Optimizaci

1
Optimización de Procesos
2
Tier I Métodos Matemáticos de Optimización

• Sección 2
• Programación Lineal

3
Programación Lineal (Linear Programming, LP)

• La programación lineal (optimización lineal) es
  el área de problemas de optimización con
  funciones objetivo y restricciones lineales
• Ejemplo
• minimizar f(x) 6x1 5x2 2x3 7x4sujeta
  a 2x1 8x3 x4 20
• x1 5x2 2x3 3x4 -5

4
Programación Lineal continuación

• Ninguna de las variables está multiplicada por
  otra variable, elevada a una potencia o usada en
  una función no linear
• Puesto que la función objetivo y las
  restricciones son lineales, son convexas.
  Entonces, si la solución óptima de un problema de
  LP es encontrada, ésta es el óptimo global.

5
Forma estándar de LP

• Forma estándar de LP
• minimizar f cx
• sujeta a Ax b
• xi 0 i 1, , n
• donde c es llamada el vector costo (1 por n), x
  es el vector de variables (n por 1), A es la
  matriz de coeficientes (m por n), y b es un
  vector de constantes dadas m por 1.

6
Bases de la Forma Estándar

• Para un problema de maximización, podemos
  transformar usando
• max(f(x)) ? min(-f(x))
• Para restricciones de desigualdad, se usan
  variables "flojas" 2x1 3x2 5 ? 2x1 3x2
  s1 5 donde s1 0

7
Usando Variables flojas

• Cuando transformamos la ecuación
• 2x1 3x2 5 to 2x1 3x2 s1 5
• Si el lado izquierdo (left-hand side, LHS) (2x1
  3x2) es menor que el lado derecho (right-hand
  side, RHS) (5), entonces s1 tomará un valor
  positivo para hacer la igualdad verdadera.
  Mientras el valor del LHS sea más cercano al RHS,
  más pequeño será el valor de s1. Si el LHS es
  igual al RHS, s1 0. s1 no puede ser negativo
  porque el LHS no puede ser mayor que el RHS.

8
Ejemplo de Forma Estándar

• Ejemplo
• Escrito en Forma Estándar
• maximizar f x1 x2
• sujeta a 2x1 3x2 6
• x1 7x2 4
• x1 x2 3
• x1 0, x2 0
• Definir las variables flojas x3 0 x4 0

9
Ejemplo de Problema Reescrito

• El problema ahora puede escribirse
• minimizar g x1 x2
• sujeta a 2x1 3x2 x3 6
• x1 7x2 x4 4
• x1 x2 3
• x1 0, x2 0, x3 0, x4 0

10
Repaso de Álgebra Lineal

• La siguientes diapositivas revisan varios
  conceptos de álgebra lineal que son la base de
  los métodos usados para resolver problemas de
  optimización lineal

11
Vectores e Independencia Lineal

• Vectores
• Un vector k es una columna o fila o un arreglo
  de columnas de k números. Tiene una dimensión de
  k.
• Independencia Lineal (Linear Independence, LI)
• Una recopilación de vectores a1, a2, , ak, cada
  uno de dimensión n, es llamado linealmente
  independiente si la significa
  que para j1, 2, , k

12
Independencia LinealContinuación

• En otras palabras, un grupo de vectores es
  linealmente independiente si un vector no puede
  escribirse como una combinación de cualquiera de
  los otros vectores.
• El número máximo de vectores LI en un espacio
  n-dimensional es n.

13
Independencia LinealContinuación

• Por ejemplo, en un espacio de 2 dimensiones
• Los vectores y no son
• Linealmente independientes porque x2 5x1.
• son LI porque no hay
• Una constante que puedas multiplicar para obtener
  la otra.

y
14
Grupos de Cobertura

• Se dice que un grupo de vectores a1, a2, , ak en
  un espacio n-dimensional abarca el espacio si
  cualquier otro vector en el espacio puede
  escribirse como una combinación lineal de
  vectores
• En otras palabras, para cada vector b, deben
  existir escalares l1, l2, , lk tales que

15
Bases

• Se dice que un grupo de vectores es una base para
  un espacio n-dimensional si
• Los vectores abarcan el espacio
• Si cualquiera de los vectores es removido, el
  grupo ya no abarcará el espacio
• Una base para un espacio n-dimensional debe tener
  exactamente n vectores
• Pueden existir muchas bases diferentes para un
  espacio dado

16
Bases continuación

• Un ejemplo de una base es el eje coordenado de
  una gráfica. Para una gráfica en 2-D, no puedes
  remover uno de los ejes y aún formar una línea
  cualquiera con solo los ejes restantes.
• O, no puedes tener tres ejes en una gráfica 2-D
  porque siempre puedes representar el tercero
  usando los otros dos.

