Contexte historique et religieux des math

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Contexte historique et religieux des
mathématiques en Inde
3 grands mathématiciens de cette époque

• Les mathématiques indiennes (particulièrement
  étudiée par les religieux) se manifestent
  brillamment dès le 5è siècle avec
• ARYABHATA
• - Il a affirmé la rotation de la terre
  alors considérée immobile au centre de l'univers
  (Ptolémée/Aristote),
• - extraction des racines carrées et
  cubiques
• - résolution déquations diophantiennes,
• - utilisation dun système décimal
  positionnel où zéro apparaît implicitement.(?)
• BRAHMAGUPTA
• - l'invention du zéro liée à l'usage d'un
  système décimal positionnel
• - règles des signes relatives à la
  multiplication.
• BHASKARA
• - a utilisé correctement le zéro,
• - a effectué des calculs avec l'infini et
• - a manié avec facilité les opérations sur
  les racines carrées.

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Les mathématiques indiennes et BRAHMAGUPTA

• Classification des mathématiques indiennes
• Les Mathématiques pratiques
• - Construction régulière (carré, disque,
  trapèze, triangle, etc.)
• - quadrature du cercle, approximations de
  nombres irrationnels
• - triangles rectangles à côtés entiers
  propriété (Pythagore).
• Les mathématiques théoriques  
• - Calcul élémentaire
• - Études et résolution déquations
• - Calculs trigonométriques. 

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Les mathématiques indienneset BRAHMAGUPTA

• Qui est BRAHMUGPTA?
• lL est né dans le nord-ouest de l'Inde en 598 à
  Multan (Pakistan) (?)
• Il dirigeait un observatoire astronomique à
  Ujjain.
• Il a écrit deux livres
• Son 1er livre Brahma-sphuta-siddhanta, écrit
  en 628, à lâge de30 ans, contient 25 chapitres
  de mathématiques.
• Définition du zéro résultat de la
  soustraction d'un nombre par lui-même.
• Il explique la notion décimale de la position
  en utilisant les neuf chiffres et le zéro
• On trouve la règle des signes sur les biens
  (positifs), les dettes (négatifs) et le néant
  (zéro).
• Il donne une méthode de calcul la gomutrika
• Il généralise la formule de Héron dAlexandrie
• Il nous lègue une identité qui porte son nom.
• Il a utilisé la barre de fraction et effectué
  des réductions au même dénominateur pour des
  sommes de fractions.
• Il a commencé à utiliser la notion d'inconnue
  qu'il appelle  ya  (?)
• Il étudie équations diophantiennes.
• Il a aussi utilisé une technique qui
  s'apparente à un logarithme de base 2
• Il a établit une règle d'interpolation que
  développera Newton plus tard.
• Son 2 ième livre Khandakhadyaka a été écrit à
  lâge de 67 ans .
  
• Il avait poursuit ainsi les travaux dARYABHATA
  (476-550) sur des cas

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Apports de BRAHMAGUPTA

• Arithmétique des nombres négatifs et de zéro
• BRAHMAGUPTA est le premier à présenter, par des
  calculs de pertes et de profits, des règles sur
  les
• nombres négatifs. Ayant définit le zéro,comme le
  résultat de la soustraction dun nombre par lui
• même, il lui associe ces règles de calculs 
• - Zéro soustrait de zéro est zéro
• - Zéro soustrait dune dette est une
  dette
• - Zéro soustrait dun bien est un
  bien
• - Une dette soustraite de zéro est un
  bien
• - Un bien soustrait de zéro est une
  dette.
• - Le produit de zéro multiplié par une
  dette ou un bien est zéro
• - Le produit ou le quotient de deux
  biens est un bien
• - Le produit de zéro multiplié par
  zéro est zéro
• - Le produit ou le quotient de deux
  dettes est un bien
• - Le produit ou le quotient d'une
  dette et dun bien est une dette
• - Le produit ou le quotient dun bien
  et d'une dette est une dette.
• (?) Grâce à Al-Fazari qui avait traduit vers 771
  louvrage de Brahmagupta en arabe, ces

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Évolution des nombres négatifs

