Difficult

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Difficultés liées à larticulation de deux
niveaux détudedes mathématiques

• Maggy Schneider
• Université de Liège
• Activités du Centre de Didactique Supérieure
• 12 novembre 2007

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Deux niveaux détude mathématique

• Premier niveau on cherche à modéliser des
  objets non définis mathématiquement mais dont on
  a une certaine connaissance
• Deuxième niveau on construit une organisation
  déductive des éléments du modèle ainsi construit

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Premier niveau détude le travail de
modélisation

• Il sagit, par exemple, de déterminer des aires
  curvilignes, des vitesses variables, des
  tangentes, par des techniques  conviviales 
  calcul de limites, de dérivées, de primitives ou
  de construire des modèles fonctionnels qui
  rendent compte de la covariation de grandeurs
• Et de justifier que ce calcul donne bien ce que
  lon cherche, au prix dune  validation  non
  canonique (validation pragmatique, intuitions
  géométriques ou cinématiques)

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Premier niveau détude le travail de
modélisation

• Questions délèves bien réelles, même si elles ne
  sont pas toujours exprimées
•  Un calcul de limites peut-il donner la valeur
  exacte dune aire curviligne ou dune vitesse
  instantanée ? 
•  Qui nous prouve que laddition de vecteurs
  correspond bien à la coplanarité ? 
• Questions souvent évacuées par le professeur
•  Déjà les bouquins sont faits comme ça et, euh,
  les questions plus délicates, ben je veux dire,
  le visuel cest quand même pour ça quon montre,
  euh, on essaie quand même de leur faire voir
  quelque chose pour quils nous laissent
  tranquilles entre guillemets, quoi. Quils voient
  que cest juste et quils nous posent pas de
  question plus précise, quoi.  (étudiant
  dagrégation)

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Deuxième niveau détude couler le modèle dans
un moule euclidien

• Définir mathématiquement les objets initiaux par
  les techniques qui permettaient de les déterminer
  au stade précédent, ce qui rend nulles et non
  avenues les questions précédentes
• Agencer les pièces du modèle en une organisation
  déductive où le mode de validation est exempt de
  toute considération étrangère au contexte
  dorigine

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Deuxième niveau détude couler le modèle dans
un moule euclidien

• Ce 2ème niveau se distingue du 1er par des tâches
  et techniques dun autre ordre conjecturer un
  ordre dagencement de théorèmes, démontrer lun
  deux au moyen des règles dinférence du calcul
  propositionnel, établir un lot daxiomes, réfuter
  une conjecture fausse par la technique de la
  recherche du lemme coupable,
• Pose des questions épistémologiques nature des
  concepts scientifiques, falsifiabilité des
  théories, problème méthodologique de la
  simplicité, refus du mélange des genres,

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Deux niveaux de rationalité

• Ces deux niveaux détude peuvent être identifiés
  comme deux niveaux de rationalité complémentaires
  (E. Rouy)
• Labsence didentification du premier niveau
  empêche la visibilité et la viabilité des deux et
  se solde souvent par, dune part, un repli sur le
  procédural au niveau du secondaire et, dautre
  part, une  copie  du discours théorique
  universitaire dont on a retiré les endroits les
  plus délicats (E. Rouy)
• Quen est-il du 2ème niveau ?
• Le  partage  des deux niveaux entre le
  secondaire et luniversité est à penser
  différemment dun domaine mathématique à lautre

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Quel partage des rôles entre secondaire et
université ?

•  Je crois que tout simplement dans le
  secondaire jai vu la limite et la dérivée comme
  des techniques. Je savais très bien dériver, je
  ne me trompais pas mais la signification profonde
  de la dérivée, je ne lavais pas perçue. Je pense
  que la maturité de lélève est telle que cest
  une notion sur laquelle il faut revenir après. Je
  ne vois pas de problème à dire on a donné la
  définition, on a surtout insisté sur la technique
  de calcul parce que cest à la portée des élèves
  à cet âge-là et puis en premier bac, on revient
  sur la notion en disant attention, voilà ce
  quil y a en plus. Même en bio, je reviens dessus
  en disant cest un taux de variation instantané
  particulier. Et ça, dans le secondaire, on ne la
  pas vu mais il ne fallait peut-être pas le voir.
  Cest à nous à le faire  (professeur 1er BAC)

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Quel partage des rôles entre secondaire et
université ?

•  Je pense que, dans le secondaire, les élèves
  nont aucun intérêt, aucun désir de maîtriser les
  dérivées  (professeur duniversité)
•  Les élèves qui arrivent du secondaire ne
  réfléchissent pas ils appliquent des
  procédures  (professeur duniversité)
•  On nous dit quil faut évaluer selon trois
  compétences connaître, appliquer et résoudre
  des problèmes. Mais, il vaut mieux mettre le
  maximum de points pour la deuxième rubrique si
  lon veut ne pas avoir trop déchecs 
  (professeur du secondaire)
•  Tout ce quon nous demande, cest de préparer
  les élèves à bien calculer pour la suite
  (professeur du secondaire)

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Quel partage entre futurs mathématiciens et
futurs  utilisateurs  de mathématiques ?

• Exemple étude des limites proposée par J.
  Stewart dans le cadre dun cours de
   mathématiques générales 
• Un aperçu du calcul différentiel et intégral
• Le problème de laire
• Le problème de la tangente
• La vitesse
• La limite dune suite (paradoxe de Zénon)
• La somme dune série
• Les limites et dérivées
• Les problèmes de tangente et de vitesse
• La limite dune fonction

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Quel partage entre futurs mathématiciens et
futurs  utilisateurs  de mathématiques ?

• Faut-il dépasser le 1er niveau détude avec de
  futurs  utilisateurs  de mathématiques ?
• Avec lesquels et en quelles circonstances ?