Radicales y sus operaciones

1
Radicales y sus operaciones

• Prof. Anneliesse Sánchez
• Departamento de Matemáticas
• Universidad de Puerto Rico - Arecibo

2
Objetivos

• Simplificar radicales
• Efectuar operaciones de suma, resta,
  multiplicación y división con radicales
• Racionalizar parte de una fracción

3
Notación

• La raíz cuadrada de un número a, se representa
  por

En general, la raíz enésima de a se representa
por
El índice n, es un número natural, n 2. En el
caso de n 2, raíz cuadrada, no hay que
escribirlo.
4
El símbolo
se conoce como radical.
La parte dentro del radical se conoce como
radicando.
El número pequeño fuera del radical, se conoce
como índice.
5
Definición
La raíz cuadrada de un número no negativo a, es
un número no negativo b tal que al elevar b al
cuadrado obtenemos a.
si y solo si b2 a
Por eso decimos que la operación elevar al
cuadrado, es inversa a la operación obtener la
raíz cuadrada.
Ejemplos
6
En general, la operación radicación es inversa a
la operación exponenciación. Decimos que
Si y solo si bn a a y b tienen el mismo
signo.
Se debe notar que
no es un número real porque no existe ningún
número tal que al cuadrarlo de -9. Por eso
decimos en general que
existe en los reales si a gt
0. Lo mismo sucede con todas las raíces de
índice par.
7
Ejemplos
a) b) c) d)
porque 33 27
porque (-4)3 -64
porque (-2)5 -32
no es real porque ningún número real elevado a
la cuarta potencia puede ser negativo.
8
Ejercicios
e) f) g) h) i)
9
Propiedad 1
Por lo tanto,
uv
10
Propiedad 2
Demostración
Esto implica que
aplicando las leyes de exponentes
Por lo tanto,
11
Ejemplos
a)
b)
c)
d)
12
Ejercicios
13
Sumas o restas en el radicando
Cuando tenemos una suma o una resta en un
radicando, hay primero que efectuar la operación
de suma o resta, para luego llevar a cabo la
radicación.
Esto es así porque
Bastaría un contraejemplo para demostrarlo
14
Sabemos que
por lo tanto, confirmamos lo antes expuesto,
Lo mismo ocurre con la resta y con radicales de
otros índices.
15
Radicales semejantes
Decimos que dos radicales son semejantes si
tienen el mismo índice y el mismo radicando.
Ejemplos Los siguientes pares de radicales son
semejantes.
16
Dos radicales semejantes se pueden combinar, esto
es, se pueden sumar o restar. Veamos como
Esto es, usando la propiedad distributiva, o
factorizando el término común de ambos términos.
Finalmente, p y q se suman, (o se restan si fuese
el caso).
17
Ejemplos
a)
b)
c)
d)
En este último ejemplo, note que combinamos sólo
los radicales semejantes.
18
Suponga que tenemos el siguiente caso
Como no son radicales semejantes, no podemos
combinarlos. Sin embargo, podemos simplificar
cada uno de ellos. Veamos
Por lo tanto, volviendo al ejercicio original,



19
Ejercicios
e)
f)
g)
h)
20
Simplificación de radicales
En ocasiones podemos descomponer un radicando
como el producto de otros números de manera que
alguno de los factores sea una raíz exacta y por
ende pueda salir del radical, esto es, se pueda
extraerse la raíz. Veamos el siguiente ejemplo
21
Explicación
Como sabemos que 100 es un cuadrado perfecto, y
100 es un factor de 300, rescribimos 300 como 3
100 para poder extraer el 100 de la raíz
cuadrada. Se puede notar, sin embargo que 300 es
también 4 75, de modo que
22
Aunque esto también es correcto, no está
completamente simplificado porque 75 todavía
tiene un factor que es un cuadrado perfecto 25.
Ciertamente, este resultó más largo, pues no
hallamos desde el principio el factor de 300
mayor que fuese un cuadrado perfecto.
23
Para simplificar un radical, debemos factorizar
el radicando de manera que alguno de los factores
sea una raíz perfecta.
Ejemplos


