IL CALCOLO INTEGRALE

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APPLICAZIONI DELL INTEGRALE DEFINITO

1. Calcolo di aree di domini piani teorema di
   Archimede
2. Calcolo di volumi - volumi di figure di
   rotazione
3. Lunghezza di un arco di curva
4. Calcolo dellarea di superfici di rivoluzione
   
5. Integrali impropri o generalizzati
6. Applicazioni del calcolo integrale alla fisica

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CALCOLO DI AREE DI DOMINI PIANI Definizione
di dominio piano normale date due funzioni
f(x) e g(x) continue in a b, tali che
g(x) ? f(x) ?x? a b, si chiama dominio piano
normale rispetto allasse x linsieme T dei punti
P(xy) del piano così definito T (x y) a
? x ? b e g(x) ? y ? f(x). Area larea del
dominio T è data da
La formula per larea vale comunque siano
disposti i grafici delle funzioni f(x) e g(x),
purché sia g(x) ? f(x).
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Esempi

• Area del segmento parabolico e teorema di
  Archimede.
• Data la funzione f(x) kx2 , con k gt 0,
  calcoliamo larea del segmento parabolico AAVA,
  come in figura

Teorema di Archimede. Larea del segmento
parabolico AAVA è 2/3 dellarea del rettangolo
AAHH.
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Osservazione sul teorema di Archimede. Il teorema
di Archimede vale anche nel caso in cui la corda
AA non sia perpendicolare allasse della
parabola. In tale caso, tracciata la retta t
tangente alla parabola e parallela alla retta
AA, larea del segmento parabolico AAVA è
uguale ai 2/3 dellarea del rettangolo avente
base AA e altezza uguale alla distanza
tra la retta t e la retta AA.
Esempio Determina larea del segmento
parabolico T, limitato dalla parabola y x2 -
2x e dalla retta r y -2x 4 .
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2. Calcolare larea della regione piana
compresa tra le due parabole di equazioni y2
4x e x2 4y.
3. Calcolare larea della regione piana
limitata dallellisse di equazione di equazione
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CALCOLO DI VOLUMI 1. Caso generale - Volume di
un solido, come integrale dellarea di una sua
sezione piana
Supponiamo di avere un solido T, compreso fra due
piani ? e ?, di equazione x a e x b, e
valgano inoltre le seguenti ipotesi 1) comunque
si scelga un punto xi ?ab, il piano ?i, di
equazione x xi, sezioni sempre il solido T
individuando una porzione di piano, di cui si
possa calcolare larea Si 2) le aree Si
definiscano, nellintervallo ab, una funzione
continua di x, S(x).
In tali ipotesi vale allora il seguente teorema
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Esempio Considera il settore circolare AOB, di
raggio 2 e ampiezza di 60.Detta H la proiezione
di A su OB, il dominio piano HBA sia la base di
un solido T, le cui sezioni, ottenute con piani
ortogonali ad OB, sono tutte quadrati. Calcola il
volume di T.
Nel riferimento scelto, xH 1, xB 2, larco
di circonferenza AB ha equazione
La funzione area è S(x) 4 - x2, è continua,
e il volume di T vale
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2. Caso particolare - Volume di figure di
rotazione
Consideriamo la funzione y f(x) di grafico ?,
continua nellintervallo a b e non negativa, e
il trapezoide esteso allintervallo a b. Se
facciamo ruotare il trapezoide attorno allasse x
di un giro completo, ossia di 360, otteniamo la
figura di rotazione (solido di rotazione) T. In
questo caso le sezioni del solido T, con i piani
perpendicolari allasse delle x, sono cerchi di
raggio r y f(x), quindi di area S(x) ?f
2(x) e il volume vale
Interpretazione della formula con il metodo dei
plurirettangoli e dei pluricilindri Dividiamo
lintervallo a b in n parti uguali di
lunghezza h (b-a) / n e consideriamo i
plurirettangoli che approssimano il trapezoide
per eccesso e per difetto
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Da una rotazione completa dei plurirettangoli
attorno allasse x, si ottengono due
pluricilindri, che approssimano per eccesso e per
difetto la figura di rotazione F.
Ogni cilindro ha per base il cerchio di raggio Mi
(appross. per eccesso) o mi (appross. per
difetto) e per altezza h, quindi i pluricilindri
hanno volume
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Si può dimostrare che quando n ? ? le due
successioni tendono allo stesso limite e tale
limite è il volume della figura di rotazione F
Esempi 1. Volume del cono, data la funzione y
mx

• Volume dellellissoide generato dalla rotazione
  dellellisse di equazione
• a) attorno allasse x

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b) attorno allasse y
In particolare, se a b, lellissoide si riduce
ad una sfera di raggio a e volume

• Determinare il volume del solido generato dal
  dominio piano T delimitato dalla parabola P y
  -x2 6x
• e dalla retta r y 5 in una
  rotazione completa attorno ad r.

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• Dato il dominio piano T, delimitato dagli assi
  cartesiani, dalla retta y 1 e dal grafico di
  y lnx ,
• determina il volume del solido ottenuto
  da una rotazione completa di T attorno a)
  allasse x , b) allasse y .

