Thema: R

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ThemaRäumliche Autokorrelation und deskriptive
Methoden

• Vortrag zum Hauptseminar
• Analyse und Modellierung räumlicher Daten

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Inhalt

• 1 Einleitung
• 2 Allgemeine deskriptive Methoden
• 2.1 Mittelwerte
• 2.2 Streuungsmaße
• 2.3 Nearest Neighbor-Analyse
• 2.4 Histogramm
• 2.5 Objektarten
• 2.6 Spatial Sampling
• 3 Räumliche Autokorrelation
• 3.1 Hinführung
• 3.2 Das erste Gesetz der Geographie
• 3.3 Berechnung der räumliche Autokorrelation
• 3.4 Probleme
• 4 Schlussbemerkung

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1 Einleitung

• Wie sind bestimmte Eigenschaften im Raum
  verteilt?
• Gibt es eine räumliche Beziehung der
  Attributdaten?
• um diese sichtbar zu machen braucht es
  deskriptive Methoden
• Ein Bereich der deskriptive Methoden ist Analyse
  der räumliche Autokorrelation
• Moran schrieb 1948 The presence, absence, or
  characteristics of some spatial objects may
  sometimes have significant impacts on the
  presence, absence, or characteristics of the
  neighboring objects.( Lo Yeung 2002 117)
• zuvor wichtige, grundlegende Verfahren und
  Sachverhalte der traditionellen deskriptiven
  Statistik erläutert

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2 Allgemeine deskriptive Methoden

• deskriptive Statistik beschreibende Statistik
• Aufgabe Analyse und Darstellung von räumlichen
  zeitlichen Daten
• Ziel Datenmengen mit wenigen Zahlen zu
  charakterisieren
• ? für den Betrachter besser interpretierbar
• deskriptiven Methoden
• u.a. Mittelwert und Streuung

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2.1 Mittelwerte

• Mittelwerte (engl. central tendency)
• beschreiben Zentrum der Verteilung
• Angabe durch
• arithmetische Mittel
• Median
• Modus

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2.1.1 Arithmetische Mittel

• Berechnung
• aus der Summe aller Einzelwerte, dividiert durch
  die Gesamtzahl aller Stichprobenfälle
• Beispiel
• Geg. 1, 3, 5, 7, 64
• Xm 16
• Anwendung
• wenn Werte hauptsächlich um arithmetische Mittel
  verteilt
• Nachteil
• wenn Stichprobe zu heterogen

Formel 1 Mittelwert xm (Helmschrot Fink
2001)
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2.1.2 Median

• Def. teilt eine der Größe nach geordnete
  Verteilung in 2 gleichgroße Bereiche
• Beispiel Gegeben ist ein beliebige Zahlenreihe
  mit den Werten 1, 3, 5, 7, 64
• Median 5
• bei ungeraden Anzahl der Stichproben
• Median besteht aus den 2 in der Mitte stehenden
  Zahlen
• Vorteil
• keine große Beeinflussung durch einzelne hohe
  Werte

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2.1.2 Modus

• Def zeigt den am häufigsten vorkommenden
  Merkmalswert einer Datenreihe oder einer Klasse
• Beispiel
• Geg. 1, 7, 2, 5, 64, 7, 5, 7, 2
• Modus 7

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2.2 Streuungsmaße

• Def. geben die Verteilung der Merkmalswerte um
  das Zentrum an
• Streuungsmaße sind
• Standartabweichung und Varianz
• Schiefe
• Exzess

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2.2.1 Standartabweichung und Varianz

• wichtigste Maßeinheit um die Streuung zu
  charakterisieren
• Def. Verhalten der Streuung einer Verteilung um
  den Mittelwert
• Berechnung
• Standartabweichung ergibt sich,
• aus der Wurzel der Varianz
• Varianz berechnet sich aus der Summe der
  quadrierten Abweichungen vom Mittelwert xm,
  geteilt durch die Gesamtzahl der Elemente n
• Nachteil die Standartabweichungen
• zweier verschiedener Stichproben
• sind nur vergleichbar, wenn deren
• arithmetische Mittel etwa gleichgroß

