Geschichte der Mathematik im 19.Jahrhundert

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Geschichte der Mathematik im 19.Jahrhundert

• Imre Lakatos Beweise und Widerlegungen

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• Essay Proofs and Refutations erschien in vier
  Teilen in The British Journal for the Philosophy
  of science im Zeitraum von 1963- 64
• Kurz vor der Veröffentlichung respektive
  vollständigen Ausarbeitung sowie Erweiterung der
  Essays zu einem umfassenden Buch, starb Lakatos

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Beweise und Widerlegungen

• In diesem Werk entspricht ausschließlich das
  erste Kapitel dem Original von Lakatos
• 2 sowie der Anhang wurden ergänzend
  hinzugenommen, um
• die Zweifel zu zerstreuen, die viele Mathematiker
  nachdem sie Lakatos Werk gelesen hatten äußerten,
  nämlich dass die beschriebene Methode der
  Beweisanalyse zwar beim Studium der Polyeder
  anwendbar sein mag, jedoch nicht auf die
  wirkliche Mathematik

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Verfolgtes Ziel

• einigen Problemen der Methodologie (Heuristik)
  der Mathematik näher zukommen. in der
  formalistischen Philosophie der Mathematik sei
  leider kein Platz mehr für die Methodologie als
  Logik der Entdeckung. Aber was kann man in der
  verbreiteten formalisierten Theorie entdecken?
  Erstens kann man solche Lösungen von Problemen
  entdecken, die eine geeignet programmierte
  Turingmaschine in einer endlichen Zeit lösen
  kann. Zweitens kann man die Lösung von solchen
  Problemen entdecken, bei denen man sich nur von
  der Methode der unorganisierten Einsicht und des
  glücklichen Zufalls leiten lassen kann.

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• Nun ist diese verhängnisvolle Alternative
  zwischen dem Rationalismus einer Maschine und dem
  Irrationalismus des blinden Mutmaßens in der
  wirklichen Mathematik aber gar nicht zu finden
  eine Untersuchung der inhaltlichen Mathematik
  wird eine reichhaltige Situationslogik der
  arbeitenden Mathematiker zu tage fördern, eine
  Situationslogik die weder mechanisch noch
  irrational ist, die jedoch weder von der
  formalistischen Philosophie erkannt noch gar
  angeregt werden kann.

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• Die Geschichte der Mathematik und die Logik der
  mathematischen Entdeckungen, d.h. die Phylogenie
  und die Ontogenie der mathematischen Ideen können
  ohne die Kritik und schließlich die Zurückweisung
  des Formalismus nicht entwickelt werden.

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Was ist ein Beweis?

• Zu diesem Stadium
• Beweis Gedankenexperiment, das eine Zerlegung
  der ursprünglichen Vermutung in Teilvermutungen
  oder Hilfssätze (Angriffsflächen für Kritik gemäß
  Gegenbeispielen) anregt und es dadurch in einen
  vielleicht ganz entfernten Wissensbereich
  einbettet.

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Kritik des Beweises durch lokale aber nicht
globale Gegenbeispiele

• Lokale Gegenbeispiele widerlegen einen Hilfssatz
• Globale Gegenbeispiele widerlegen die gesamte
  Vermutung

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• Lückenhaftigkeit der Beweisführung
• Abb.1

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• Abb.1 wenn man jetzt ein Dreieck aus dem Inneren
  dieses Netzwerkes entfernt (Analogie
  Mosaikspiel), dann entferne ich ein Dreieck ohne
  eine einzige Ecke oder Kante zu entfernen ? also
  dritter Hilfssatz falsch, aber kein Gegenbeispiel
  für die Vermutung (Ausnahme Polyeder bei dem
  alle Dreiecke des ebenen Netzwerkes Randdreiecke
  sind)