17
Sistemas de Ecuaciones(SOE)

• El Álgebra Lineal puede ser usada para resolver
  un sistema de ecuaciones
• Ejemplo
• 2x1 4x2 8 3x1 2x2 11
• Esto puede ser escrito como una matriz aumentada

18
Sistemas de EcuacionesContinuación

• Las operaciones de fila pueden ser realizadas en
  la matriz sin cambiar el resultado
• Operaciones de fila válidas incluyen lo
  siguiente
• Multiplicar una fila por una constante
• Intercambiar dos filas
• Sumar una fila a otra

19
Resolviendo SOEs

• En el ejemplo previo, queremos cambiar la matriz
  A para ser triangular superior
• multiplica la
• fila superior por ½
• suma 3 veces la
• fila superior a
• la fila inferior

20
Resolviendo SOEs continuación

• multiplica la fila
• inferior por -1/8
• De la matriz triangular superior aumentada,
  podemos fácilmente ver que x2 1/8 y usar este
  para obtener x1
• x1 4 2 . 1/8 15/4

21
Matriz Invertida

• El inverso de una matriz puede ser encontrado
  usando operaciones de filas
• Ejemplo
• Forma la matriz aumentada (A, I)
• Transformala a (I, A-1)
• Usando operaciones
• de filas

22
Ecuaciones de Optimización

• Hemos visto que las restricciones pueden ser
  escritas en la forma .
• Debemos tener más variables que ecuaciones así
  que tenemos algunos grados de libertad para
  optimizar.
• Si el número de ecuaciones es mayor o igual que
  el número de variables, los valores de las
  variables ya están especificados.

23
Solución General a los SOEs

• Dado un sistema de ecuaciones en la forma
• Asume m (número de ecuaciones) lt n (número de
  variables) ? sistema underspecified system
• Podemos separar el sistema en variables
  independientes (n-m) y variables dependientes
  (m). Los valores de las variables dependientes
  dependerán de los valores que elijamos para las
  variables independientes.

24
Solución General continuación

• Llamamos a las variables dependientes variables
  básicas porque su matriz de coeficientes A forma
  una base. Las variables independientes serán
  llamadas variables no básicas.
• Al cambiar las variables en la base, podemos
  cambiar las bases. Se mostrará que esto permite
  examinar diferentes puntos óptimos posibles.

25
Solución General continuación

• Separa la matriz A en la siguiente manera
• O,

26
Solución General continuación

• Define las matrices B y N como sigue
• donde B es una matriz m por m matriz, N es una
  matriz m por (n-m), y aj es la columna jth de la
  matriz A
• B es llamada matriz básica y N es llamada
  matriz no básica

27
Solución General continuación

• La matriz B contiene las columnas de la matriz A
  que corresponden a las variables x que están en
  la base. Se debe mantener el orden.
• Así, si x4 es la segunda variable de la base, a4
  debe ser la segunda columna de la matriz B
• La matriz N es solo las columnas de la matriz A
  que quedan fuera.

28
Solución General continuación

• Similarmente, define
• y
• Más adelante veremos como determinar que
  variables poner en la base. Este es un paso
  importante para examinar todas las soluciones
  óptimas posibles.

29
Solución General continuación

• Ahora tenemos
• Multiplica ambos lados por B-1
• Así,

30
Solución Básica

• Podemos elegir cuales quiera valores para las
  variables (n-m) (aquellas en xN)y entonces
  resolver para las variables m restantes en xB
• Si elegimos xN 0, entoncesA esto se le llama
  "solución básica" del sistema
• Solución Básica

31
Soluciones Básicas Factibles

• Ahora tenemos una solución para Ax b. Pero esa
  era solo uno de dos grupos de restricciones para
  el problema de optimización. El otro era xi
  0, i 1, , n (no-negativa)
• Una solución básica factible (basic feasible
  solution, BFS) es una solución básica donde cada
  x es no-negativa
• Una BFS satisface todas las restricciones del
  problema de optimización

32
Puntos Extremos

• Un punto es llamado punto extremo (extreme point,
  EP) si no puede ser representado como una
  combinación convexa estricta (0 lt l lt 1) de otros
  dos puntos factibles.
• Recuerda una combinación convexa de dos puntos
  es una línea entre ellos.
• Entonces, un EP no puede estar en una línea de
  otros dos puntos factibles.