Formel 2,3 Varianz Standartabweichung
(Helmschrot Fink 2001)
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2.2.2 Schiefe

• Schiefe (engl. skewness) und Exzess (engl.
  kurtosis) sind Formenparameter, d.h. sie geben
  Auskunft über die Form der Verteilung
• Def. Maß für die Symmetrie der Verteilung um das
  arithmetische Mittel
• Berechnung aus der Differenz des Mittelwert xm
  vom Median, welche durch die Standartabweichung s
  dividiert wird
• Eigenschaften
• Schiefe g 0, Normalverteilung
• Schiefe g gt 0, positive Schiefe
• ? der Median ist links vom Mittel
• Schiefe g lt 0, negativen Schiefe
• ? der Median rechts vom Mittel

Formel 4 Schiefe g (Helmschrot Fink 2001)
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2.2.2 Schiefe
Eigene Darstellung Schiefe
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2.2.3 Exzess

• Def.
• ein Maß für die Steilheit der Verteilung
• beschreibt ob die Merkmalsverteilung spitz oder
  flach um das Zentrum verteilt ist
• Eigenschaften
• Exzess Ez gt 1, positiver Exzess ? Verteilung
  steile als Normalverteilung
• Exzess Ez lt 1, negativer Exzess ?Verteilung
  flacher als Normalverteilung
• Exzess Ez 1, keinen Exzess ? einer
  Normalverteilung

Formel 5 Exzess Ez (Helmschrot Fink 2001)
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2.2.3 Exzess
Eigene Darstellung Exzess
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2.3 Nearest Neighbor-Analyse

• Def. Untersuchung der Verteilungsmuster von
  Punkten auf einer Fläche aber nicht im
  Zusammenhang mit den Attributdaten
• Mögliche Verteilungsmuster regelmäßig,
  unregelmäßig oder in Clustern (Gruppen)
• Einordnung erfolgt über Messung der Distanzen
  zwischen gepaarten Datenpunkten
• Gepaart werden Punkte mit der geringsten
  räumlichen Distanz zueinander Nearest Neighbor

• Abbildung 1
• Mögliche Muster
• regelmäßig,
• unregelmäßig
• gruppiert
• (Dumfarth lorup 2000)

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2.3 Nearest Neighbor-Analyse

• Probleme der Größe der Analysefläche
• es ist notwendig, die Punktdichte in dem Gebiet
  zu kennen,
• es muss die Größe der Analysefläche genau
  festgelegt werden
• bei zu großer Fläche zu geringer Punktdichte
• als wenn für die gleiche Anzahl von Punkten eine
  kleinere Fläche verwendet wird
• Problem des Kanteneffektes (engl. edge effect)
• von Punkten am Rande der Untersuchungsmatrix
  wird keine Distanz zu Punkten außerhalb gemessen,
  obwohl diese am nächsten liegen

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2.4 Histogramm

• eine der verbreitesten Möglichkeiten Daten
  visuell darzustellen
• Def.
• zeigt an, wie viele Merkmalsausprägungen in einer
  bestimmten vorher festgelegten Klasse sind
• Klassenhäufigkeitsverteilung, durch die erkennbar
  ist, wie sich die Werte über das gestammte
  Wertespektrum verteilen
• Eigenschaften
• y-Achse Häufigkeit der Variable
• (z.B. Anzahl von Temperaturwerten)
• x-Achse die Klassen, in denen die Werte
  eingeordnet werden (z.B. in der Klasse 0-5C
  liegen 3 Werte)
• wichtigste Form einer Häufigkeitsverteilung ist
  die glockenförmige Normalverteilung
• bei Normalverteilungen liegt das arithmetisches
  Mittel und Median aufeinander bzw. repräsentieren
  die Mitte der Datenmenge

