3. Logique et math

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3. Logique et mathématiques

• Les paradoxes

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Le paradoxe de Burali-Forti

• lensemble de tous les ordinaux est muni dun bon
  ordre, donc est un ordinal, cet ordinal est ainsi
  à la fois un élément de lensemble des ordinaux
  et strictement plus grand que tous les ordinaux
  contenus dans cet ensemble 

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Le paradoxe de Russell

• La fonction (le concept) ? pourrait très bien
  sappliquer à elle-même comme objet,
• on peut envisager un concept nouveau qui serait
  le concept  ne pas sappliquer à soi-même 
• lextension de ce nouveau concept serait ?
  ?  ?(?) ?  ?? (?)
• NB Russell 1872 1970 

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Le paradoxe

• Est-ce que ce concept sapplique à lui-même?

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oui?

• Alors ?(?), donc ? ? ?, donc ? ?(?),
• Donc
• NON!

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non?

• Alors ??(?), donc ? ? ?, donc ?(?),
• Donc
• OUI!

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Comment sen sortir?

• ?
• .faut-il sen sortir?

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Lautoréférence

• En biologie Maturana (1970), Varéla (années
  1980-90)
• Un système autopoiétique est organisé comme un
  réseau de processus de production de composants
  qui
• Régénèrent continuellement par leurs
  transformations et leurs interactions le réseau
  qui les a produits, et qui
• Constituent le système en tant quunité concrète
  dans lespace où il existe, en spécifiant le
  domaine topologique où il se réalise comme réseau
• (Maturana, Varéla, 1980)

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Exemple de la cellule

•  la cellule vivante émerge de son environnement
  moléculaire en spécifiant une membrane qui la
  distingue de son milieu, mais pour ce faire, elle
  doit produire des molécules dont la fabrication
  nécessite lexistence dune membrane ou dune
  frontière 

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Exemple de la cellule
les membranes
définissent la frontière
qui produit les molécules constitutives de la
notion de  clôture opérationnelle  Les
processus dépendent récursivement les uns des
autres pour leur propre génération et
définissent ainsi lindividualité du système au
sein duquel ils se déroulent. (J. P. Rennard,
Vie Artificielle , p.14)
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autoréférence
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La théorie des types de Russell

•  Il est admis que les paradoxes à éviter
  résultent tous dun certain genre de cercle
  vicieux. Les cercles vicieux en question
  proviennent de ce que lon suppose quune
  collection dobjets peut contenir des membres qui
  ne peuvent justement être définis quau moyen de
  la collection, prise dans sa totalité .

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La théorie des types de Russell

•  Plus généralement, donnons-nous un groupe
  dobjets tels que ce groupe, étant capable par
  hypothèse dêtre totalisé, doive dautre part
  contenir des membres qui présupposent cette
  totalité, alors, ce groupe ne peut pas être
  totalisé. En disant quun groupe ne peut être
  totalisé, nous voulons dire surtout quaucune
  affirmation ayant un sens ne peut être faite
  concernant  tous ses membres . Dans de tels
  cas, il est nécessaire de décomposer notre groupe
  en groupes plus petits dont chacun soit capable
  dêtre totalisé. Cest ce que la théorie des
  types sefforce deffectuer .

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Exemple des fonctions

• ?x est une forme ambiguë
• ?x nest pas ambiguë cest la fonction en
  elle-même
• cf. notation ?-calcul ?x. ?(x)
• quid de ?(?x. ?(x))?
• Soit f telle que
• f(?x. ?(x)) 1 ssi ?(?x. ?(x)) 0
• quid de f(?x. f(x)) ?
• On ne peut pas appliquer une fonction à une
  valeur qui suppose la fonction connue
• On ne peut pas appliquer une fonction à elle-même

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Autre exemple bien connu

• quid de ??. ? ?

