MODULO 3. DISTRIBUCIONES UNIVARIADAS. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

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MODULO 3. DISTRIBUCIONES UNIVARIADAS. MEDIDAS DE
TENDENCIA CENTRAL
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MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

• Estas medidas se denominan de tendencia central
  porque fijan su atención en el centro de la
  distribución o punto central sobre el que
  gravitan el conjunto de valores de la
  distribución.

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• La más habitual de las medidas de tendencia
  central es la MEDIA ARITMÉTICA del conjunto de
  observaciones individualmente obtenidas.
• Sin embargo, su uso lleva algunos presupuestos
  infranqueables, lo que conlleva a que NO SIEMPRE
  PUEDA USARSE LA MEDIA como indicador de
  tendencia central.
• Nivel de medición cuantitativo.
• Presupone que el conjunto de los datos posibles
  tienen una distribución simétrica.
• Por tanto mirar el nivel de medición de la
  variable y el gráfico para estudiar la forma de
  su distribución.

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Concepto de Simetría

• Supongamos que hemos representado gráficamente
  una distribución de frecuencias.
• Si trazamos una perpendicular al eje de abscisas
  por la media y tomamos esta perpendicular como
  eje de SIMETRÍA, diremos que una distribución es
  simétrica respecto a la media si existe el mismo
  número de valores a ambos lados de dicho eje,
  equidistantes de uno a uno y tales que cada par
  de valores equidistantes tengan la misma
  frecuencia. En caso contrario, las distribuciones
  serán asimétricas.

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• Si no se cumplen estos supuestos deben usarse
  alternativamente otros indicadores la MEDIANA
  (en caso de no contarse con variables intervales
  o cuando la población sigue una distribución
  bastante poco simétrica) o la MODA o MODO.

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• La mediana requiere para su uso también de un
  nivel de medición mínimo, la escala o nivel
  ordinal

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• La MODA, por tanto, es la medida de tendencia
  central apropiada cuando se dispone de variables
  que tienen un nivel de medición nominal.

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NIVEL DE MEDICION NIVEL DE MEDICION MEDIDA DE TENDENCIA CENTAL MEDIDA DE TENDENCIA CENTAL MEDIDA DE TENDENCIA CENTAL
NIVEL DE MEDICION NIVEL DE MEDICION MEDIA MEDIANA MODA
INTERVAL O RAZON Distribución simétrica Si, la más adecuada Si Si
INTERVAL O RAZON Distribución asimétrica No Si, la más adecuada Si
ORDINAL ORDINAL No Si Si
NOMINAL NOMINAL No No Si
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MEDIA (o PROMEDIO)

• la media aritmética de una variable estadística
  es la suma de todos sus posibles valores dividida
  por el total de observaciones.

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MEDIA en tablas de datos originales

• si los valores de una tabla son
• x1 x2 x3 xi

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MEDIA en tablas de frecuencias simples
Xi fi fr
x1 f1 fr1
... ... ...
xk fk frk
En este caso la media puede ser expresada como
suma ponderada de los valores de la variable por
las frecuencias absolutas promediada por el total
de observaciones (N)
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MEDIA - tablas de frecuencias con datos agrupados
en intervalos de clase

• En el caso de las tablas de frecuencias agrupadas
  en intervalos de clase, dada la pérdida del dato
  original, en estos casos la media debe ser
  definida como la suma ponderada no de los
  valores originales- sino de las marcas de clase
  ponderada por sus frecuencias relativas (ya
  usando la expresión simplificada).

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Observaciones sobre la media

• La media (o promedio), en todos los casos, es un
  número comprendido entre el mínimo y el máximo de
  los valores observados.
• El promedio no tiene por qué coincidir con alguno
  de los valores observados en la población.
• Si la distribución de la variable no es muy
  dispersa (porque se concentra en unos pocos
  valores) entonces el promedio es un buen
  indicador de la posición de la distribución.
• Como medida de tendencia central, tiene el
  defecto de estar muy influido por los valores
  extremos de la distribución. Ya que todas las
  observaciones intervienen en el cálculo de la
  media, la aparición de una observación extrema,
  hará que la media se desplace en esa dirección.
• no es recomendable usar la media como medida
  central en las distribuciones muy asimétricas

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Observaciones 2

• En general, la media aritmética obtenida a
  partir de las marcas de clase xc, diferirá de la
  media obtenida con los valores reales, xi.
• Es decir, habrá una pérdida de precisión que será
  tanto mayor cuanto mayor sea la diferencia entre
  los valores reales y las marcas de clase, o sea,
  cuanto mayores sean las amplitudes de los
  intervalos de clase ai.
• la media calculada sobre datos agrupados en
  intervalos dependerá siempre de la división en
  intervalos de clase.

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• es muy sensible a los valores extremos de la
  variable ya que todas las observaciones
  intervienen en el cálculo de la media, la
  aparición de una observación extrema, hará que la
  media se desplace en esa dirección. En
  consecuencia, remarcaremos 1. no es recomendable
  usar la media como medida central en las
  distribuciones muy asimétricas 2. la media
  calculada sobre datos agrupados en intervalos
  dependerá siempre de la división en intervalos de
  clase.

