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CHAOS und FRAKTALE
Steffi Cordier - Paulina Paszkiewicz - Uli
Quitsch Stefan Quint - Johannes Horlemann - Achim
Boltz
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Chaos und Fraktale
I. Chaos?!
Begriff Chaos 1973 von James A. Yorke
geprägt Beschreibung komplexer, dynamischer
Systeme, die chaotisch wirken, aber durch
Formeln beschreibbar sind
Laplace bzw. Klare Gesetzmäßigkeiten Determinism
us Linearität strenge Vorhersagbarkeit Ka
usalitätsprinzip
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Chaos und Fraktale
I. Chaos?!
Reduktionismus entspricht nicht der Realität
hochkomplexe Systeme mit Rückkopplung
nie gleiche Bedingungen in der Praxis
Sensititve Abhängigkeit (bei chaotischen
Systemen) kleine und kleinste
Veränderungen der Anfangsbedingungen
können größte Effekte verursachen Beispiele
Wettervorhersage, Billardspiel
Schmetterlingseffekt
Deterministisches Chaos Ein System folgt
streng einer Rechenvorschrift, ist aber
nicht vorhersagbar.
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Chaos und Fraktale
II. Logistische Abbildung
Xn c Xa (1 Xa) Beispiel für
Populationsentwicklung Logistische Abbildung
Xn Populationsdichte Xa
Vorjahrespopulation c Anzahl der
Nachkommen Diskrete Funktionswerte Iteration (
output als input ) Kleinste Abweichung von c wird
verstärkt sensitive Abhängigkeit
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Chaos und Fraktale
II. Logistische Abbildung
Xn c Xa (1 Xa) 1 lt c lt 3 stabiler
Wert zw. 1 und 0 c gt 3 zwei-peak-oszi
llierend c 3,45 vier-peak-oszillierend
c gt 3,57 Periode chaotisch, unendlich
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Chaos und Fraktale
II. Logistische Abbildung
Xn c Xa (1 Xa)
Feigenbaumdiagramm
1
1
2
2
3
3
4
4
Anzahl der Nachkommen
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Chaos und Fraktale
II. Logistische Abbildung
Xn c Xa (1 Xa) Periodenverdopplung an
den Bifurkations- Stellen Bifurkationsweg ins
Chaos universell
Anzahl der Nachkommen
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Chaos und Fraktale
III. Attraktoren
Attraktor
Systemzustand, auf den ein System sich
einschwingt
Für best. c läuft Algorithmus auf festen Wert
zu
Fixpunkt
vorhersehbar
Grenzzyklus
Seltsamen Attraktor in chaotischen
Systemen unendlich viele Werte unendlich
stark gefaltet fraktal
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Chaos und Fraktale
III. Attraktoren
Seltsamen Attraktor in chaotischen
Systemen unendlich viele Werte unendlich
stark gefaltet fraktal Beispiel
Lorenz-Attraktor
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Chaos und Fraktale
IV. Fraktale
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Chaos und Fraktale
IV. Fraktale
Ein Fraktal ist eine Figur, deren Dimension
nicht ganzzahlig ist. ? fraktal
gebrochen Die Dimension eines Fraktals nennt
man fraktale Dimension.
Gehirn d 2,79
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Chaos und Fraktale
IV. Fraktale
Schneeflockenkurve

• Initiator Linie der Länge 1
• Linie wird gedrittelt und auf das mittlere
  Drittel wird eine dreieckige Insel der
  Kantenlänge 1/3 gelegt

• Jede neu entstandene Strecke hat nun die Länge
  1/3.
• Man nennt dieses Gebilde auch Generator, da bei
  jeder neuen Iteration mit jeder Strecke genauso
  verfahren wird.

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Chaos und Fraktale
IV. Fraktale
Der Vorgang wird unendlich oft wiederholt, dabei
entsteht die sogenannte Schneeflockenkurve, die
unendlich lang ist.
Dimension d 1,26
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Chaos und Fraktale
IV. Fraktale
Betrachtet man als Initiator ein Dreieck der
Länge 1, erhält man eine Kochsche Insel bzw.
Schneeflocke
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Chaos und Fraktale
IV. Fraktale
Wie lang ist die Küste Britanniens?
Küste ist unendlich lang, schließt aber einen
endlichen Flächeninhalt ein. gt d(GB) 1,26
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Chaos und Fraktale
IV. Fraktale
Das Farnblatt
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Chaos und Fraktale
IV. Fraktale
Juliamenge
J(c) z0 ? C (zn) lt ? mit zn1 zn2 c mit
c ? C fest.
Wiederholung Komplexe Zahlen
I
1 i
?
R
1
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Chaos und Fraktale
IV. Fraktale
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Chaos und Fraktale
IV. Fraktale
Selbstähnlichkeit Wenn eine Menge Untermengen
enthält, die sich durch Rotation, Translation und
Skalierung in die Obermenge transformieren
lassen, ist sie selbstähnlich.
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Chaos und Fraktale
IV. Fraktale
Mandelbrotmenge
M c ? C (zn) lt ? mit zn1 zn2 c mit z0
0.
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Chaos und Fraktale
IV. Fraktale
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Chaos und Fraktale
V. Resumé
Revolutionäre Bedeutung der Chaostheorie Gegensat
z zum streng wissenschaftlich kontrollierbaren
Weltbild Viele Bereiche des Lebens betreffend
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Chaos und Fraktale
DANKE FÜRS ZUHÖREN! IHR HABT SUPER
DURCHGEHALTEN!