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Autre exemple bien connu

• quid de ??. ? ?
• Réponse cest la fonction  Identité 
• Ex
• ??. ?(x) ? x

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Autre exemple bien connu

• quid de ??. ?(?) ?

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Autre exemple bien connu

• quid de ??. ?(?) ?
• Réponse cest la fonction  application à
  soi-même  (la fonction  réflexive )
• Ex
• ??. ?(?)(x) ? x(x)
• Que se passe-t-il si on lapplique à elle-même?

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Autre exemple bien connu

• Réponse
• ??. ?(?)(??. ?(?)) ?

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Autre exemple bien connu

• Réponse
• ??. ?(?)(??. ?(?)) ?
• ??. ?(?)(??. ?(?)) ?

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Autre exemple bien connu

• Réponse
• ??. ?(?)(??. ?(?)) ?
• ??. ?(?)(??. ?(?)) ?
• ??. ?(?)(??. ?(?)) ?

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Autre exemple bien connu

• Réponse
• ??. ?(?)(??. ?(?)) ?
• ??. ?(?)(??. ?(?)) ?
• ??. ?(?)(??. ?(?)) ?
• ??. ?(?)(??. ?(?)) ? etc.
• Un  processus divergent 

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Quantifier sur les propositions

• Toute proposition est vraie ou fausse
• (?p) p ? ?p
• Mais cette proposition elle-même peut-elle être
  une valeur possible de p?
• Non (pour la raison que donne Russell)

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Hiérarchie des types

• Des lettres pour des individus a, b, c, x, y,
  z, w
• Des fonctions qui sappliquent à ces objets et à
  eux seulement fonctions du premier ordre
• ?x. ?(x) fonction du premier ordre (si x un
  individu)
• dépend de ? qui nest pas un individu!
• donc ??. ?x. ?(x) nest pas une fonction de
  premier ordre
• fonction de second ordre et ainsi de suite

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Une difficulté le principe didentité, ou
 principe des indiscernables  (Leibniz)

• si toutes les propriétés possédées par x sont
  également possédées par y et réciproquement,
  alors x et y sont identiques 
• À remplacer par les prédicats du premier ordre
  possédées par x sont également possédées par y et
  réciproquement
• Est-ce suffisant?

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Napoléon et les grands généraux

• Napoléon avait toutes les propriétés dun grand
  général
•  avoir toutes les propriétés dun grand
  général  est une propriété de Napoléon, mais ce
  nest pas une propriété du premier ordre!
• ?? ?x (x est général ? ?(x)) ? ?(N

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Linfluence de la théorie des types au XXème
siècle

• Une théorie  des catégories 
• Notion  derreur de catégorie 
• Philosophie analytique
• G. Ryle The Concept of Mind, 1949
• L. Wittgenstein vers une grammaire de la pensée

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Retour à Wittgenstein

• pourquoi un chien ne peut-il simuler la douleur ?
  est-il trop honnête ?
• pourquoi ma main droite ne peut-elle donner de
  largent à ma main gauche ? est-elle trop avare ?
  (Recherches philosophiques, 268)
• puis-je avoir le mal de dent dautrui ? puis-je
  avoir mal à la dent dautrui ? (Puis-je avoir mal
  à ma dent en or ?)
• puis-je observer ce qui se passe dans lesprit
  dautrui ? puis-je observer ce qui se passe dans
  lestomac dautrui ?
• pourquoi une machine ne peut-elle calculer de
  tête ? Est-ce parce quelle na pas de tête ?

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Le programme de Hilbert

• les problèmes viennent de linfini

30
Le programme de Hilbert

•  Certes Weierstrass a éliminé de lAnalyse
  linfiniment petit et linfiniment grand puisque
  les propositions portant sur ces objets ont été
  réduites par lui à lénoncé de rapports entre des
  grandeurs finies. Mais linfini continue dêtre
  présent  il prend la forme de suites infinies de
  nombres qui définissent les nombres réels, ou
  bien il est sous-jacent à la notion de système
  des nombres réels conçue comme une totalité
  achevée et fermée.