33
Puntos Extremos (Gráficos)

• Dada una región factible, un punto extremo no
  puede hallarse en una línea entre dos otros
  puntos factibles (debe estar en un vértice)
• En un espacio n-dimensional, un punto extremo
  está localizado en la intersección de n
  restricciones

Not Extreme Points
FeasibleRegion
Punto Extremo
34
Puntos Extremos y óptimos
c
Punto de Inicio

• Tenemos un problema de maximización, así que
  queremos ir tan lejos como sea posible en la
  dirección del vector c (función objetivo)
• Podemos determinar algo sobre la ubicación del
  punto óptimo?

35
Puntos Extremos y óptimos
c

• Si iniciamos en una línea, podemos movernos a lo
  largo de la línea en la dirección de la función
  objetivo hasta llegar a un vértice
• De hecho, para cualquier vector c, el punto
  óptimo siempre será en un vértice

36
Soluciones Básicas Factibles (Basic Feasible
Solutions, BFS)

• En un espacio n-dimensional, una BFS es formada
  por la intersección de n ecuaciones.
• En 2-D

Solución Básica Factible
Restricción 1
Restricción 2

• Pero, solo vimos que un punto extremo es
  también el punto en un vértice. Entonces, una BFS
  corresponde a un EP.

37
Enlazándolos

• Acabamos de ver que una solución básica factible
  corresponde a un punto extremo.
• Esto es muy importante porque para los problemas
  de LP , el punto óptimo es siempre un punto
  extremo.
• Entonces, si podemos resolver para todos las
  BFS's (EP's), podemos comprarlos para encontrar
  el óptimo.
• Desafortunadamente, esto toma mucho tiempo.

38
Introducción al Método Simplex

• El método simplex es el método más común para
  resolver problemas de LP.
• Trabaja encontrando una BFS determinando si ésta
  es óptima y si no lo es, se mueve a una "mejor"
  BFS hasta que la óptima es alcanzada.
• De esta manera, no tenemos que calcular cada
  solución.

39
Álgebra del Método Simplex

• Recuerda

Suma global de las variables no básicas
Función Objetivo
sustituir
en la ecuación de arriba
40
Álgebra del Método Simplex
Multiplica y colecta términos xj
donde
41
Ecuaciones del Método Simplex

• Minimiza
• Si (cj zj) 0 para todo j ? N, entonces la BSF
  actual es optima para un problema de
  minimización.
• Porque, si fuera lt 0 para cualquier j, esa
  variable no básica, xj, podría entrar la base y
  reducir la función objetivo.

Sujeta a
42
Variables Entrantes

• Una variable no básica puede entrar en la base y
  reemplazar una de las variables básicas
• Puesto que xN 0, y no tenemos restricciones no
  negativas, la variable entrante debe incrementar
  su valor.
• El valor de la variable entrante se incrementará,
  reduciendo la función objetivo, hasta que una
  restricción sea cumplida.

43
Ecuación de Variable Entrante

• La ecuación para determinar cual variable entra
  es . Calculada para todos los índices no
  básicos j
• Para un problema de minimización, elige el índice
  j para el que cj - zj es el más negativo
• Si cj - zj 0 para todo j, la solución es óptima
• Para un problema de maximización, elige el índice
  j para el que cj - zj es el más positivo
• Si cj - zj 0 para todo j, la solución es óptima

44
Variables salientes (Leaving Variables)

• Mientras el valor de la variable entrante se
  incrementa, usualmente el valor de al menos una
  variable básica decrecerá
• Si no, el problema es llamado "no ligado" y el
  valor de la función mínima objetivo es -?
• La variable cuyo valor alcanza el cero primero
  será la variable que deja la base

45
Variable Entrantes y Salientes

• Ejemplo x1 está entrando en la base mientras que
  x2, x3 y x4 son las variables básicas actuales
• Cuando x2 llegue a cero, debemos parar dsebido a
  las restricciones no negativas. Pero, ahora x2
  0, así que es una variable no básica y x1 gt 0,
  así que es una variable básica. Entonces, x2 deja
  la base y x1 entra en la base.

x4
x3
x2
x1
46
Ecuación de Variable Saliente

• Consideremos a j como el índice de la variable
  que está entrando a la base y a i como el índice
  de la variable que está dejando la base
• Esto significa que, para cada índice i que esté
  en la base y que tenga , se
  calcula . El índice del valor que es el
  mínimo es el índice de la variable saliente.