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(No Transcript)
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CALCOLO DELLA LUNGHEZZA DI UN ARCO DI CURVA
Sia ? una curva piana rappresentata
nellintervallo ab dallequazione y f(x),
con f(x) derivabile con derivata continua in a
b. La lunghezza L dellarco AB di ? definito in
a b è data da
Interpretazione della formula con il metodo della
poligonale
Diviso a, b in n parti ?xi (?xi xi-xi -1),
mediante i punti x0, x1, , xn, si approssima
l'arco con la poligonale ad esso inscritta, i cui
vertici hanno le ascisse (xi f(xi)), con i 0,
1 n . Detta ?i la lunghezza di ogni i-esimo
segmento della poligonale, la lunghezza della
poligonale sarà
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Per il teorema di Lagrange, applicato alla f(x)
relativamente ad ogni intervallo xi -1 xi, in
cui viene diviso a b, si può scrivere
Esempi 1. Calcola la lunghezza della
circonferenza di raggio r. Inserisco la
circonferenza in un riferimento cartesiano, con
centro nellorigine, ed ottengo lequazione
x2 y2 r2 , quindi considero larco AB ed
avrò
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2. Calcola la lunghezza dellasteroide.
3. Calcola la lunghezza dellarco di curva ?,
grafico della funzione y lnx, con
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(No Transcript)
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CALCOLO DELL AREA DI UNA SUPERFICIE
CURVA Consideriamo solo il caso particolare
della superficie generata dalla rotazione di
360, attorno ad uno dei due assi cartesiani, di
una porzione di curva piana. Sia ? una curva
piana, rappresentata nellintervallo ab
dallequazione y f(x), con f(x) derivabile con
derivata continua in a b. La superficie che
si ottiene da una rotazione di un giro completo
attorno, per esempio, allasse x, della porzione
di ? rappresentata in a b, ha larea data dal
seguente integrale
Esempi 1. Calcola larea della superficie
generata dalla rotazione, attorno allasse x,
della curva y sen x , con x ? 0 ?
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(No Transcript)
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2. Calcola larea della superficie laterale del
cono, generata dalla rotazione, attorno allasse
x, della retta y mx , con x ? 0 h e m gt
0
3. Calcola larea della superficie generata dalla
rotazione completa attorno allasse x della curva
ritrovando così larea della superficie
della sfera di raggio r.
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INTEGRALI IMPROPRI o GENERALIZZATI La
definizione di integrale definito secondo
Riemann, si basa sulla condizione necessaria che
la funzione integranda sia limitata
nellintervallo dintegrazione limitato e chiuso,
tuttavia, mediante unoperazione al limite, è
possibile estendere tale definizione anche

• 1. a funzioni
  illimitate su intervallo limitato
• 2. a
  funzioni limitate su intervalli illimitati.
  
• 
  (vedi figure sotto)
• Integrali di funzioni illimitate su intervallo
  limitato
• Sia f(x) una funzione continua
  nellintervallo I a b , illimitata solo
  per x b, cioè in b ammetta un
• punto di discontinuità di seconda specie
  (asintoto verticale), allora, con queste ipotesi,
  esiste lintegrale

e per definizione poniamo Se tale limite
esiste ed è finito, diremo che la f(x) è
integrabile in a b .
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Definizione analoga si ha per una funzione f(x)
illimitata in a, nellintervallo I
ab Se la f(x) è illimitata in un punto d
interno ad ab, si pone per definizione
Osserva che se non si avesse lavvertenza di
isolare il punto x 0, in cui la funzione è
illimitata, e si applicasse pedissequamente la
formula dintegrazione, si troverebbe
risultato assurdo, se non altro per il segno,
essendo, come è noto, positivo lintegrale di una
funzione positiva.
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• Integrali di funzioni limitate su intervalli
  illimitati
• La funzione f(x) sia definita lintervallo
  a ? e sia continua e limitata
  nellintervallo ab ,? b ? a .
• Con queste ipotesi, esiste lintegrale

e per definizione poniamo Se tale limite
esiste ed è finito, diremo che la f(x) è
integrabile in a ? . Definizione analoga
si ha per una funzione f(x) limitata
nellintervallo - ? b Se la f(x) è
limitata nellintervallo -? ?, si pone per
definizione
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Funzione illimitata su intervallo limitato




Funzione limitata su intervallo illimitato
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• APPLICAZIONI DEGLI INTEGRALI ALLA FISICA
• Moto rettilineo Sia s s(t) la funzione
  continua e derivabile due volte, che esprime lo
  spazio in funzione del tempo percorso da un punto
  P che si muove su di una retta r.

2. Lavoro di una forza di intensità non
costante
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Esempio (a) Determinare il lavoro compiuto
dalla forza gravitazionale F (f. peso) per
spostare una massa m da A a B, come in figura.
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Esempio (b) Determinare il lavoro compiuto
dalla forza elettrostatica F per spostare una
carica q da A a B, come in figura.
Esempio (c) Un punto materiale si muove lungo
lasse x ed è soggetto ad una forza elastica di
richiamo F, costantemente diretta verso lorigine
O delle ascisse e di intensità proporzionale alla
distanza da O del punto stesso, con costante di
proporzionalità (cost. elastica) k.

Calcolare il lavoro fatto dalla forza F, quando
il punto materiale si sposta dalla posizione di
ascissa x1 a quella di ascissa x2.
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3. Valore efficace di una corrente alternata
sinusoidale Lenergia elettrica
istantanea dissipata per effetto Joule è P(t)
R(i0sen?t)2 , quindi

• Quantità di carica
  
  
• Lintensità di corrente elettrica
  istantanea i(t) in un conduttore è data da
  i(t) q(t) , pertanto la carica elettrica q
  che passa nellintervallo t1t2 attraverso la
  sezione di un conduttore percorso da corrente di
  intensità i(t) è

Esempio Un conduttore è attraversato da una
corrente di intensità i(t) i0 sen ?t, con i0
10 A e ? 2 rad/s. Calcolare la quantità di
carica che attraversa la sezione del conduttore
tra listante t10 e t20,5 s.