TEMEL KURAM VE A

1
TEMEL KURAM VE AÇMAZLARIYLABILGISAYAR BILIMI
Yilmaz Kiliçaslan
2
Sunum Plani

• Hilbertin Problemi
• Hilberte Yanitlar
• Bilgisayar Bilimi
• Bilgisayim Kurami
• Enformasyon Kurami
• Hesaplanabilirlik
• Sayilabilir Kümeler
• Sayilamaz Kümeler
• Karmasiklik
• Verimli Hesaplama
• Chomsky Hiyerarsisi

DIGER BILIMLERLE ILISKISI IÇINDE BILGISAYAR
BILIMI
3
Hilbertin Problemi (1928)
Formel Dil
ALGORITMA ?
Dogru / Yanlis
Matematiksel Ifade (Önerme)
Algoritma Bir problemi sonlu sayida adimla etkin
(mekanik) olarak çözen yöntem.
4
Bütün Dogrulara Erisme Girisimi
Russellin Paradoksu Kendi kendisinin elemani
olmayan bütün kümeleri içeren küme.
Matematigin bütün dogrularini, yüklem mantigi
içinde, iyi tanimlanmis bir aksiyomlar ve çikarim
kurallari kümesinden çikarma girisimi.
5
Gödelin Tamlik (Completeness) Kurami

• 1930 doktora tezinde Gödel, Whitehead ve
  Russellin Principia Mathematicasina dayanarak
  birinci-dereceden yüklem mantiginin tam bir
  aksiyomatizasyonunu sundu
• Bir formülün, ancak ve ancak geçerli olmasi
  halinde bu akiyomlardan yola çikarak
  ispatlanabilecegini ispatladi.
• Bu, Hilbertin problemini çözme yönünde atilmis
  bir adimdi.

6
Erisilemeyen Dogrular (ve Yanlislar)
7
Hilberte Kötü Haberler

• Aritmetik Sistemlerin Eksikligi (Kurt Gödel)
• (Incompleteness of Systems of Arithmetic)
• (Birinci Dereceden Yüklem) Mantiginda Karar
  Verilmezlik (Alonzo Church)
• (Undecidability of (First Order) Logic)
• Dogrulugun Tanimsizligi (Alfred Tarski)
• (Undefinability of Truth)
• Fonksiyonlarin Hesaplanamazligi / Durma Problemi
  (Alan Turing)
• (Uncomputability of Functions / Halting Problem)

8
Aristo Mantiginin Temel Ilkeleri

• Her önerme ya dogru ya yanlistir.
• Bu ikisinin arasinda ya da disinda üçüncü bir
  olasilik yoktur.

9
Bütün dogrulara erisme çabasi

• Dogal dilin bütün çok anlamliliklarindan,
  muglakliklarindan ve öznel ifadelerinden arinmis
  bir characteristica universalis, bir evrensel
  dil, gelistirilmesini önerdi. Bu dilin
  olusturulmasinda, sayilarin asal çarpanlarinin
  tek olmasina özel bir rol yükledi.
• Bu dilin sembollerinin manipülasyonu, ars
  combinatoria, dogrudan düsüncelerimizin
  isleyisine karsilik gelecekti.
• Kantin kötümser öngörüsünden yaklasik yüz yil
  kadar önce, Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716)
  mantik alaninda, modern mantik kuramlarinda halen
  daha kullanilan düsünce ve yöntemler gelistirdi.

• Böylelikle, calculus ratiocinator içinde
  hesaplama yaparak, dogal dil ile ifade edilmis
  düsünce zincirlerinin geçerliligini kontrol etmek
  mümkün olacakti
• Öyleyse, artik düsüncelerin farklilasmasi
  halinde, nasil iki hesap makinesi tartismiyorsa,
  iki filozofun da tartismasina gerek kalmayacak.
  Kagidi kalemi ellerine alip, abaküsün karsisina
  geçip (eger istiyorlarsa bir arkadaslarinin
  tanikliginda) birbirlerine calculesmus demeleri
  yeterli olacak.

10
Megara Okulu - Eubulides

• Atinadaki felsefe okuluna rakip olan Megara
  Okulu Aristonun hep canini sikmistir. Bu Stoaci
  okulun kurucusu yine bir Ökliddir.
• Megara okulundan filozof Eubulides (MÖ. 405
  330) Aristocu paradigmadaki problemleri dört
  paradoks ile açiga çikarmistir (Seuren 2005)
• Kel Adam ya da Yigin (The Heap)
• Sapkali Adam, Fark Edilmeyen Adam ya da Elektra
  (The Hooded Man, the Unnoticed Man, or the
  Electra)
• Boynuzlu Adam (The Horned Man)
• Yalanci (The Liar)

11
Kel Adam Paradoksu

• A Eger bir adamin yalnizca bir saç teli
  olsaydi, ona kel der miydiniz?
• B Evet.
• A Eger iki saç teli olsaydi kel der miydiniz?
• B Evet.
• A Eger üç saç teli olsaydi,
• vs.
• A Öyleyse kel olma durumu ile kel olmama durumu
  arasindaki siniri nereye çizecegiz?