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2.4 Histogramm
Diagramm 1 Histogramm rot Normalverteilung
schwarz (Dumfarth lorup 2000)
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2.5 Objektarten

• wie bei Skalenarten ist Anwendung von
  statistischen Methoden an bestimmte Objektarten
  gekoppelt
• geographische Objekte werden nach ihrer
  Topologieausdehnung bestimmt
• Punkte keine dimensionale Ausbreitung
• Verwendung um räumliche Verteilung von
  Ereignissen und deren Muster wiederzugeben
• Linien eindimensionale Ausbreitung, die Länge
• Verwendung um Distanzen zu messen oder lineare
  Objekte darzustellen (z.B. Strassen)
• Flächenobjekte zweidimensionale Ausdehnung, die
  Länge und Breite
• Verwendung bei natürliche Objekte wie Felder oder
  künstliche Objekte wie Bevölkerungsverteilungen
• Oberflächen und Volumen dreidimensional
• Verwendung bei Darstellung von natürlichen
  Objekten wie digitalen Geländemodellen
• Problem des Maßstab am Beispiel der Darstellung
  von New York auf verschieden Karten

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2.6 Spatial Sampling

• Def. Ziehen von Stichproben im Raum
• nötig, da die reale Welt unendlich komplex ist,
  ein GIS aber nicht unendlich viele Daten
  verarbeiten kann
• sampling Modelle (engl. sampling scheme)
• bestimmen die räumliche Verteilung der einzelnen
  Stichprobenpunkte im Untersuchungsgebiet
• Stichprobenanzahl
• je heterogener räumliche Phänomene verteilt desto
  mehr Stichproben nötig
• je homogener die Verteilung desto weniger
  Stichproben nötig
• es gibt aber Mindestriechprobenzahl

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2.6 Spatial Sampling

• einfache zufällige Stichprobe (Feld A) jeder
  Punkt hat die gleiche Wahrscheinlichkeit gezogen
  zu werden
• statistisch völlig korrekt aber Probleme in der
  Praxis
• kleine, aber wichtige Bereiche werden
  unterpräsentiert, außer bei große Anzahl von
  Stichproben
• systematischen Stichprobe (Feld B) der erste
  Punkt wird zufällig ermittelt und an diesem die
  restlichen entlang eines festen Schemas
  ausgerichtet
• einfach durchzuführen aber Fehler bei Daten die
  periodischen Änderungen unterliegen
• strategische Zufallstichprobe (Feld C)
  Untersuchungsgebiet wird in Teilgebiete gliedert
  und in jedem Teilgebiet eine zufällige Stichrobe
  genommen
• geeignet, weil nur geringe Anzahl von Stichproben
  nötig aber selben Problemen wie bei
  Zufallsstichprobe
• strategisches, systematisches und unangepasstes
  Modell (Feld D)
• vereinigt es die Vorgehensweise und auch Vorteile
  der drei vorher genannten Modelle

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2.6 Spatial Sampling
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3 Räumliche Autokorrelation3.1 Hinführung

• Problem der traditionellen statistischen
  Analysen
• bei Untersuchung von Zusammenhängen, die
  stochastische Abhängigkeit aufweisen kommt es zu
  fehlerhaften Resultaten
• aber stochastische abhängige Variablen häufig in
  Statistik
• Stochastische Abhängigkeit ? statistische
  Ereignisse treten nicht unabhängig voneinander
  auf
• Ursachetrad. Statistik basiert auf
  Zufallsvariablen
• d.h. Datenwerte der Variable kommen rein zufällig
  zustande ? sie sind unabhängig voneinander
• Beispiel am Würfelexperiment