47
Ecuación de Variable Saliente

• La expresión previa es obtenida de la ecuación
• que aplica cuando una restricción es cumplida

48
El Ejemplo Revisado

• x2, x3, y x4 inician en (B-1b)i (i2, 3, 4) y
  tienen pendientes de (B-1aj)i (i2, 3, 4)
  donde j1 porque 1 es el índice de la variable
  entrante (x1)
• Entonces, la distancia a la que podemos ir antes
  de que la variable básica alcance el valor de
  cero es para B-1a1 gt 0. Pero, si
  (B-1a1)i lt 0 (como x3), nunca alcanzará el cero.

49
El Ejemplo Revisado
x4
x3
x2
x1

• Podemos también ver como, si ninguna de las
  variables decrece, podemos mantener x1
  incrementándose y mejorar la función objetivo sin
  siquiera cumplir una restricción Esto da una
  solución desligada

50
Problema de Ejemplo

• Minimizar f -x1 x2
• Sujeta a x1 x2 5
• 2x1 x2 4
• x1 3 x1, x2 0
• Dados La base inicial es x1, x2, y x3.
• Insertar variables flojas x3, x4, y x5.

51
Ejemplo

• Minimizar f -x1 x2
• Sujeta a x1 x2 x3 5
• 2x1 x2 x4 4
• x1 x5 3
• x1, x2, x3, x4, x5 0

52
Ejemplo

• 1a Iteración

53
Ejemplo

• Ahora, revisa la optimización
• x4
• x5

lt 0
gt 0
54
Ejemplo

• Entonces, x4 entra a la base puesto que su
  indicador de optimización es lt 0.

55
Ejemplo

• Entonces, x3 es la variable saliente

56
Ejemplo
a4 ha sido sustituida por a3

• 2a Iteración

57
Ejemplo

• Indicadores de Optimización
• x3
• x5

58
Solución al Ejemplo

• Todos los indicadores son 0, así que esta es la
  solución óptima.
• Entonces,

59
Pasos del Algoritmo Simplex

• Con la base elegida, obtén B y resuelve xB B-1b
  y f cBxB.
• Calcula cj zj para todas las variables no
  básicas, j.
• Para un problema de min., si todo cj zjs are
  0, la solución actual es óptima. Si no, elige el
  índice con el cj zj mas negativo.
• Para un problema de max., si todos los cj zj's
  son 0, la solución actual es óptima. Si no es
  así, elige el índice con el cj zj más positivo.

60
Pasos del Algoritmo Simplex

• Usando la ecuación elige la variable saliente.
• Si todos los (B-1aj)is son 0, entonces la
  solución es desligada
• Deja que xj entre a la base y que xi deje la
  base. Obtén la nueva matriz B y comienza
  nuevamente con el paso 1.

61
Eligiendo una Base Inicial

• En el ejemplo, se nos dio una base inicial. Cómo
  podemos obtener una por nosotros mismos?
• Caso 1 problema de max (o min) con
• Ax b (todas desigualdades ) y
• Todas las entradas del vector b son 0.
• Inserta variables flojas en las ecuaciones de
  restricción y usa la matriz de identidad
  resultante como la base inicial

62
Eligiendo una Base Inicial

• Consideremos s vector de variables flojas
• El problema se convertirá en

Sujeta a
Donde I La matriz de Identidad
. . .
. . .
. . .
63
Eligiendo una Base Inicial

• Elige las variables flojas como la base inicial
• La matriz base inicial(B) está conformada por los
  coeficientes de las variables flojas. Esto es la
  matriz de identidad.
• Podemos observar que la base inicial es
  factible(xB 0)

64
Problema 2 de Ejemplo

• Minimizar -x1 3x2
• Sujeta a 2x1 3x2 6
• -x1 x2 1 x1, x2 0
• Inserta variables flojas
• 2x1 3x2 x3 6
• -x1 x2 x4 1
• x1, x2, x3, x4 0

65
Ejemplo 2

• Usa las variables flojas como la base inicial

66
Ejemplo 2

• Indicadores de Optimización
• j1
• j2

c2 - z2 es el más negativo, así que x2 entra a la
base
67
Ejemplo 2
x2 está entrado a la base
68
Ejemplo 2
Entonces, x4 es la variable saliente.
69
Ejemplo 2

• 2a Iteración

x2 reemplazó a x4
70
Ejemplo 2

• Indicadores de Optimización
• j1
• j4
• Entonces, x1 entra a la base

71
Ejemplo 2

• Variable Saliente
• Entonces, x3 deja la base y x1 lo reemplaza.

