DEFINIZIONI FONDAMENTALI

1
DEFINIZIONI FONDAMENTALI

• Argomenti
• Concetti di interesse, montante, valore attuale e
  sconto.

2
Cenni introduttivi
MATEMATICA FINANZIARIA

• Matematica ad hoc per calcoli finanziari

• Necessaria quando un operatore si trova in una
  situazione in cui deve tener conto di
• Fattore Tempo
• Il valore di una determinata somma disponibile
  immediatamente è diverso da quello di una somma
  identica nellimporto, ma disponibile in un
  periodo successivo.
• Fattore Incertezza
• Il futuro è, in misura minore o maggiore a
  seconda dei casi, indeterminato. Una determinata
  somma spettante ad un operatore in un momento
  futuro stabilito può essere corrisposta in parte
  o affatto, ovvero essere liquidata in un momento
  diverso da quello pattuito.

Prendiamo in considerazione solo laspetto
temporale, tralasciando laleatorietà
delloperazione finanziaria. Ci si riferisce
esclusivamente a somme CERTE, ma disponibili in
istanti diversi.
3
Operazione di investimento

• Un operatore rinuncia alla disponibilità
  immediata di un capitale C a patto di ricevere
  una somma M in un istante successivo t.

M Montante della somma C M-CI Interesse
Definendo
Si ottiene la prima relazione fondamentale
Fattore di capitalizzazione
Tasso di interesse
4
Sconto e valore attuale

• Un operatore rinuncia ad una parte del capitale
  (M) che gli è dovuto in futuro, ad un istante t,
  pur di entrare immediatamente in possesso di una
  somma CltM.

Situazione speculare allinvestimento SCONTO o
ANTICIPAZIONE
C Valore attuale del capitale M M-CD Sconto
Definendo
Fattore di attualizzazione
Si ottiene la seconda relazione fondamentale
Tasso di sconto
5
Grandezze equivalenti

• Se un investimento permette di trasformare, in
  certo lasso temporale, un capitale C in un
  montante M (con MgtC), questo significa che avere
  la disponibilità immediata del capitale C
  equivale ad avere M tra t anni.
• Si tratta di unequivalenza convenzionale
  attinente al fatto che esiste un mezzo per
  generare una qualsiasi delle due somme partendo
  dallaltra.
• Ogni operatore può, per esigenze personali, non
  essere affatto indifferente nella scelta,
  preferendo indiscutibilmente una delle due
  soluzioni.

Unoperazione finanziaria elementare determina
una relazione di equivalenza tra due somme
relative ad istanti differenti
6
Grandezze equivalenti

• Nel caso particolare t 1 si avrà
• Dove r, i, v, d sono simboli standardizzati.

7
Grandezze equivalenti

• Dalle relazioni precedenti ricordiamo

Inoltre essendo
8
Esercizi

• ESERCIZIO 1
• Un capitale di 290 matura un interesse annuo
  del 2,5. Calcolare montante prodotto dopo un
  anno e linteresse prodotto.

ESERCIZIO 2 Un montante pari ad 300 si è
maturato in un anno ad un interesse del 3,5
annuo. Calcolare il capitale che ha generato il
montante.
9
Esercizi

• ESERCIZIO 3
• Un capitale di 290 genera in un anno un
  montante pari a 305. Calcolare il tasso
  dinteresse (i) e il fattore di capitalizzazione
  (r).

10
Esercizi

• ESERCIZIO 4
• Su un credito esigibile fra un anno pari a 415,
  viene praticato uno sconto del 3,00 annuo.
  Calcolare il valore attuale del credito e
  lammontare dello sconto.

• ESERCIZIO 5
• Il valore attuale di un credito esigibile fra un
  anno è pari a 400, essendo praticato un tasso
  di sconto dell1,80 calcolare il valore del
  credito.

11
Esercizi

• ESERCIZIO 6
• Un credito esigibile tra un anno di 415 ha un
  valore attuale pari a 304. Calcolare il tasso
  di sconto (d) e il fattore di attualizzazione.