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• Verbesserung des Beweises
• Lehrer ich behaupte nicht mehr, dass die
  Entfernung eines beliebigen Dreiecks stets auf
  eine der beiden beschriebenen Arten geschieht,
  sondern nur noch, dass auf jeder Stufe des
  Entfernungsprozesses die Entfernung eines
  beliebigen Randdreiecks auf eine dieser beiden
  Arten geschieht (? eine unbedeutende Beobachtung
  sowie die daraus resultierende Variation eines
  Wortes hat den Beweis richtig gestellt)

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• Neuer Versuch Die Dreiecke in unserem Netzwerk
  können so nummeriert werden, dass sich bei der
  Entfernung in dieser Reihenfolge E-KF nicht
  ändert, bis wir das letzte Dreieck erreichen.

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Kritik der Vermutung durch globale Gegenbeispiele

• Gegenbeispiel E-KF 4

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• Was nun?
• Die Vermutung wird verworfen, die Methode der
  Kapitulation
• Das Gegenbeispiel wird verworfen. Die Methode der
  Monstersperre
• Die Vermutung wird nach der Methode der
  Ausnahmesperre verbessert
• Methode der Hilfssatzeinverleibung, um die
  Vermutung zu verbessern

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Die Vermutung wird verworfen, die Methode der
Kapitulation

• Lehrer ich bin auch an Beweisen interessiert,
  wenn sie ihre beabsichtigte Aufgabe nicht
  vollenden. Kolumbus erreichte zwar nicht Indien,
  aber er entdeckte etwas durchaus Interessanteres
• Was ist falsch? Der Beweis oder die Vermutung?

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Das Gegenbeispiel wird verworfen. Die Methode der
Monstersperre

• Idee Wir haben unsere Vermutung bewiesen jetzt
  ist sie ein Satz. Ich gebe zu, dass sie mit
  diesem sogenannten Gegenbeispiel unvereinbar ist.
  Eines von beiden muss nachgeben. Aber warum soll
  der Satz nachgeben, da er doch bewiesen worden
  ist? Die Kritik sollte den Rückzug antreten. Es
  ist erschwindelte Kritik. Diese zwei
  ineinandergesetzten Würfel sind überhaupt kein
  Polyeder. Das ist ein Monster.

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• Definition ist also für einen Beweis entscheidend
  ? Die Widerlegung durch Gegenbeispiele hängt von
  der Bedeutung der infrage stehenden Ausdrücke ab.
  Wenn ein Gegenbeispiel objektive Kritik sein
  soll, dann müssen wir uns über die Bedeutung
  unserer Begriffe einigen ? Definitionen werden
  häufig dann vorgeschlagen und bestritten, wenn
  Gegenbeispiele auftauchen

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• Doch wie definieren wir unser Problem
• Ein Polyeder ist ein fester Körper, dessen
  Oberflächen aus polygonalen Flächen besteht
• Ein Polyeder ist eine Oberfläche, die aus einem
  System von Polygonen besteht
• Aber auch bei dieser Definition lassen sich
  Gegenbeispiele finden

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• E-KF3

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• Ein System von Polygonen, die in einer Weise
  angeordnet sind, dass sich an jeder Kante genau
  zwei Polygone treffen und es möglich ist, vom
  Inneren eines jeden Polygons über einen Weg ins
  Innere eines jeden anderen Polygons zu gelangen,
  der nirgends eine Kante in einer Ecke berührt

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Gegenbeispiel

• Besteht aus 12 Sternfünfecken
• 12 Ecken
• 30 Kanten
• 12 fünfeckige Flächen

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• Contra Scheinbar weiß der Verursacher dieses
  Igels nicht was ein Polygon ist Ein Polygon ist
  ein System von Kanten, die in einer Weise
  angeordnet sind, dass sich an jeder Ecke genau
  zwei Kanten treffen und die Kanten keine
  gemeinsamen Punkte außer den Ecken gemeinsam
  haben
• Gegenbeispiel Bilderrahmen (Polyeder gemäß den
  bisherigen Definitionen)

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• E-KF 0

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Ist der Bilderrahmen überhaupt ein echtes
Polyeder?