72
Ejemplo 2

• 3a Iteración

73
Ejemplo 2

• Indicadores de Optimización
• j3
• j4
• Ambos cj-zjs son 0, entonces la solución
  actual es óptima

74
Ejemplo 2

• Esta gráfica muestra el procedimiento seguido.
• Las líneas punteadas son perpendiculares al
  vector de costo, c.

x2
c en aumento
x1
75
Ejemplo 2

• Puesto que estamos minimizando, fuimos en la
  dirección opuesta como el vector costo

x2
C en aumento
x1
76
Más sobre Bases Iniciales

• Caso 2 problema de max (o min) con
• Ax b (al menos algunas restricciones ) y
• Todas las entradas del vector b son 0
• Suma variables flojas para convertir el problema
  en
• Ax Is b x, s 0.
• No podemos usar el mismo truco que antes porque
  ahora tenemos una matriz de identidad negativa
  como matriz B.

77
Caso 2 continuación

• Método de 2 fases
• Introduce variables artificiales (y) donde se
  requiera obtener una matriz de identidad. Si
  todas las restricciones fueran , el problema se
  convertiría en
• Ax Is Iy b x, s, y 0

78
Variables Artificiales

• Las variables artificiales no son variables
  reales.
• Las usamos solo para obtener una base inicial,
  así que debemos deshacernos de ellas.
• Para deshacernos de ellas, resolvemos un problema
  extra de optimización antes de comenzar a
  resolver el problema normal.

79
Método de 2 Fases

• Fase 1
• Resuelve la siguiente LP comenzando con B I y
  xB y b
• Minimiza y
• Sujeta a Ax Is Iy b x, s, y 0
• Si y ? 0 en el punto óptimo, detente el
  problema no es factible. Si y 0, entonces usa
  la base actual y continua con la fase 2.

80
Método de 2 Fases Continuación

• Fase 2
• Usando la función objetivo del problema original,
  cambia el vector c y continua resolviendo usando
  la base actual.
• Minimiza (o Maximiza) cx
• Sujeta a Ax Is b x, s 0

81
Variables Artificiales vs. flojas

• Las variables flojas son variables reales que
  pueden ser positivas en una solución óptima, lo
  que significa que su restricción es una
  desigualdad estricta (lt o gt) en el punto óptimo.
• Las variables artificiales no son variables
  reales. Éstas están solo insertadas para darnos
  una base inicial para comenzar el método simplex.
  Se deben volver cero para tener una solución
  factible del problema original.

82
Ejemplo 1 de Variable Artificial (AV)

• Considera las restricciones
• x1 2x2 4
• -3x1 4x2 5
• 2x1 x2 6 x1, x2 0
• Introduce variables flojas
• x1 2x2 x3 4
• -3x1 4x2 x4 5
• 2x1 x2 x5 6

83
Ejemplo 1. AV

• Como observamos, no podemos obtener una matriz de
  identidad en los coeficientes ni números
  positivos en el lado derecho. Necesitamos agregar
  variables artificiales
• x1 2x2 x3 y1 4
• -3x1 4x2 x4 y2 5
• 2x1 x2 x5 6

84
Ejemplo 1. AV

• Ahora tenemos una matriz de identidad, hecha de
  las columnas de coeficientes de y1, y2, y x5.
• Resolveremos el problema con el objetivo de
  minimizar y1 y2 para librarnos de las variables
  artificiales, después usamos cualquier base que
  obtengamos y continuamos resolviendo, usando la
  función objetivo original.

85
Ejemplo 2 de Variable Artificial (AV)

• Considera las restricciones
• x1 2x2 5x3 -4
• 3x1 x2 3x3 2
• -x1 x2 x3 -1 x1, x2, x3 0
• Introduce variables flojas
• x1 2x2 5x3 x4 -4
• 3x1 x2 3x3 x5 2
• -x1 x2 x3 -1

86
Ejemplo 2 de AV

• No tenemos que agregar variables artificiales
  para la primera restricción si multiplicamos por
  -1.
• Cuando multiplicamos la última restricción por -1
  y agregamos una variable artificial, tenemos
• -x1 2x2 5x3 x4 4
• 3x1 x2 3x3 x5 2
• x1 x2 x3 y1 1
• x1, x2, x3, x4, x5, y1 0

87
Manipulación de Restricciones

• Entonces, después de agregar variables flojas,
  debemos hacer que los números del lado derecho
  sean positivos. Así que agregamos variables
  artificiales si las necesitamos.