12
Yigin Paradoksu

• Bir çikarim semasi
• N kum tanesi bir kum yiginidir. (Öncül 1)
• N kum tanesini 1 eksiltirsek yine bir kum yigini
  elde ederiz. (Öncül 2)
• -------------------------------------------------
  ------------------------
• (N-1) kum tanesi bir kum yiginidir. (Sonuç)
• Uygulama
• 1,000,000 kum tanesi bir kum yiginidir. (Öncül 1)
• 1,000,000 kum tanesini 1 eksiltirsek yine bir kum
  yigini elde ederiz. (Öncül 2)
• --------------------------------------------------
  ---------------------
• 999,999 grains of sand is a heap of sand.
  (Conclusion)
• Çikarim semasini her defasinda elde ettigimiz
  sonuçla baslayarak defalarca
• uygularsak, neticede bir kum yigininin tek bir
  kum tanesinden olusabilecegi
• sonucunu kabul etmek zorunda kaliriz.

13
Elektra Paradoksu
While Agamemnon, king of Mycenes, was away to
fight in the Trojan war, his wife Clytaemnestra
had set up house with another man. Obviously,
when Agamemnon was due back, there would be a
problem. So when Agamemnon came home
Clytaemnestra let him a warm bath, during which
she chopped his head off with a sword. That would
have been the end of the affair, had it not been
for the children, in particular the son Orestes,
who now had the holy duty to avenge his father.
However, in order to do that, he would have to
kill his mother, which would be a heinous crime.
In order to sort out his moral dilemma, Orestes
went to stay with an uncle for a while. At the
end of that period he has made up his mind and
has decided that the right thing to do, after
all, is to kill his mother. So he returns to
Mycenes, but, sensibly fearing to receive a
treatment similar to his fathers, he disguises
himself as a beggar so as not to be recognized.
He then knocks at the gate and is let in. His
sister Electra has him shown to the kitchen and
given some soup. At this point in the story,
Eubulides steps in and asks Is the sentence
Electra knows that her brother Orestes is in the
kitchen true or false?
14
Boynuzlu Adam Paradoksu

• What you have not lost, you have. But you have
  not lost horns. Therefore you have horns.

15
Yalancinin Paradoksu
Su an bu cümleyle söyledigim yanlistir.
Asagidaki cümle yanlistir. Yukaridaki cümle
dogrudur.
16
Gödelin Eksiklik Teoremi

• Gödel Yalancinin Paradoksunu asagidaki sekilde
  degistirdi
• Bu önerme ispatlanabilir degildir.
• Aritmetigin her tutarli biçimsellestirilmesi için
  öyle aritmetik dogrular vardir ki, bunlar bu
  biçimsel sistem içinde ispatlanabilir degillerdir.

17
Rüyanin Sonu
18
Durma Problemi
Program
ALGORITMA (BILGISAYIM MODELI) ?
Durur / Durmaz
Input
Alan Turing 1936da, Durma Problemini bütün
program-input çiftleri için çözebilecek genel bir
algoritmanin olmadigini ispatlamistir.
19
Tipik Matematiksel Bilgisayim Modelleri

• Durum Modelleri
• Sonlu Durum Otomatlari
• Bask-Birak Otomatlari
• Turing Makineleri
• vs.
• Lambda Calculus gibi fonksiyonel modeller
• Mantik programlama gibi mantiksal modeller
• Markov algoritmalari
• Formel sistemler
• vs.

20
Bilgisayar Bilimi

• Bilgisayim Kurami
• Enformasyon Kurami

21
Hesaplanabilirlik

• Sayilabilir Kümeler
• Sayilamaz Kümeler

22
Sayilabilir Kümeler

• Tamsayilar
• Rasyonel Sayilar

23
Sayilamaz Kümeler

• Reel Sayilar
• Karmasik Sayilar

24
Karmasiklik

• Verimli Hesaplama (Efficient Computation)
• NP Problemleri
• Üstel Patlama

25
Verimli ve Verimsiz Algoritmalar

• Verimli algoritmalarin zaman karmasiligi
• O(n)
• O(nlogn)
• O(n10)
• vs.
• Verimsiz algoritmalarin zaman karmasiligi
• O(nlog n)
• O(2n)
• O(n!)
• vs.

Çok terimli (Polynomial)
Bir c sabiti için O(nc)
Çok terimli degil
26
"Iyi Algoritmalar"

• An explanation is due on the use of the words
  "efficient algorithm"I am not prepared to set up
  the machinery necessary to give it formal
  meaning, nor is the present context appropriate
  for doing thisFor practical purposes the
  difference between algebraic and exponential
  order is more crucial than the difference between
  computable and not computable (Paths, Trees
  and Flowers, Jack Edmonds, 1965)

27
P versus NP

• NP contains lots of problems we dont know to be
  in P
• Classroom Scheduling
• Packing objects into bins
• Scheduling jobs on machines
• Finding cheap tours visiting a subset of cities
• Allocating variables to registers
• Finding good packet routings in networks
• Decryption

Hence proving P NP would break cryptosystems
28
Kaynak
Computers and Intractablity A guide to the
Theory of NP-completeness by Mike Garey and David
Johnson
29
Chomsky Hiyerarsisi
Otomatlar
Diller
Turing Machine
TIP 0
R.E.
TIP 1
Baglama-duyarli
ATN
TIP 2
Baglamdan-bagimsiz
RTN
Düzenli Diller
TIP 3
FSA
30
Bir Kognitif Hiyerarsi Denemesi
Bilissel Yetiler
Bilissel Araçlar
Akil
Mantik
Turing Machine
ATN
Anlam
Semantik
RTN
Bellek
Sentaks
Morfoloji
FSA
Özyineleme
31
En Kisa Özet

• Bilgisayar Bilimi
• Bilgisayim ve
• Enformasyon
• kuramlarini içerir.
• Bilgisayim Kurami
• Hesaplanabilirlik ve
• Karmasiklik
• alt kuramlarini barindirir.