12
Esercizi

• ESERCIZIO 7
• Dato un tasso di sconto annuo pari al 15,50,
  calcolare
• il tasso di interesse
• il fattore di capitalizzazione
• il fattore di attualizzazione

13
I PRINCIPALI REGIMI FINANZIARI

• Argomenti
• Regime finanziario dellinteresse semplice e
  dellinteresse composto

14
Regime finanziario dellinteresse semplice

• Interesse semplice.
• Regime nel quale linteresse prodotto da
  unoperazione di investimento è direttamente
  proporzionale al capitale investito (C) e alla
  durata delloperazione (t)

• Legge di formazione dellinteresse semplice
• Dove
• i tasso dinteresse periodale (riferito
  allunità di misura scelta per il tempo)

Interesse unitario per operazione di durata t
15
Regime finanziario dellinteresse semplice

• Legge di formazione del montante
• Ponendo C1 si ottiene il montante unitario che
  rappresenta il fattore di capitalizzazione.

Legge di capitalizzazione semplice
16
Regime finanziario dellinteresse semplice
Nel grafico è rappresentato landamento nel tempo
del Montante e dellinteresse nel regime
dellinteresse semplice (linea continua i0,12
linea tratteggiata i0,18)
17
Osservazioni sul grafico

• Montante ed interesse hanno andamento lineare
  rispetto al tempo (t)
• Per t0 linteresse è nullo e il montante è pari
  al capitale inizialmente investito
• Le semirette derivanti dallandamento nel tempo
  di interesse e montante sono parallele e in ogni
  istante t la loro differenza è pari al capitale
  investito
• Il coefficiente angolare delle semirette (iC)
  cresce al crescere di i e/o C

18
Relazioni di base

• Riassumiamo le relazioni fondamentali del regime
  dellinteresse semplice

19
Esercizi
ESERCIZIO 1 Dato un capitale di 3.000 impiegato
per 3 anni nel regime dellinteresse semplice ad
un tasso di interesse annuo del 13. Calcolare
linteresse generato e il montante.
20
Esercizi
ESERCIZIO 2 Un capitale di 1.250 produce dopo
un anno un interesse di 87,375. Calcolare il
tasso di interesse annuo.
ESERCIZIO 3 Un capitale di 800 produce dopo tre
anni un montante di 900. Calcolare il tasso di
interesse annuo.
21
Esercizi
ESERCIZIO 4 Dato un capitale iniziale di 3.500
calcolare il tempo che è necessario per maturare
un interesse di 350 ad un tasso annuo del
7,5.
1 Anno e 4 mesi
22
Esercizi
ESERCIZIO 5 Dato un capitale iniziale di 2.500
calcolare il tempo che è necessario per maturare
un montante di 3.000 ad un tasso annuo del
7,5.
2 Anni e 8 mesi
23
Tasso di sconto e fattore di attualizzazione nel
regime dellinteresse semplice

• Ricordiamo che

Sconto
Valore Attuale
24
Sconto e Valore Attuale nel regime dellinteresse
semplice
Nel grafico è rappresentato landamento nel tempo
del valore attuale e dello sconto nel regime
dellinteresse semplice (linea continua i0,12
linea tratteggiata i0,18)
25
Esercizi
ESERCIZIO 1 Calcolare il capitale da investire
oggi ad un tasso annuo del 9,50 per ottenere tra
14 mesi un montante di 1.000
26
Esercizi
ESERCIZIO 2 Un capitale disponibile tra sei mesi
ammonta ad 3.000. Calcolare il suo valore
attuale considerando un tasso di interesse annuo
del 14.
27
Esercizi
ESERCIZIO 3 Calcolare il valore attuale di un
capitale disponibile tra nove mesi pari a 1.750
sapendo che il tasso di sconto annuo (d) è del
9.
28
Esercizi
ESERCIZIO 4 Se ad un capitale disponibile tra 18
mesi, pari a 7.000, è applicato un tasso di
sconto annuo del 7 annuo qual è lentità dello
sconto? A quanto ammonta il valore attuale?
29
Esercizi
ESERCIZIO 5 Viene stipulato un prestito per
5.000 da restituire dopo 9 mesi con linteresse
annuo del 12. Calcolare il valore attuale dopo 6
mesi della somma dovuta usando un tasso di
interesse annuo del 10.
30
Esercizi

31
Regime dellinteresse composto

• Ragionando in termini di capitale investito
  unitario linteresse generato nellunità di tempo
  sarà pari ad i, mentre il montante unitario sarà
  pari ad (1i).

