?? (Group theory)

1
?? (Group theory)

• ?? ?
• ?? ??
• ?? ??
• ?? ???? ??

http//mathworld.wolfram.com/topics/GroupTheory.ht
ml
2
?? ?

• ???
• Fp 0, 1, 2, , p-1http//mathworld.wolfram.com
  /CyclicGroup.html
• ??? 1,2,,n?????? ?? 1?1?????
• ???, ???? ????? ???? ??.

3
??? ??? ???

• I, r
• Ir r, rr 1

I r
I I r
r r I
4
???? ???(Symmetry)
X
X

• I ????
• V 120? ??
• W 240? ??
• I, X, Y, Z, V, W? ???? ?? ????.

Y
Z
5
???
I V W X Y Z
I I V W X Y Z
V V W I Z X Y
W W I V Y Z X
X X Y Z I V W
Y Y Z X W I V
Z Z X Y V W I
6
?(group)? ??

• X ??, X x X ? X ??
• G1 ?? ?? x,y,z? ??? (xy)z x(yz)
• G2 ?? e? ???? xe x ex
• G3 ??? x? ??? y? ???? xy yx e

7
?? ??

• ??? (Abelian group) ?? ab ba
• ??? ??? ???
• ??? ??? ???
• Homomorphism ??? ???? ?? f(ab) f(a) f(b)
• Isomorphism ???? homomorphism

8
???? ??? ??

• (1) ?? ??? ???.
• (2) ???? ?? ?? ???.

9
20?? ?
?? ??? ?? ?? ???? ??.
????? ? ???? ???? ???? ???? ?? ?? ?? 120? 240?
??? ????. ??? 20? ?? 30?? ??? ?? ??? 15??? 12??
?????? ??? 24???. ??? ? 60?? ??? ??.
http//mathworld.wolfram.com/IcosahedralGroup.html

10
20???? ???? ??? ??
11
??? (???)

• a, b, c ???? ?? 1 ?1 ??? (6?)

pI q(23) r(1,2) s(3,2,1) t(1,2,3) u(1,3)
a a a b b c c
b b c a c a b
c c b c a b a
12
???
p q r s t u
p p q r s t u
q q p t u r s
r r s p q u t
t t u q p s r
u u t s r q p
13
Isomorphism ????

• p ? I, q ? x, r ? z, s? v, t ? w, u ? y? ???
  ??? ? ??????? isomorphism
• F6 0, 1, 2, 3, 4, 5? ?????? ??.
• 3?? ???? F6 ? ??????.
• f(0) I, f(1)w, f(2) v, f(3) x, f(4)y,
  f(5)z? ?? f(12) f(3) x, f(1)f(2) wv I?
  f? ????? ???.
• ??? 6! 720?? ???? ??.

• ??? 3?? ???? ??? ???.

14
?? ???

• ?? ?? ????? ?? ??? ????? ???? ?? ?????? ??.
• ???? ??? ??? ?? ?? ??? ???? ??.

15
???

• ??? ??? ?? ????
• I, v, w, x, y, z
• Hx, y, z, xy v ? ?? ????. H? ???? ???.
• ???? I, w, v, I, x, I, y, I, z, I???.

16
???

• ???? ?? ??? ??? ?? ???.

17
(No Transcript)
18
?? ??? ?

• http//mathworld.wolfram.com/DihedralGroup.html
• http//mathworld.wolfram.com/GeneralLinearGroup.ht
  ml
• http//mathworld.wolfram.com/SpecialLinearGroup.ht
  ml
• Chevalley ? http//mathworld.wolfram.com/Projecti
  veSpecialLinearGroup.html http//mathworld.wolfram
  .com/ProjectiveSpecialLinearGroup.html
  http//mathworld.wolfram.com/ProjectiveSpecialLine
  arGroup.html

19
???

• ?? ?? ?? ?? ? ? ??. F G ? H ??? ??? ???? ???
  ??.
• ??? H? G?? ??? 1?? trivial?? ?? ?? ?? H? ???????.
  
• Icosaheral ?? ????? 60?? ??? ??? ??.

A5 ? ????.
20
???? ?

• Zp
• ??? ??? ??? ???? 1? 2x2 ??PSL(n, Z)
• ???? ?? Z? Zp? ??? PSL(n, q) PSL(n, Zp )
• ?? ????
• An n ? 5? ??? ???? sign? ???? ???? ??? ????
  ?????.

21
???? ?? http//mathworld.wolfram.com/SimpleGroup.h
tml

• 1. Cyclic groups of prime group order,
• 2. Alternating groups of degree at least five,
• 3. Lie-type Chevalley groups,
• 4. Lie-type twisted Chevalley groups or the Tits
  group, and
• 5. The sporadic groups (Monster
  group).http//mathworld.wolfram.com/SporadicGroup
  .html
• http//www.ams.org/notices/199502/solomon.pdf

http//www.ams.org/online_bks/surv40-1/
22
?? ??

• ???? ???? ?? ????? ?? ??? ??? ?? 20?? ??? ?? ???.
  ??? ??? ???? ????
• ???? Cartan ?? ???? ??? ??? ??. ????? ??????
  ???? ??? ??? ???? ???.