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3.1 Hinführung

• In Hinblick auf die räumliche Verteilung von
  Datenpunkten bedeutet dies, daß die verschiedenen
  Werte einer Variablen unabhängig von ihrer
  räumlichen Position zustande kommen.
  Erscheinungen wie Distanz der Werte zueinander,
  Nachbarschaft, Nähe, Richtung und dergleichen
  haben also keinen Einfluß auf den Wert eines bzw.
  aller Datenwerte. (Dumfarth lorup 2000)
• Entspricht nicht der Realität ? Beispiel des
  Bodenmarktes
• ? Ansatz der Geostatistik die Werte einer
  Variable durch eine Funktion gesteuert
• regionalisierten Variablen Werte einer Region
  sind ähnlich, weil untereinander beeinflussbar
  und mit zunehmender Entfernung die Ähnlichkeit
  abnimmt
• beschrieb W. Tobler mit dem ersten Gesetz der
  Geographie
• wichtig bei Verbreitung eines Phänomens ist
  Distanz bzw. Nachbarschaft

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3.2 Das erste Gesetz der Geographie

• Das erste gesetzt der Geographie von W. Tobler
  beschrieb das bekannte Phänomen, das benachbarte
  Objekte oft ähnlicher waren als weit entfernte.
• The first law of geography is that everything is
  related to everything else, but near things are
  more related than distant things.(Tobler 1970 in
  Abler 1992 155)
• beschreibt die räumliche Autokorrelation d.h. den
  Grad, mit dem nahe und entfernte Dinge
  miteinander verbunden sind
• In practice, the existence of spatial
  autocorrelation means that if A and B are close
  together, what happens at A is related to what
  happens at B, and vice-versa.(Abler et al 1992
  287)
• auf die Zeit bezogen zeitliche Autokorrelation
• wichtigsten Faktoren
• Lage der Objekte zueinander
• Merkmalsausprägung

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3.2 Das erste Gesetz der Geographie

• 3 wichtigsten Typen räumliche Autokorrelationen
• Klassifizierung nach der relativen Verteilung
  räumlicher Objekte und ihrer Nachbarn
• Feld A extreme positive räumliche
  Autokorrelation
• Feld C extreme negative räumliche
  Autokorrelation
• Feld B keine räumliche Autokorrelation

Abbildung 2 Typen der räumlichen Autokorrelation
(Lo Yeung 2002 117)
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3.2 Das erste Gesetz der Geographie

• praktisches Beispiel der unterschiedliche Typen
  räumliche Autokorrelation
• in San Bernardino starke räumliche
  Autokorrelation der Bevölkerung
• in Iowa schlechte räumliche Autokorrelation

Abbildung 3 Bevölkerungsverteilung in
Kalifornien und Iowa (Abler et al. 1992 84)
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3.3 Berechnung der räumliche Autokorrelation

• Berechnung
• Vergleich zwei Werte miteinander
• 1. Gleichwertigkeit der Attribute
• 2. Ähnlichkeit des Ortes der Objekte, welche mit
  den Attributen besetzt sind
• 2 wichtigsten Maße zur Angabe der räumliche
  Autokorrelation
• Gearys (c) Index
• Morans (I) Index

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3.3.1 Gearys (c) Index

• Geary Index für Objekte mit intervallskalierten
  Attributdaten
• bei der Analyse von Datenansammlungen z.B.
  Erhebungsgebieten (engl. census tracts)
• cij Unterschied der Attribute i, j
• wij Grad der Nachbarschaft von i, j
• s² Varianz
• c 1, keine räumliche Autokorrelation
• c lt 1, positive räumliche Autokorrelation
• c gt 1, negative räumliche Autokorrelation

Formel 6,7 Berechnung des Gearys (c) Index (Lo
Yeung 2002 351)
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3.3.2 Morans (I) Index

• starke Ähnlichkeit mit Gearys Index
• Unterschied Ergebnisse logischer für Betrachter
  
• positive Ergebnisse ? positive räumliche
  Autokorrelation
• negative Ergebnisse ? negative räumliche
  Autokorrelation
• Index 0 ? unabhängige unkorrelierte Daten

• Berechnung ähnlich des Gearys (c) Index
• cij Unterschied der Attribute i, j
• wij räumliche Nähe von i, j
• Mittelwert
• s² Varianz

Formel 8 Berechnung des Morans (I) Index (Lo
Yeung 2002 352)
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3.3.3 Morans und Gearies Index