• ? im Fall eines echten Polyeders gibt es durch
  jeden beliebigen Punkt des Raumes mindestens eine
  Ebene, deren Durchschnitt mit dem Polyeder aus
  einem einzigen Polygon besteht.

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• Resultat
• Die Monstersperre mit dieser Methode kann man
  jedes Gegenbeispiel gegen die ursprüngliche
  Vermutung durch eine manchmal geschickte, aber
  jedenfalls ad hoc Definition des Polyeders,
  seiner definierenden Ausdrücke oder der
  definierenden Ausdrücke seiner definierenden
  Ausdrücke beseitigen

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Die Vermutung wird nach der Methode der
Ausnahmesperre verbessert

• Die Ausnahme bestätigt die Regel
• Satztypologie
• Jene, die immer wahr sind, und bei denen es weder
  Einschränkungen noch Ausnahmen gibt
• Jene, die auf einem falschen Grundsatz beruhen
  und deswegen niemals zugelassen werden können
• Jene, die zwar auf wahren Grundsätzen beruhen,
  die aber dennoch Einschränkungen oder Ausnahmen
  in gewissen Fällen zulassen

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• Kritik ad hoc Vermutungen
• Wenn du über die ineinandergesetzten Würfel
  stolperst, schließt du Polyeder mit Höhlen aus.
  Wenn du zufällig über den Bilderrahmen stolperst,
  schließt du Polyeder mit Tunneln aus
• Alle Polyeder sind eulersch als Vermutung
  zuzulassen in ok, aber warum soll dann alle
  Polyeder ohne Höhlen, Tunneln, was ich nicht noch
  sind eulersch auf einmal ein Satz sein? Wann kann
  man sich sicher sein, dass alle Ausnahmen
  berücksichtigt worden sind?

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• Schüler lenkt ein Alle konvexen Polyeder sind
  eulersch
• Beweist unser Beweis denn diese neue Vermutung?
• Alle Hilfssätze erscheinen bezüglich konvexer
  Polyeder wahr zu sein, aber wie lange? Bis zum
  nächsten Monster? Bis zur nächsten Ausnahme?

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Methode der Hilfssatzeinverleibung, um die
Vermutung zu verbessern

• Eingeschränkte Fassung der Vermutung Die
  Descartes- Euler Vermutung gilt für einfach
  Polyeder, d.h. für solche Polyeder, die nach der
  Entfernung einer Fläche in der Ebene ausgebreitet
  werden können
• Hilfssatzeinverleibung der Beweis wird
  aufrechterhalten und der Bereich der
  Hauptvermutung auf den Gültigkeitsbereich des
  wahren Hilfssatzes beschränkt

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• Gegenbeispiel
• 16E, 24K, 11F ? 16-2411 3
• Neuer Hilfssatz als Gegenmaßnahme Alle Flächen
  sind dreieckig, sondern Jede durch eine
  Diagonale geteilte Fläche zerfällt in zwei Teile

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Beweis und Widerlegung

• Regeln
• 1.) Wenn Du eine Vermutung hast, dann versuche,
  sie zu beweisen und zu widerlegen. Untersuche den
  Beweis sorgfältig und stelle eine Liste von
  nicht-trivialen Hilfssätzen auf (Beweisanalyse)
  finde Gegenbeispiele sowohl zur Vermutung
  (globale Gegenbeispiele) als auch zu den
  verdächtigen Hilfssätzen (lokale Gegenbeispiele)

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• 2.) Hast Du ein globales Gegenbeispiel gefunden,
  so gib Deine Vermutung auf, füge Deiner
  Beweisanalyse einen geeigneten Hilfssatz hinzu,
  der von ihm widerlegt wird, und ersetze die alte
  Vermutung durch eine verbesserte, die diesen
  Hilfssatz als Bedingung enthält. Lass es nie zu,
  eine Widerlegung als Monster abzuweisen.
  Formuliere sämtliche, versteckten Hilfssätze
  ausdrücklich.

