TEMEL KURAM VE A

1
TEMEL KURAM VE AÇMAZLARIYLABILGISAYAR BILIMI
Yilmaz Kiliçaslan
2
Sunum Plani

• Hilbertin Problemi
• Hilberte Yanitlar
• Bilgisayar Bilimi
• Bilgisayim Kurami
• Enformasyon Kurami
• Hesaplanabilirlik
• Sayilabilir Kümeler
• Sayilamaz Kümeler
• Karmasiklik
• Verimli Hesaplama
• Chomsky Hiyerarsisi

DIGER BILIMLERLE ILISKISI IÇINDE BILGISAYAR
BILIMI
3
Hilbertin Problemi (1928)
Formel Dil
ALGORITMA ?
Dogru / Yanlis
Matematiksel Ifade (Önerme)
Algoritma Bir problemi sonlu sayida adimla etkin
(mekanik) olarak çözen yöntem.
4
Hilberte Kötü Haberler

• Aritmetik Sistemlerin Eksikligi (Kurt Gödel)
• (Incompleteness of Systems of Arithmetic)
• (Birinci Dereceden Yüklem) Mantiginda Karar
  Verilmezlik (Alonzo Church)
• (Undecidability of (First Order) Logic)
• Dogrulugun Tanimsizligi (Alfred Traski)
• (Indefinability of Truth)
• Fonksiyonlarin Hesaplanamazligi / Durma Problemi
  (Alan Turing)
• (Uncomputability of Functions / Halting Problem)

5
Gödelin Eksiklik Teoremi

• Gödel Yalancinin Paradoksunu asagidaki sekilde
  degistirdi
• Bu önerme ispatlanabilir degildir.
• Aritmetigin her tutarli biçimsellestirilmesi için
  öyle aritmetik dogrular vardir ki, bunlar bu
  biçimsel sistem içinde ispatlanabilir degillerdir.

6
Durma Problemi
Program
ALGORITMA (BILGISAYIM MODELI) ?
Durur / Durmaz
Input
Alan Turing 1936da, Durma Problemini bütün
program-input çiftleri için çözebilecek genel bir
algoritmanin olmadigini ispatlamistir.
7
Tipik Matematiksel Bilgisayim Modelleri

• Durum Modelleri
• Sonlu Durum Otomatlari
• Bask-Birak Otomatlari
• Turing Makineleri
• etc.
• Lambda Calculus gibi fonksiyonel modeller
• Mantik programlama gibi mantiksal modeller

8
Bilgisayar Bilimi

• Bilgisayim Kurami
• Enformasyon Kurami

9
Hesaplanabilirlik

• Sayilabilir Kümeler
• Sayilamaz Kümeler

10
Sayilabilir Kümeler

• Tamsayilar
• Rasyonel Sayilar

11
Sayilamaz Kümeler

• Reel Sayilar
• Karmasik Sayilar

12
Karmasiklik

• Verimli Hesaplama (Efficient Computation)
• NP Problemleri
• Üstel Patlama

13
Chomsky Hiyerarsisi
Otomatlar
Diller
Turing Machine
TIP 0
R.E.
TIP 1
Baglama-duyarli
ATN
TIP 2
Baglamdan-bagimsiz
RTN
Düzenli Diller
TIP 3
FSA
14
Bir Kognitif Hiyerarsi Denemesi
Bilissel Yetiler
Bilissel Araçlar
Akil
Mantik
Turing Machine
ATN
Anlam
Semantik
RTN
Bellek
Sentaks
Morfoloji
FSA
Özyineleme
15
En Kisa Özet

• Matematik, Mantik ve Simge-Bilim alanlarinin
  etkilesiminin dogurdugu Bilgisayar Bilimi
• Bilgisayim ve
• Enformasyon
• kuramlarini içerir.
• Bilgisayim Kurami
• Hesaplanabilirlik ve
• Karmasiklik
• alt kuramlarini barindirir.