• Morans Gearies Index für flächenhaften
  Objekten entwickelt
• Aber über Umwege Berechnung für Punkt, Linien
  und Rasterobjekte möglich
• Punktdaten ? Punkte in Flächen umwandeln
• linienförmigen Objekte ? wenn Linien
  Verbindungen zwischen Punkten, die mit Merkmalen
  besetzt sind
• Verglich der Merkmalsähnlichkeit der Punktpaaren
  mit anderen Punktpaaren
• Messung der räumliche Nähe dadurch ob direkte
  Verbindung zwischen den Punktpaaren
• Rasterdaten ? Vergleich ob einzelne Rasterzellen
  gleiche Außengrenzen

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3.4 Probleme3.4.1 Datenherkunft

• allgemeines Problem
• Uncertainties in data lead to uncertainties in
  the result of analysis. (Longley et al. 2001
  137)
• Ursache
• liegt u.a. in der Generalisierung und Bündelung
  der rohen Ausgangsdaten
• z.B. Krankheitsfälle pro Bezirk
• Bevölkerungszahlen für bestimmtes Gebiet
• GIS Daten unterschiedlichster Herkunft
• Maßstabe, Detailgenauigkeit, Klassifizierung

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3.4.2 MAUP

• modifiable areal unit problem (MAUP)
• tritt auf bei willkürlich festgelegte Grenzen von
  räumlichen Ereignissen
• Beispiel
• bei Volkszählungsdaten die in bestimmten Flächen
  angegeben werden
• bei Angabe des Wahlergebnisses in Stadtvierteln
• Schlussfolgerung
• Vorsicht bei Vergleich zweier Karten oder
  Datensätze
• die denselben Ausschnitt zeigen, aber mit
  unterschiedlichen Flächeneinheiten

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(No Transcript)
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3.4.2 MAUP

• Untersuchung der Wohnqualität von Syracuse, New
  York
• Frage Welcher Maßstab ist der beste für diese
  Analyse?
• Antwort
• Berechnung von Morans (I) für beide Maßstäbe
  d.h. Messung der räumlichen Verteilung zwischen
  den Voklszählungsgebieten
• Ergebnis
• I (Census tract) 0,51
• I (Census block group) 0,76
• Schlussfolgerung
• Räumliche Autokorrelation bei Census block
  group höher als bei Census tract
• ? Census block group für Untersuchung besser
  geeignet

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4 Schlussbemerkung

• Analyse räumlich korrelierter Daten ist komplexe
  und aufschlussreiche Methodik mit vielfachen
  Anwendungsmöglichkeiten
• Analyse räumlichen korrelierter Daten nur
  schlecht GIS integriert
• mit Idris32 möglich
• mit Arcview nur über Umwege

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Literatur

• Abler R.F., Marcus G. M. J. M. Olsen (1992)
  Geographys inner worlds, Pervasive Themes in
  Contemporary American Geography. New Jersey.
• Bahrenberg G., Giese E. J. Nipper (2003²)
  Statistische Methoden in der Geographie, Bd. 2.
  Berlin, Stuttgart.
• Heywood I., Cornelius S. S. Carver (2002²) An
  Introduction to Geographical Information Systems.
  Essex.
• Lo C. P. A. K.W. Yeung (2002) Concepts and
  Techniques of Geographic Information Systems. New
  Jersey.
• Longley P. A., Goodchild M.F., Maguire D. J.
  D.W. Rhind (2001) Geographic
• Information, Systems and Science. Chichester,
  New York.
• Helmschrot J. M. Fink (2001) Skript zum
  Proseminar Statistik,
• www.geogr.uni-jena.de/c8firma/Statistik/
  (letzter Aufruf 2002)
• Dumfarth E. E. J. Lorup (2000) Geostatistik I
  - Theorie und Praxis,
• www.geo.sbg.ac.at/staff/lorup/lv/geostats2000/
  (letzter Aufruf 3.11.04)