• (780 850) (?)Al Khawarizmi accepte les termes
  négatifs dans les équations mais sattache à
  sen débarrasser au plus vite.
• (1445 -1500) Le français Nicolas Chuquet est un
  des premiers à isoler une valeur négative dans un
  membre dune équation avant le mathématicien
  italien Gerolamo Cardano (1501 1576).
• 1591, François Viète (1540 - 1603) avait aussi
  écarté les solutions négatives des équations sont
  écartées.
• 1629 Albert Girard avait admis lexistence de
  racines négatives ou imaginaires dans une
  équation.
• 1637 René Descartes (1596 1650) qualifie de
  "moindres que rien" de telles solutions (2).
• (1698 - 1746) Il a fallu attendre lécossais
  Colin Maclaurin puis le suisse Leonhard Euler
• (1707 - 1783) pour voir apparaître des axes aux
  coordonnées positives et négatives.
• (1701- 1744) Anders Celsius navait pris compte
  des négatifs en mettant au point son thermomètre
  à mercure gradué entre 0 et 100 degrés.
• (1686 -1736) Daniel Gabriel Fahrenheit avait
  conçu en 1715 un thermomètre pourvu dune
  graduation évitant les températures négatives.
• En 1746 le français Alexis Clairaut (1713
  1765) donne quelques-unes de ces règles et
  exprime la nuance entre le signe dun nombre et
  celui de lopération.
• En 1821, Augustin Louis Cauchy (1789 1857) dans
  son "Cours danalyse de lEcole royale
  polytechnique" définit les nombres relatifs comme
  une partie numérique précédée dun signe ou -.
• (1839-1873) enfin, lallemand Hermann Hankel
  donna aux nombres et en particulier aux nombres
  relatifs le statut dobjet formel obéissant à des
  règles préétablies.

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Apports de BRAHMAGUPTA

• Sa méthode de calcul Gomutrika
• Aire dun quadrilatère inscrit dans un cercle
• Identité de Brahmagupta
• Méthode de calcul  la Gomutrika
• Dans son premier ouvrage, Brahmagupta avait
  présenté une méthode de calcul,
• quil avait nommée  Gomutrika dont la
  traduction est la trajectoire de lurine
• dune vache . Cette dernière est semblable à
  celle encore que nous utilisons de nos jours.
• Dans le tableau ci-dessus nous comparons la
  méthode de BRAHMAGUPTA et celle quon
• utilise actuellement.
• Effectuons donc la multiplication de ces deux
  nombres par les deux méthodes  248 x 725.

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Aire dun quadrilatère inscriptible
Formule de Héron dAlexandrie Formule de Brahmagupta

Soient a, b et c les longueurs des côtés du triangle et p son demi périmètre tel que  p (a b c) /2 alors laire du triangle est  Si a, b, c et d désignent les mesures des côtés et p (a b c d) /2 le demi périmètre, on a On peut vérifier ceci pour le carré et pour le rectangle (2 cas particuliers)   Cas particuliers Le carré  bcda, p2a et A Le rectangle  abL, cdl, pLl et A
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Lidentité de Brahmagupta 
Apports de BRAHMAGUPTA

• En mathématiques, l'identité de Brahmagupta dit
  que le produit de deux nombres, égaux chacun à
• une somme de deux carrés, est lui-même une somme
  de deux carrés.
• Précisément 

• Cette identité peut facilement être vérifiée en
  développant les termes à gauche et à droite 
• Elle est très utilisée pour les entiers.

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Lidentité de Brahmagupta

• Par la suite Euler a élargi cette identité à
  lidentité des quatre carrés l'identité, énonçant
  que
• le produit de deux nombres, chacun étant la somme
  de quatre carrés, est lui-même une
• somme de quatre carrés .

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Apports de BRAHMAGUPTA

• Le parcours du zéro
• Avant le zéro, quand un marchand d'esclaves
  achetait cinq esclaves qu'il revendait par la
  suite, il disait il me reste cinq moins cinq
  esclaves. On était incapable d'exprimer le nul,
  le rien, par un signe symbolique. Cest le
  chiffre qui est apparu en dernier. Celui-ci était
  nommé sifr en arabe qui signifiait vide.On
  imagine difficilement la somme d'efforts qu'il a
  fallu déployer pour circonscrire le concept de
  zéro. Essayez donc de figurer  quelque chose 
  là où il n'y a  rien  !
• Selon les grecs, le nombre zéro est en quelque
  sorte un nombre associé au vide, au néant. C'est
  seulement au cinquième siècle après JC., que
  l'on voit apparaître, chez les indiens, le zéro à
  la fois comme chiffre et comme nombre.