31
Le programme de Hilbert

• Or dans la reconstruction même de lanalyse de
  Weierstrass, on se donne le droit dutiliser à
  fond et ditérer à volonté les formes dinférence
  logique dans lesquelles sexprime cette
  conception des totalités  cest le cas, par
  exemple, lorsquon parle de tous les nombres
  réels qui ont une certaine propriété, ou bien
  encore lorsquon dit quil existe des nombres
  réels ayant une certaine propriété.

32
Le programme de Hilbert

• Dans les processus de passage à la limité du
  calcul infinitésimal, linfini au sens de
  linfiniment grand ou de linfiniment petit sest
  révélé constituer une simple manière de parler 
  de même nous devrons reconnaître dans linfini au
  sens de totalité infinie, partout où il joue
  encore un rôle dans les inférences, quelque chose
  de purement fictif.
• De même que les opérations portant sur
  linfiniment petit ont été remplacées par des
  processus qui accomplissent la même fin et
  conduisent à des rapports formels aussi élégants
  tout en se situant à lintérieur de la sphère du
  fini, les inférences qui utilisent linfini sont
  à remplacer par des processus finis qui
  accompliront exactement la même fin cest-à-dire
  permettront les mêmes démarches dans les
  démonstrations et les mêmes méthodes dobtention
  des formules et des théorèmes.

33
Le programme de Hilbert

• Tel est lobjet de ma théorie. Elle a pour
  dessein dassurer la sécurité définitive de la
  méthode mathématique, sécurité à laquelle na pas
  atteint la période de la critique du calcul
  infinitésimal. 
• ( Über das Unendliche , 1925, Math. Annal. 95,
  1926, trad. J. Largeault, 1972)

34
Le programme de Hilbert

• la condition préalable de lapplication des
  inférences logiques et de leffectuation
  dopérations logiques est lexistence dun donné
  dans la perception  à savoir lexistence de
  certains objets concrets extra-logiques qui en
  tant que sensations immédiates précèdent toute
  pensée.
• Pour les mathématiques, selon Hilbert, ces objets
  sont les signes concrets, ceux dont nous savons
   distinguer et reconnaître la forme 
• les objets mathématiques, en particulier les
  nombres, sont des signes vides de sens, et les
  formules sont également des suites de signes
  vides de sens

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Le programme de Hilbert

• Des propositions  concrètes  (finitistes)
• avec des objets  réels 
• , , , , .
• dautres symboles  pour la communication  1,
  2, 3, , a, b, c,
• et des  propositions idéales  comme les
  nombres imaginaires vis-à-vis des nombres réels!

36
Le programme de Hilbert

• Encore faut-il savoir maîtriser des  objets
  idéaux 

37
Le programme de Hilbert

• Règle le modus ponens
• ? ???
• ?
• axiomes

38
Le programme de Hilbert

• Axiomes de limplication
•   adjonction dune prémisse
•  
• élimination dune proposition
• Axiomes de la négation
• principe de contradiction
•   principe de la double négation

39
Le programme de Hilbert

• Axiomes  transfinis 
•   inférence du général au particulier (axiome
  dAristote)
•   si un prédicat nest pas vrai de tous, alors
  il a un contre-exemple
•   sil nexiste pas dexemple pour une
  proposition, alors cette proposition est fausse
  pour tous les a

40
Le programme de Hilbert

• Axiomes de légalité

41
Le programme de Hilbert

• Axiomes du nombre
• Axiome de linduction mathématique 

42
Le programme de Hilbert

• Une démonstration formelle constitue un objet
  concret et visualisable, exactement comme un
  chiffre. Cest quelque chose de communicable du
  début à la fin
• Rôle des démonstrations de non-contradiction
• Hypothèse de la récursivité des mathématiques

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objections

• Une objection majeure et définitive Gödel