MONTANTE UNITARIO FATTORE DI CAPITALIZZAZIONE
(r(t))
Il fattore di capitalizzazione dopo una unità di
tempo sarà
Se linvestimento prosegue alle stesse condizioni
per un altro periodo il fattore di
capitalizzazione al termine di questa seconda
unità temporale sarà
Al termine del terzo
32
Regime dellinteresse composto

• Generalizzando, se linvestimento prosegue per un
  numero di periodi t il fattore di
  capitalizzazione sarà pari a

Partendo dal fattore di capitalizzazione
(montante unitario) possiamo definire, tramite le
relazioni tra le grandezze equivalenti (v. slide
7), linteresse unitario generato da
unoperazione di investimento di durata t.
Dove i tasso dinteresse periodale (riferito
allunità di misura scelta per il tempo)
33
Montante e Interesse

• Avendo ottenuto il montante unitario e
  linteresse unitario è semplice definire le leggi
  di formazione del montante e dellinteresse.

Nel grafico è rappresentato landamento nel tempo
del Montante e dellinteresse nel regime
dellinteresse composto (linea continua i0,12
linea tratteggiata i0,18)
34
Sconto e Valore Attuale

• In base alle relazioni intercorrenti tra le
  grandezze equivalenti (v. slide 7) si possono
  ricavare

Fattore di attualizzazione (o valore attuale
unitario)
Sconto unitario
Inoltre possiamo ottenere
Valore attuale
Sconto
35
Sconto e Valore Attuale
Nel grafico è rappresentato landamento nel tempo
del valore attuale e dello sconto nel regime
dellinteresse composto (linea continua i0,12
linea tratteggiata i0,18)
36
Il montante confronto tra i due regimi
Ricordiamo le leggi di formazione del montante
nei due regimi finanziari esaminati
Interesse semplice
Interesse composto
Focalizziamo lattenzione sul valore di un
montante generato dallinvestimento di un
capitale iniziale di 100 per valori di t
compresi tra 0 e 1
37
Il montante confronto tra i due regimi

• Per durate inferiori allanno gli interessi
  prodotti dallinvestimento nel regime
  dellinteresse semplice sono maggiori di quelli
  prodotti nel regime dellinteresse composto.
• Per durate superiori allanno gli interessi
  prodotti nel regime dellinteresse semplice sono
  minori di quelli prodotti nel regime
  dellinteresse composto
• Per durate pari ad 1 anno i due regimi finanziari
  producono lo stesso ammontare di interesse
  unitario (1i)

38
Confronto RFIS e RFIC
La redditività (ovvero la produzione di
interessi) dellinvestimento rimane commisurata
al versamento di capitale iniziale

• Regime dellinteresse semplice

Schematizziamo operazione di investimento nel
regime dellinteresse semplice Investimento di
100 per 4 anni ad un tasso del 5 annuo.
100
100
100
100
100
Capitale fruttifero
5
0
5
5
5
Interessi
0
2
1
3
4
Tempo (in anni)
Il quarto anno loperatore incasserà il capitale
iniziale investito ( 100) più gli interessi
maturati in 4 anni ( 20).
39
Confronto RFIS e RFIC
Interesse composto. Regime nel quale gli
interessi prodotti vengono automaticamente resi
fruttiferi. Linteresse viene capitalizzato a
mano a mano che si genera.
Schematizziamo operazione di investimento nel
regime dellinteresse composto Investimento di
100 per 4 anni ad un tasso del 5 annuo.
110,25
115,76
105
100
100
Capitale fruttifero
5
0
5,79
5,25
5,51
Interessi
0
2
1
3
4
Tempo (in anni)
Il quarto anno loperatore incasserà il capitale
iniziale investito ( 100) più gli interessi
maturati in 4 anni ( 21,55).
40
Regime dellinteresse semplice

• INVESTIMENTO

ATTUALIZZAZIONE
41
Regime dellinteresse composto

• INVESTIMENTO

ATTUALIZZAZIONE
42
Esercizi

• ESERCIZIO 1
• Dato un capitale iniziale di 1.750 investito
  nel regime dellinteresse composto per tre anni
  al tasso di interesse annuo del 3,25,
  determinare il montante finale delloperazione e
  linteresse generato.

43
Esercizi

• ESERCIZIO 2
• Dato un tasso di interesse annuo del 4,75 e
  sapendo che tra un anno e quattro mesi sarà
  disponibile un capitale di 3.550, calcolare nel
  regime dellinteresse composto il valore attuale
  del capitale suddetto e la corrispondente misura
  dello sconto.