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• 3.) Hast Du ein lokales Gegenbeispiel, dann
  prüfe, ob es nicht auch ein globales
  Gegenbeispiel ist. Wenn ja, wende die 2.Regel an.

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• Oder eine einzige Regel Konstruiere strenge
  (kristallklare) Beweise
• Strenge der Beweisanalyse oder des Beweises (man
  sollte einen unfehlbaren Beweis nicht mit einer
  ungenauen Beweisanalyse verwechseln)
• Mathematik als sprachlose Tätigkeit des
  Verstandes?

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• Nein Wie kann eine Tätigkeit wahr oder falsch
  sein? Nur ausgesprochenes Denken kann sich an der
  Wahrheit versuchen. Der Beweis aber kann nicht
  genug sein wir müssen auch angeben, was der
  Beweis beweist. Der Beweis ist nur eine
  Entwicklungsstufe in der Arbeit eines
  Mathematikers, der die Beweisanalyse und
  Widerlegungen folgen müssen und die durch den
  strengen Satz abgeschlossen wird. Wir müssen die
  Strenge des Beweises mit der Strenge der
  Beweisanalyse verbinden.

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Rückkehr zur Kritik des Beweises durch
Gegenbeispiele, die lokal aber nicht global sind
Das Problem des Gehalts

• 4.Regel Hast Du ein lokales aber nicht globales
  Gegenbeispiel, so versuche Deine Beweisanalyse zu
  verbessern, indem du den widerlegten Hilfssatz
  durch einen noch nicht als falsch erwiesenen
  ersetzt

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• Ein neuer Beweis Stellen wir uns das Polyeder
  hohl vor mit einer Oberfläche aus steifem
  Material, sagen wir Karton. Die Kanten müssen auf
  der Innenseite deutlich angestrichen sein. Das
  Innere möge wohlerleuchtet sein, und eine Fläche
  soll als Linse einer gewöhnlichen Kamera
  ausgebildet sein. Von dieser Fläche aus mache
  einen Schnappschuss. So erhalte ich ein Bild
  eines ebene Netzwerkes, das ganz genau so
  behandelt werden kann, wie das ebene Netzwerk in
  eurem Beweis. Und ebenso kann ich zeigen, dass im
  Falle lauter einfach zusammenhängender Flächen
  E-KF 1 gilt und durch hinzufügen der auf dem
  Photo unsichtbaren Linsenfläche erhalte ich
  Eulers Formel.

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• Haupthilfssatz es gibt eine Fläche des
  Polyeders, von der aus man das Innere des
  Polyeders so fotografieren kann, dass sämtliche
  Kanten und Ecken auf dem Film zu sehen sind ? ein
  quasi konvexes Polyeder ? alle quasi konvexen
  Polyeder mit einfach zusammenhängenden Flächen
  sind eulersch ? Alle Gergonne-Polyeder sind
  eulersch (es existieren widerlegende Beispiele)

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• Resultat Verschiedene Beweise aus derselben
  naiven Vermutungen ergeben verschiedene Sätze
  sowie eine differenzierte Begriffsbildung.
• Die eine Descartes-Euler Vermutung wird durch
  jeden Beweis zu einem anderen Satz verbessert!

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Neudurchdenken des Gehalts

• Selbstverständlich war unser Problem den Bereich
  der Gültigkeit von E- K F 2 zu entdecken.
• Das ist falsch Unser Problem war es, die
  Beziehung zwischen E, F, K eines ganz beliebigen
  Polyeders herauszufinden. Durch Zufall kamen wir
  zunächst auf die Formel Eulers
• Warum betrachten wir nicht E K F -6?

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Quelle

• Worrall, J./ Zahar, E. (Hrsg.) Beweise und
  Widerlegungen Die Logik der mathematischen
  Entdeckungen, Friedrich Vieweg Sohn,
  Braunschweig/Wiesbaden 1979