Specifiche Algebriche Modello Iniziale Versione 1.1

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Specifiche AlgebricheModello InizialeVersione
1.1

• Gianna Reggio
• reggio_at_disi.unige.it

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Modelli Rappresentativi (1)

• Fra tutti i modelli di una specifica ci interessa
  individuarne uno che rappresenti, per quanto
  possibile, tutta la classe dei modelli. Visto che
  siamo focalizzati sulluso della logica, questo
  vuol dire un modello che ci dia informazioni
  sulla validità delle formule anche negli altri
  modelli.
• Se possibile, data una specifica SP ci piacerebbe
  avere un modello B ? Mod(SP) (B per Best) tale
  che
• B j implica A j
• per ogni A ? Mod(SP) e per ogni formula j

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Modelli Rappresentativi (2)

• Supponiamo che esista un tale modello B.
• Allora per ogni termine (senza variabili) t si
  avrebbe
• B Def(t) implica A Def(t)
• B ?Def(t) implica A ?Def(t)
• sicuramente una delle due premesse è vera
• Quindi in tutti i modelli sarebbero definiti
  esattamente gli stessi termini.
• Se ripetiamo il ragionamento per luguaglianza e
  per le applicazioni di predicato, otteniamo che
  in tutti i modelli valgono le stesse identità e
  che i predicati sono interpretati allo stesso
  modo, cioè che tutti i modelli sono
  indistinguibili dal punto di vista della logica.
• Nomenclatura una specifica i cui modelli sono
  tutti isomorfi fra loro si dice monomorfa
• Il problema nasce dal fatto che richiedere per
  tutte le formule (incluse le negazioni) è troppo
  forte.

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Modelli Rappresentativi (3)

• Il problema che è emerso dal lucido precedente è
  la negazione.
• Escludere le formule che contengono un not non è
  però sufficiente, perché problematiche analoghe
  nascono dai not nascosti, es.
• F ? G ? ?F ? G
• t t ? t e t ? (?Def(t) ? ?Def(t))
• Restringiamo drasticamente il tipo di formule ai
  soli atomi positivi, cioè applicazioni di
  predicati e uguaglianze esistenziali, che sono
  sufficienti per caratterizzare unalgebra.

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Modello Iniziale

• Unalgebra I è iniziale per una specifica Sp se e
  solo se
• I è un modello di Sp
• I è term-generated

• I soddisfa la proprietà del minimo vero e della
  minima definitezza, cioè
• I a implica A a
• per ogni A ? Mod(Sp) ed ogni a ? PAtom(S)
• dove PAtom(S) t e t t,t? TS ?
  p(t1,,tn) ti? TS
• Ma un tale I esiste sempre?
• In generale no. Vedremo dei casi particolari in
  cui esiste e si può calcolare

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Esempi di esistenza modello iniziale

• Spec SP2
• Sort tipo
• Opns A, B, C tipo
• Axioms Def(A),Def(B),Def(C)
• A B ? B C
• Gmod(SP2) /iso M,N,P
• M definito da
• tipoM a, b, c
• AM a, BM b, CM c
• N definito da
• tipoN a
• AN BN CN a
• P definito da
• tipoP a, b
• AP a, BP CP b
• M è il modello iniziale

• Spec SP1
• Sort tipo
• Opns A, B tipo
• Axioms
• Def(A)
• Def(B)
• A ? B
• Gmod(SP1) /iso M
• M definito da
• tipoM a, b
• AM a, BM b
• /iso significa tutti i modelli sono isomorfi a
  M, cioè differiscono solo per quali elementi sono
  usati per rappresentare A e B
• M è il modello iniziale

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Esempi di non esistenza modello iniziale

• Spec SP4
• Sort tipo
• Opns A, B, C tipo
• Axioms Def(A), Def(B), Def(C)
• A ? B ? B C
• Gmod(SP4) /iso N,P,M
• N definito da
• tipoN a
• AM BM CM a
• P definito da
• tipoP a, b
• AM a, BM CM b
• M definito da
• tipoM a, b
• AM BM a, CM b
• Non esiste il modello iniziale, poichè A B
  A?B non vale in tutti i modelli