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Le parcours du zéro

• 5.1. Repère chronologique

La première étape nous mène à Babylone, il y a IIIe siècle av. J.-C. Apparition du premier zéro de l'histoire dans la numérotation positionnelle sexagésimale babylonienne. Il n'est cependant pas conçu comme un nombre, il sert simplement à exprimer l'absence d'unités d'un certain ordre.
Le zéro maya était représenté comme ceci.Il était considéré comme un signe permettant d'indiquer l'absence d'unités d'un certain ordre
Les Indiens redécouvrent ensuite vers le Ve siècle de notre ère, la numérotation de position. Le zéro de position, qui était matérialisé par une encoche à Babylone, est ici marqué d'un point. Il évoluera bientôt pour prendre la forme d'un rond.et était nommé "Sunya" qui signifie "vide" en langue indienne (le sanskrit).Traduit en arabe, Sunya, devient "Sifr" (vide). En 628, son apparition en Inde, tout particulièrement dans l'oeuvre de Brahmagupta, est un pas de géant en algèbre, il est alors définit comme le résultat d'un nombre entier soustrait à lui-même, Brahmagupta énonça des règles pour opérer sur trois sortes de nombres appelés "biens", "dettes" et "zéro". 
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Repère chronologique

• Il a fallu attendre le huitième siècle pour voir
  le zéro apparaître dans le monde
• arabe. Il fut introduit par un astronome indien à
  la cour du calif Al-Mansur, à
• Bagdad en même temps que tout le système de
  numération indien.
• Ce n'est quà partir du douzième siècle que le
  zéro commença à se répandre en
• occident, grâce notamment à la traduction du
  livre d'arithmétique publié en 820
• par le grand mathématicien El-Khawarizmi.
• Mais, durant tout le Moyen-Âge on discuta encore
  en occident pour savoir si le
• zéro était seulement un chiffre ou pouvait être
  considéré comme un nombre. Puis
• finalement, son statut de nombre fut admis par
  tous. Et l'on ajouta le zéro à ce
• que l'on appelle les entiers naturels. Avant
  d'être considéré comme un chiffre, il
• avait en effet pour but de remplir les vides.

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Apports de BRAHMAGUPTA

• ÉQUATIONS DIOPHANTIENNES
• Un des premiers mathématiciens à avoir considéré
  ce genre de question est
• Diophante dAlexandrie (325409).
• La traduction, par Bachet de Méziriac (15811638)
  de la partie de ses œuvres
• qui était parvenue dans le monde occidental grâce
  aux mathématiciens arabes
• a été la source dinspiration de Fermat
  (16011665).
• Léquation diophantienne y2-dx21 dont les
  inconnues x et y sont dans Z, où
• d est un entier positif qui nest pas un carré,
  porte le nom de PellFermat, mais
• c'est une erreur due à Euler qui lui attribua
  faussement son étude.
• Pourtant elles ont été étudiées par le
  mathématicien indien Brahmagupta (598670)
• bien avant Pell (16111685) et Fermat. Ce
  mathématicien indien sest attaqué dabord
• aux équations du type N x2 k y2 et a donné
  une manière dobtenir des solutions à
• partir dun couple de solutions connu. Il a
  trouvé la plus petite solution en entiers
• positifs de léquation

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ÉQUATIONS DIOPHANTIENNES

• Au XIIème siècle Bhaskara ( indien) a trouvé pour
  léquation
• x2-61 y2 1 (qui sera plus tard considérée par
  Fermat) la solution (x, y) (1 766 319 049, 226
  153 980).
• Plus tard Narayana (1340 1400), qui est aussi
  dorigine indienne, a obtenu pour x2-103 y2 1
  la solution (x, y) (227 528, 22 419).
• Ses résultats étaient totalement inconnus des
  mathématiciens européens du XVIIè siècle, et
  c'est Fermat qui remit cette équation au goût du
  jour, conjecturant qu'elle avait toujours une
  infinité de solutions.
• Il fallut attendre Lagrange, un siècle plus tard,
  qui utilisera pour résoudre cette équation, la
  théorie des fractions continues pour obtenir une
  nouvelle preuve totalement rigoureuse de ce fait!