a)

b)
En este último caso, note cómo hicimos la
descomposición por pasos hasta encontrar todos
los cuadrados perfectos que son factores de 720.
24
Estos pasos pudieron haber sido otros o en otro
orden pero siempre vamos a encontrar los mismos
cuadrados perfectos. Probablemente conviene
repasar los cuadrados y cubos perfectos.
25
Cuadrados perfectos Cubos perfectos
12 1 13 1
22 4 23 8
32 9 33 27
42 16 43 64
52 25 53 125
62 36 63 216
72 49
82 64
92 81
102 100
26
Ejercicios
Simplifique
c)
d)
e)
f)
27
Suma y resta de radicales
Como vimos anteriormente, la suma o la resta de
radicales consiste en sumar (o restar) los
radicales semejantes. Antes de hacer esto, hay
que simplificar los mismos completamente. Veamos
algunos ejemplos
28
Ejemplos
a)
29
b)
30
c)
31
Ejercicios
f)
g)
h)
32
Multiplicación de radicales
Anteriormente vimos, con la propiedad 1 que
Por lo tanto, podemos decir que cuando
multiplicamos radicales con el mismo índice, el
producto será un radical con el mismo índice y el
producto de los radicandos.
33
Ejemplos
a)
b)
c)
Es importante reconocer que sólo se pueden
multiplicar de esta manera, radicales con el
mismo índice. Más adelante, en otra sección se
verá el procedimiento para multiplicar radicales
con distinto índice.
34
Ejercicios
d)
e)
f)
35
División de radicales
De la misma forma, la propiedad 2 nos indica
que
Esto en palabras diría que, si tenemos dos
radicales con el mismo índice y se están
dividiendo, el resultado será un radical con el
mismo índice y con la división de los radicandos.
36
Ejemplos
a)
b)
c)
De la misma forma, tenemos que hacer énfasis en
que esto aplica sólo a radicales con el mismo
índice.
37
Ejercicios
d)
e)
f)
38
Operaciones combinadas
Ahora veamos algunos ejemplos donde se combinan
las operaciones de suma, resta, multiplicación y
división de radicales. Suponga que tenemos el
siguiente ejercicio
En este caso, utilizamos la propiedad
distributiva, al igual que la usamos si
tuviésemos la multiplicación de dos binomios.
39
Tenemos entonces,
propiedad distributiva
multiplicando
raíces exactas
términos semejantes
combinando términos
40
Ejercicios
a)
b)
c)
d)
e)
41
Racionalización
representa un número irracional
La fracción
pues no se puede escribir de forma equivalente
como una división de dos números enteros. Aunque
el numerador es racional, el denominador es
irracional. En ocasiones se necesita que el
denominador de una fracción sea racional. Podemos
cambiar la fracción a una equivalente con el
denominador racional.
42
Esto podemos hacerlo usando el principio visto
anteriormente, en donde
En otras palabras, podemos multiplicar numerador
y denominador por un mismo número (distinto de
cero) y la fracción que se obtiene es equivalente.
43
En este caso, tenemos que buscar por cual número
multiplicar el denominador,
para que se vuelva entero.
Si multiplicamos
queda racionalizado el denominador.
44
Hay que tener claro, que la fracción seguiría
siendo irracional. Antes, había radical en el
denominador, y ahora está en el numerador.
A este proceso se le llama racionalizar el
denominador.
La razón por la que escogimos multiplicar al
numerador y denominador por
es porque así sabemos que el denominador sería
que es un número racional
porque es entero.
45
Ejemplos
Racionalice el denominador de las siguientes
fracciones
a)
En este caso pudimos haber multiplicado por y
también lo lográbamos pero luego tendríamos que
simplificar. Verifíquelo usted mismo.
46
b)
En el siguiente ejemplo veremos una fracción con
raíz cúbica.
c)
En este caso, no podemos juntar los dos radicales
del numerador en una sola fracción porque tienen
diferente índice.
47
Ejercicios
d)
e)
f)