88
Ejemplo 3 de Variable Artificial (AV)

• Considera el problema
• Maximizar -x1 8x2
• Sujeta a x1 x2 1
• -x1 6x2 3
• x2 2 x1, x2 0

89
Ejemplo 3 de AV

• Inserta variables flojas
• x1 x2 x3 1
• -x1 6x2 x4 3
• x2 x5 2
• Ahora necesitamos una variable artificial en la
  1a restricción.

90
Ejemplo 3 de AV

• Inserta una variable artificial
• x1 x2 x3 y1 1
• -x1 6x2 x4 3
• x2 x5 2

91
Ejemplo 3 de AV

• Entonces, la Fase 1 es
• Minimizar y1
• Sujeta a x1 x2 x3 y1 1
• -x1 6x2 x4 3
• x2 x5 2
• Nuestra base inicial es y1, x4, y x5.

92
Ejemplo 3 de AV

93
Ejemplo 3 de AV

• Indicadores de Optimización
• j1
• j2
• j3

94
Ejemplo 3 de AV

• Es un vínculo entre x1 y x2 elige x1 para
  entrar a la base

x1 está entrando a la base
95
Ejemplo 3 de AV
Así que x1 reemplaza a y1 en la base
96
Ejemplo 3 de AV
97
Ejemplo 3 de AV

• Indicadores de Optimización
• j2
• j3
• j6

98
Ejemplo 3 de AV

• Todos los indicadores de optimización son 0,
  así que esta es una solución óptima.
• Entonces, mantenemos esta base y cambiamos la
  función objetivo por la original
• Maximizar x1 8x2
• Nuestra base todavía es x1, x4, y x5.

99
Ejemplo 3 de AV

• Volviendo al problema original

La base sigue siendo la misma
100
Ejemplo 3 de AV

• Indicadores de Optimización
• j2
• j3

Puesto que estamos maximizando, buscamos el más
positivo. Entonces, x2 entra en la base.
101
Ejemplo 3 de AV
x2 está entrando a la base
102
Ejemplo 3 de AV
Mínimo
De este modo x4 deja la base
103
Ejemplo 3 de AV

• Indicadores de Optimización
• j3
• j4

104
Ejemplo 3 de AV
105
Ejemplo 3 de Variable Artificial

• Todos los indicadores de optimización son 0,
  por lo tanto esta es la solución óptima

106
Condiciones KKT

• Las condiciones Karush-Kuhn-Tucker (KKT) pueden
  ser usadas para ver la optimización gráficamente
• Las usaremos más posteriormente en programación
  no linear, pero podemos usar una versión
  simplificada aquí

107
Condiciones KKT para LP

• Cambia las restricciones para que todas ellas
  sean restricciones .
• El punto óptimo es el punto donde el gradiente de
  la función objetivo se encuentra dentro del cono
  formado por los vectores normal a las
  restricciones que se intersectan.

108
Condiciones KKT

• Recordatorio
• El gradiente (?) de una función f con n variables
  es calculada como sigue

Ejemplo
109
Ejemplo de Restricciones KKT

• Ejemplo En el problema 2 de ejemplo, tenemos el
  problema
• Minimizar f -x1 3x2
• Sujeta a 2x1 3x2 6
• -x1 x2 1
• x1, x2 0
• El gradiente de la función de costo, -x1 3x2
  es

110
Ejemplo KKT

• Previamente, vimos que este problema luce como
  sigue

x2
Restricción 2
(3/5, 8/5)
Puntos Extremos
(0, 1)
Restricción 1
(3, 0)
(0, 0)
x1
111
Ejemplo KKT

• Cambia todas las restricciones para que sean
• g1 -2x1 3x2 -1
• g2 x1 x2 -1
• g3 x1 0
• g4 x2 0

112
Ejemplo KKT

• Los gradientes de las cuatro restricciones
  (contando las restricciones no negativas), g1, ,
  g4 son

113
Ejemplo KKT

• La gráfica del problema con las normales de las
  restricciones se convierte en

x2
Restricción 2
El gradiente correspondiente a cada restricción
(?gi) es perpendicular a la restricción i.
(3/5, 8/5)
?g2
?g1
?g3
(0, 1)
Restricción 1
?g2
?g4
?g4
(3, 0)
(0, 0)
x1
?g3
?g1
114
Ejemplo KKT

• c (-1, -3) se ve así
• Entonces, cualquier cono en el que este vector
  encaje corresponde al punto extremo óptimo.

