedyncze zwiazki wystepuja w duzej
  liczbie czastek, to
• mozna ich ilosc reprezentowac jako liczbe
  rzeczywista
• odpowiadajaca stezeniu danego zwiazku. Pochodne
  tych
• zmiennych zaleza od wektora stezen wszystkich
  zwiazków i
• reprezentuja szybkosc i kierunek zmian tych
  stezen. Dynamike
• opisuje uklad równan rózniczkowych.
• Modele ukladów równan rózniczkowych zwyczajnych
  ignoruja
• czas potrzebny na transport i dyfuzje zanim
  produkt Y genu y
• moze regulowac transkrypcje genu x. Modele
  ukladów równan
• rózniczkowych czastkowych uwzgledniaja te
  procesy, ale sa na
• ogól zbyt skomplikowane. Mozna tez modelowac za
  pomoca
• równan rózniczkowych z opóznieniem. Te ostatnie
  modele sa
• bardziej dokladne niz równania rózniczkowe
  zwyczajne i mniej
• skomplikowane niz równania rózniczkowe czastkowe.

29
Kiedy mozna uproscic?

• Pod jakimi warunkami model równan rózniczkowych
  jest
• dostatecznie dobrym przyblizeniem modelu
  stochastycznego?
• A kiedy mozna ignorowac czas potrzebny na
  transport i dyfuzje
• i modelowac regulacje genów ukladem równan
  rózniczkowych
• zwyczajnych zamiast czastkowych lub równan
  rózniczkowych z
• opóznieniem?
• To sa ciekawe pytania dla matematyków. Nie sa to
  pytania
• calkowicie nowe, ale wspólczesna biologia dodaje
  do nich
• wage i wskazuje na typy ukladów, dla których
  odpowiedz jest
• najbardziej potrzebna.

30
A moze trzeba jeszcze prosciej?

• Konstrukcja modeli równan rózniczkowych wymaga
  dosc
• dokladnych pomiarów stezen wszystkich zwiazków
• modelowanych. Obecnie jeszcze nie mamy
  technologii na
• pobieranie tak dokladnych pomiarów na wielka
  skale.
• Mikromacierze tylko mówia nam kiedy dany mRNA
  wystepuje w
• znacznie zmienionej ilosci.
• Modele Boolowskie odrózniaja tylko dwa poziomy
  stezen
• niski 0 i wysoki 1. Dane uzyskane za pomoca
• mikromacierzy wydaja sie dostatecznie dokladne na
  
• konstrukcje tego typu modeli.
• Czas w modelach Boolowskich jest na ogól
  modelowany w
• sposób dyskretny jako ciag liczb naturalnych, ale
  istnieja tez
• próby modelowania za pomoca ukladów Boolowskich z
  
• opóznieniem gdzie czas jest liczba rzeczywista.

31
Ale czy mozna az tak uproscic?

• Wrócmy do naszego przykladu ekspresji genu x
  która nastepuje
• wtedy i tylko wtedy, kiedy czynnik A i
  przynajmniej jeden z
• czynników B lub C sa obecne (stezenie 1), a
  czynnik D nie
• jest obecny (stezenie 0). W jezyku Boolowskim
  gdzie
• 1 prawda i 0 falsz mozna te sytuacje wyrazic
  formula
• A and (B or C) and (not D).
• Wiec jezyk modeli Boolowskich jest wystarczajacy
  by wyrazic
• pewne informacje wazne dla biologów. Ale czy,
  lub raczej
• w jakich warunkach, dynamika modelu Boolowskiego
  daje
• nam wiarogodny obraz dynamiki ukladu
  biologicznego?
• To pytanie mozna scisle sformulowac jako problem
• matematyczny, który jest obecnie w centrum moich
  wlasnych
• zainteresowan naukowych.

32
Podsumowanienowy mikroskop i nowa fizyka

• Matematyka stala sie narzedziem zarówno
  niezbednym jak i pozytecznym dla biologii.
• Modele matematyczne ulatwiaja odkrywanie i
  rozumienie mechanizmów rzadzacych procesami
  biologicznymi.
• Mikroskop matematyczny pozwala na sformulowanie
  nowych hipotez dajacych sie potwierdziec
  eksperymentalnie, za pomoca m.in. tych
  tradycyjnych przyrzadów optycznych.
• Mikroskopy matematyczne na ogól nie przychodza z
  prosta instrukcja obslugi. Zeby maksymalnie
  wykorzystac ich moc potrzebny jest dialog miedzy
  matematykami i biologami.
• Matematycy i biolodzy operuja odmiennym
  slownictwem naukowym i maja odmienne nawyki
  myslenia. Skuteczny dialog wymaga uczenia sie
  wspólnego jezyka i wzajemnego zrozumienia
  odmiennych podejsc naukowych.
• Postep w nauce zalezy od zadawania dobrych pytan.
  Czesc tych pytan sie tlumaczy na nowe otwartych
  problemy matematyczne. Stad zainteresowanie ta
  nowa fizyka.