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LA MEDIANA

• Consideramos una variable X cuyas observaciones
  en una tabla estadística han sido ordenadas de
  menor a mayor. Llamaremos mediana, Mdn al primer
  valor de la variable que deja por debajo de sí al
  50 de las observaciones y por encima de sí al
  restante 50.

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• Si la distribución es simétrica, la MEDIA
  coincidirá con la MEDIANA.

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MEDIANA tablas de datos originales

• Si N es el número de observaciones, la mediana
  corresponderá a la observación N1/2 en el
  caso de N impar, y a una observación intermedia
  entre las observaciones N/2 y N2/1 en el
  caso de N par.
• Ejemplo
• N5 número de observaciones impar
• 1 - 3 - 7 15 - 24 (datos ordenados)
• Por tanto, la mediana corresponde a la
  observación que ocupa la posición 51/2 3
  (tercera posición en la serie ordenada). Es
  decir, 7.
• Si N 6 número de observaciones par
• 1 - 3 - 7 15 - 24 -35 (datos ordenados)
• Por tanto, la mediana corresponde a la
  observación intermedia entre la observación que
  ocupa el lugar 6/2 (tercera posición en la
  serie ordenada) y la observación 6/21 (cuarta
  posición en la serie ordenada). Es decir,
  intermedia entre los valores 7 y 15 (valores que
  ocupan respectivamente las posiciones 3era y
  4ta). Este valor surge de promediar los valores
  correspondientes a estas dos posiciones (715)/2
  11.
• Por tanto, el valor de la variable que deja por
  debajo de sí el 50 de las observaciones menores
  y por encima de sí el 50 de las observaciones
  mayores es 11. La mediana es 11.
• Otra forma de leer este resultado es diciendo que
  el 50 de las observaciones no superan el valor
  11.

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MEDIANA tablas de frecuencias simples

• En el caso de datos agrupados en tablas, la forma
  más práctica de ubicar la mediana es guiándose
  por la columna de frecuencias relativas
  acumuladas. La mediana será entonces aquel valor
  de la variable que acumula antes el 50 de las
  observaciones.

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Ejemplo
Accidentes Laborales fi fr Fi Fr
Xi fi fr Fi Fr
3 3 0,15 3 0,15
4 6 0,3 9 0,45
5 Mediana 5 0,25 14 0,7
6 4 0,2 18 0,9
7 1 0,05 19 0,95
8 1 0,05 20 1
  20 1    
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MEDIANA tablas de frecuencias agrupadas en
intervalos de clase

• (no lo trataremos en clase por ser bastante poco
  común recurrir a esto)
• En el caso de variables continuas, las clases
  vienen dadas por intervalos, y aquí la fórmula de
  la mediana se complica un poco más debido a que
  supone una interpolación de datos.
• fórmula para interpolar
• donde
• Li límite inferior del intervalo mediano
• N total de observaciones de la población
• Fiant frecuencias acumuladas en la clase
  anterior del intervalo mediano
• fi frecuencia absoluta simple del intervalo
  mediano
• Ai amplitud del intervalo mediano

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• Sin embargo, sugerimos que para facilitar la
  comprensión del tema se maneje con el concepto de
  intervalo mediano. De esta manera, a igual que
  en las tablas de frecuencias, bastará con
  identificar cual es el intervalo que primero deja
  por debajo de sí el 50 de las observaciones más
  pequeñas.

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MEDIANA - Propiedades

• Como medida descriptiva, tiene la ventaja de no
  estar afectada por las observaciones extremas, ya
  que no depende de los valores que toma la
  variable, sino del orden de las mismas. Por ello
  es adecuado su uso en distribuciones asimétricas.
  
• Es de cálculo rápido y de interpretación
  sencilla.
• A diferencia de la media, la mediana de una
  variable discreta es siempre un valor de la
  variable que estudiamos (ej. La mediana de una
  variable número de hijos toma siempre valores
  enteros).
• Es función de los intervalos escogidos.
• Puede ser calculada aunque el intervalo inferior
  o el superior no tenga límites.
• En variables ordinales puede ser calculada pero
  sólo indica una clase dentro de la distribución.
  Por ejemplo, si se analiza el nivel educativo
  podría suceder que al menos el 50 tienen
  estudios de cuando más (por ejemplo) secundaria,
  porque se alcanza este porcentaje en esta
  categoría de la variable.

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MODA o MODO

• Llamaremos moda o modo a cualquier máximo de la
  distribución de frecuencias, es decir, cualquier
  valor de la variable que posea una frecuencia
  mayor que todas sus anteriores y todas sus
  posteriores.
• En el caso de variables continuas es más correcto
  hablar de intervalos modales.

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• Cómo se reconoce la moda (las modas) en una
  tabla estadística? Observando el valor (los
  valores) de la variable que tiene(n) la mayor
  frecuencia relativa. Cómo se reconoce la moda
  (las modas) en el diagrama de barras? Observando
  el valor (los valores) de la variable que
  presenta(n) el rectángulo más alto. La notación
  habitual para el modo es XMo.

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MODA - Propiedades

• Es muy fácil de calcular ( o identificar)
• Puede no ser única (distribución unimodal,
  bimodal, etc).
• Es función de los intervalos elegidos a través de
  su amplitud, número y límites de los mismos.
• Aunque el primero o el último de los intervalos
  no posean extremos inferior o superior
  respectivamente, la moda puede ser calculada.