• Spec SP3
• Sort tipo
• Opns A, B tipo
• Axioms
• A ? B
• Gmod(SP3) /iso M, N, P
• M definito da
• tipoM a, b
• AM a, BM b
• N definito da
• tipoN a
• AN a, BN indefinito
• P definito da
• tipoP a
• AP indefinito, BP a
• Non esiste il modello iniziale, poichè A non è
  definito o indefinito in tutti i modelli

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Congruenze

• Visto che vogliamo costruire un modello
  term-generated cerchiamo di costruire i carrier
  come quozienti di termini. Siccome poi dobbiamo
  dotare i carrier di struttura algebrica per fare
  il quoziente non ci basta una qualsiasi relazione
  dequivalenza, ed inoltre occorre definire la
  verità dei predicati.
• Sia S (S,F,P) una segnatura
• (ss?S, pp?P), dove per ogni s s ?
  TS(X)s ?TS(X)s e per ogni p p ? TS(X)s, è una
  congruenza sulla famiglia TS(X) se
• per ogni s ? S, s è simmetrica e transitiva
  (ma non necessariamente riflessiva)
• per ogni f ? F, ti si ti per i 1,,n e
  f(t1,,tn) s f(t1,,tn) implica f(t1,,tn) s
  f(t1,,tn)
• per ogni p ? P, ti si ti per i 1,,n e
  (t1,,tn) ? p implica (t1,,tn) ? p
• Questa definizione è un caso particolare di
  congruenza su unalgebra A

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Quozienti

• Data una congruenza su TS(X) si definisce
  lalgebra TS(X)/ come segue TS(X)/ indicata da
  Q in questa slide
• per ogni s ? S, sQ t ? TS(X)s/s t s t
• per ogni f ? F, fQ(t1,,tn) f(t1,,tn) se
  f(t1,,tn)s f(t1,,tn), indefinita altrimenti
• per ogni p ? P, pQ (t1,,tn) (t1,,tn) ?
  p
• Q è ben definita?
• Sì perché simmetria e transitività permettono di
  parlare di classi di equivalenza e la proprietà
  sulle funzioni e sui predicati garantisce la
  correttezza della definizione di fQ e pQ .
• Esercizio 40 Provare dettagliatamente che Q è
  ben definita.

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Costruzione del modello iniziale (1)

• Data una specifica Sp (S,Ax) si definisce Sp
  come segue Sp indicata da ? in questa slide
• ? ( ?s ? TSs ? TSs s ? S ,
• ?p ? TSs1 ? ? TSsn p ? P )
• t ? t se e solo se per ogni A ? Mod(Sp)
  A t e t
• (t1,,tn) ? ?p se e solo se per ogni A ?
  Mod(Sp) A p(t1,,tn)
• Sp è una congruenza
• Esercizio 41 Verificarlo consiglio usare il
  sistema deduttivo.

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Costruzione del modello iniziale (2)

• Prop. Sia I(Sp) TS /Sp
• 1) I(Sp) è ben definita
• 2) Se I(Sp) ? Mod(Sp) allora è il modello
  iniziale di Sp
• Prova
• 1) è banale
• 2) si basa sul lemma seguente
• Data una valutazione V X? I(Sp), I(Sp) V j se
  e solo se I(Sp) V jtx/x x ? X dove tx ?
  V(x)
• Esercizio 42 Completare la prova con tutti i
  dettagli.

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Lalgebra I(Sp) può non essere un modello

• Spec SP4
• Sort tipo
• Opns A, B, C tipo
• Axioms Def(A), Def(B), Def(C)
• A ? B ? B C
• I(SP4) definito da
• tipoI(SP4) a, b,c
• AI(SP4) a
• BI(SP4) b
• CI(SP4) c
• Non è un modello, infatti I(SP4) ? A ? B ? B
  C

• Spec SP3
• Sort tipo
• Opns A, B tipo
• Axioms
• A ? B
• I(SP3) definito da
• tipoI(SP3) ?
• AI(SP3) indefinito
• BI(SP3) indefinito
• Non è un modello, infatti I(SP3) A B

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Esercizio 43

• Dire se esiste il modello iniziale delle seguenti
  specifiche.