115
Ejemplo KKT
x2
(3/5, 8/5)
?g2
?g1
?g3
(0, 1)
?g2
?g4
?g4
(3, 0)
x1
(0, 0)
?g3
?g1
116
Ejemplo KKT

• De esta manera, obtenemos el mismo punto óptimo
  que cuando usamos el método simplex
• Éste método también puede usarse para problemas
  con tres variables en un espacio 3-D
• Con cuatro variables o más, la visualización no
  es posible y es necesario usar la definición
  matemática

117
Definición Matemática de las Condiciones KKT para
LP

• Dado un problema de minimización de LP
• Modificar las restricciones de manera que
  tengamos

Donde gi(x) es la ecuación lineal de restricción
i. La bi que estaba en el lado derecho del signo
de desigualdad es movida al lado izquierdo e
incluida en gi.
118
Definición Matemática de las Condiciones KKT para
LP

• Si existe una solución para x y las lis para
  las condiciones de abajo, entonces x es el
  óptimo global

Ecuación 1
Ecuación 2
Ecuación 3
Ecuación 4
119
Explicación de la Ecuación 1

• La Ecuación 1 establece matemáticamente que el
  vector de la función objetivo debe hallarse
  dentro del cono formado por los vectores normales
  a las restricciones activas en el punto óptimo

120
Explicación de la Ecuación 2

• La Ecuación 2 fuerza a li a ser cero para todas
  las restricciones inactivas llamada la
  condición de soltura complementaria
• Si la restricción es activa, gi(x) 0, entonces
  li puede ser positiva y ?gi será parte del cono
  en la Ecuación 1.
• Si la restricción es inactiva, gi(x) ? 0,
  entonces li debe ser cero. ?gi no será incluida
  en el cono en la Ecuación 1 porque será
  multiplicada por cero.

121
Explicación de las Ecuaciones 3 y 4

• La Ecuación 3 asegura que x es factible
• La Ecuación 4 asegura que la dirección del cono
  es correcta.
• Si las lis fueran negativas, el cono estaría en
  la dirección opuesta. Entonces, esta ecuación
  previene que eso suceda.

122
Resumen de Condiciones KKT

• Las condiciones KKT no son útiles al resolver
  para puntos óptimos, pero pueden ser usadas para
  revisar optimización y pueden ayudarnos a
  visualizar la optimización
• Las usaremos frecuentemente al tratar problemas
  de optimización no lineal in la siguiente sección

123
Solvers de LP Automatizados

• Existen muchos programas de software disponibles
  que resolverán numéricamente los problemas de LP
• Microsoft Excel es un programa que resuelve
  problemas LP
• Para ver los ejemplos de Excel para problemas de
  optimización, busca y abre el archivo
  "solvsamp.xls" (debe estar incluido en la
  instalación estándar de Microsoft Office)

124
Ejemplo 1 de LP en Excel

• Resolvamos el primer ejemplo en este capítulo con
  Excel
• El problema era
• Minimizar f -x1 x2
• Sujeta a x1 x2 5
• 2x1 x2 4
• x1 3 x1, x2 0

125
Ejemplo 1 de LP en Excel

• Aquí está la hoja de cálculo de Excel con los
  datos necesarios

En la hoja de cálculo, A2 es la celda de
referencia para x1 y B2 es la referencia para x2
126
Ejemplo 1 de LP en Excel

• Puedes ver que bajo el encabezado "valor" para
  las restricciones y función objetivo, simplemente
  usamos las funciones dadas para calcular el valor
  de la función

127
Ejemplo 1 de LP en Excel

• En el lado derecho de las restricciones, en la
  columna de "límite", escribimos el valor de bi
  para esa restricción
• Obviamente, la función objetivo no tiene un límite

128
Ejemplo 1 de LP en Excel

• Entonces, la hoja de cálculo se ve así

129
Ejemplo 1 de LP en Excel

• Ahora, necesitamos usar la función solver de
  Excel
• Busca "solver" en el menú Herramientas
• Si no está ahí, ve a complementos (Add-Ins) en
  el menú herramientas (Tools) y selecciona Solver.