Spec SP5 Sort tipo Opns A, B tipo Axioms
Def(A) ? Def(B)
Spec SP7 Sort tipo Opns A, B, C tipo Preds p
Tipo Axioms p(x)
Spec SP6 Sort tipo Opns A, B, C tipo Axioms
Def(A) ? A B
Spec SP8 Sort tipo Opns A, B, C tipo Preds p,
q Tipo Axioms p(x) ? q(x)
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Esistenza modello iniziale

• Teorema Se Sp (S,AX) è una specifica positiva
  condizionale, allora ammette modello iniziale.
• Dove una specifica è positiva condizionale se e
  solo se è logicamente equivalente (cioè hanno gli
  stessi modelli) ad una i cui assiomi sono tutti
  positivi condizionali, cioè appartengono a
  PCond(S), dove PCond(S) ?i1,,nai ? a ai
  ?PAtom(S), i 1,,n, a?Atom(S)
• Le specifiche p.c. sono particolarmente
  interessanti perché corrispondono
  metodologicamente a definizioni ricorsive
  (induttive) e soprattutto perché esiste un
  sistema automatico per costruire I(Sp) (è
  semidecidibile se tSp t).

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Sistema di Birkhoff

• Il sistema di Birkhoff è un sistema deduttivo per
  la logica equazionale, omogenea e totale.
• Sia Sp (S,Ax)

• Assiomi propri

• Simmetria

• Transitività

• Riflesività

• Congruenza

• Istanziazione

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Sistema di Birkhoff generalizzato (1)

• Vogliamo estendere Birkhoff al caso parziale,
  eterogeneo e condizionale
• parziale e eterogeneo
• già visto per il primordine
• Condizionale vogliamo che gli assiomi propri ed
  eventualmente I passi intermedi della
  computazione siano positivi condizionali
• Aggiungiamo le seguenti regole

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Sistema di Birkhoff generalizzato (2)

• Modus Ponens

Uguaglianza esistenziale (no riflessività)

• Simmetria

• Transitività

• Relazioni tra uguaglianza forte ed esistenziale

• Strettezza

• Istanziazione

• Definitezza delle variabili

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Soundness

• Ma il sistema di Birkhoff generalizzato è sound e
  completo rispetto agli atomi positivi ground
  (senza variabili)? Se sì lo possiamo usare come
  algoritmo di calcolo per Sp. Nella forma data
  NON è sound.
• Controesempio sia S Sort tipo Opns A,B tipo
• Questinstanziazione della regola della
  transitività non è sound
• Infatti le premessse valgono in tutte le
  S-algebre in cui o A o B è indefinito, ma la
  conseguenza non vale certamente in tali algebre
• Il problema è dovuto al fatto che le premesse
  sono da intendere ? xtipo. A e x e ? xtipo.
  x e B, da cui si dovrebbe dedurre correttamente
  ? xtipo. A e B, che vale anche nellalgebra
  vuota (poichè non ci sono valutazioni delle
  variabili)
• Le soluzioni possibili a questo problema sono
• 1 escludere i modelli con carrier vuoto
• 2 quantificare universalmente le variabili in
  maniera esplicita
• 3 modificare le regole in modo da non diminuire
  mai le variabili tranne che con listanziazione

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Completeness

• Teorema Il sistema di Birkhoff generalizzato è
  completo rispetto agli atomi positivi ground
  (senza variabili).
• In realtà in una forma lievemente diversa è
  completo anche per gli assiomi della forma x1
  e x1 ? ? xn e xn ? a con a un atomo
  positivo.
• Per ottenere un sistema completa rispetto a
  formule del tipo x1 ex1 ? ?
  xn exn ? a c on a un atomo qualunque invece
  bisogna lavorare un po.
• Sistemi completi per altre classi di formule sono
  poco studiati nel contesto delle specifiche
  algebriche perché non hanno applicazioni pratiche.