130
Ejemplo 1 de LP en Excel

• La ventana del Solver debe parecerse a esta

131
Ejemplo 1 de LP en Excel

• Este es un problema de minimización,l entonces
  selecciona Mínimo (Min) y establece la "celda
  objetivo" (Set target cell) como el valor de la
  función objetivo
• Las variables son x1 y x2, entonces en el cuadro
  "Cambiando las celdas" (By Changing Cells),
  selecciona A2 y B2

132
Ejemplo 1 de LP en Excel

• Ahora agrega las restricciones
• Para la "Celda de Referencia" (Cell Reference),
  usa el valor de la función de restricción y para
  la "Restricción" (Constraint), usa el número en
  la columna de Límite
• Las restricciones son todas , así que debes
  asegurarte de que lt aparece entre la Celda de
  Referencia y los cuadros de Restricción

133
Ejemplo 1 de LP en Excel

• Ahora, la ventana de Solver debe lucir así

134
Ejemplo 1 de LP en Excel

• Finalmente, presiona el botón Opciones (Options)
• Todas las variables están especificadas como
  positivas, así que selecciona el recuadro "Asumir
  no negativos" (Assume Non-Negative)

135
Ejemplo 1 de LP en Excel

• Puesto que este es un problema de LP, selecciona
  el recuadro "Adoptar Modelo Lineal" (Assume
  Linear Model)
• Finalmente, la tolerancia por default de 5 es
  por lo general demasiado grande. A menos que el
  problema sea muy difícil, una tolerancia de 1 o
  incluso 0.1 está usualmente bien.

136
Ejemplo 1 de LP en Excel

• Da click en "Resolver" (Solve) y la ventana de
  Resultados de Solver debe aparecer
• Bajo "Informes" (Reports), selecciona Respuestas
  (Answer Report) y presiona Aceptar (OK)
• Una nueva hoja de cálculo que contiene el Informe
  de Respuestas (Answer Report) se ha agregado al
  archivo

137
Ejemplo 1 de LP en Excel

• La hoja de cálculo con los valores óptimos debe
  verse así

138
Ejemplo 1 de LP en Excel

• Los valores para x1 y x2 son los mismos que
  cuando resolvimos el problema usando el método
  simplex
• También, si observas el Informe de Respuestas
  (Answer Report) puedes ver que todas las
  variables flojas son iguales a cero, que es lo
  que también obtuvimos con el método simplex

139
Ejemplo 2 de LP en Excel

• Vamos a resolver otro problema de LP con Excel
• Maximizar 5x1 2x2 x3
• Sujeta a 2x1 4x2 x3 6
• 2x1 x2 3x3 2
• x1, x2 0
• x3 no restringida en signo

140
Ejemplo 2 en Excel

• La hoja de cálculo con las ecuaciones debe quedar
  como sigue

141
Ejemplo 2 en Excel

• A diferencia del último ejemplo, no se especificó
  que todas las variables sean positivas, ase que
  no podemos usar la opción "Asumir no negativos"
  (Assume Non-Negative) para todas las variables.
• Entonces tenemos que especificar manualmente que
  x1 y x2 son no negativas agregando dos
  restricciones mas

142
Ejemplo 2 en Excel

• Ahora, las fórmulas en la hoja de cálculo deben
  verse así

143
Ejemplo 2 en Excel

• Ahora, abre la ventana de parámetros del solver y
  especifica
• La Celda Objetivo (Target Cell),
• El rango de celdas variables,
• Problema de Maximización
• Las restricciones
• La primera restricción es y el resto son .

144
Ejemplo 2 en Excel

• Presiona el botón de Opciones y selecciona el
  recuadro de "Adoptar Modelo Lineal".
• Recuerda, puesto que x3 no está restringida en
  signo, no selecciones el recuadro de "Asumir no
  negativos"
• Puedes reducir la tolerancia si así lo deseas

145
Ejemplo 2 en Excel

• La ventana del Solver debe verse como sigue

146
Ejemplo 2 en Excel

• Después de resolver, la hoja de cálculo debe
  lucir así

147
Ejemplo 2 en Excel

• Nota que, debido a que x3 no estaba restringida
  en signo, fue posible obtener un valor negativo y
  esto mejoró la solución
• Para ver cuanta diferencia hace esto en la
  solución, resuelve el problema ahora
  seleccionando la opción "Asumir no negativos"

148
Resolviendo Problemas de LP con Excel

• De estos ejemplos, puedes ver que Excel puede ser
  una herramienta eficiente para usar al resolver
  problemas de optimización de LP
• El método para resolver problemas que fue
  descrito aquí es obviamente solo una manera y el
  usuario debe sentirse libre para experimentar y
  encontrar su propio estilo

149
Referencias

• Linear Programming and Network Flows Bazaraa,
  Mokhtar John Jarvis Hanif Sherali.
• Optimization of Chemical Processes 2nd Ed.
  Edgar, Thomas David Himmelblau Leon Lasdon.
• Pollution Prevention Through Process Integration
  El-Halwagi, Mahmoud